Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Al.Koutsouridis · #1

Δεν ξέρω αν υπάρχει αντίστοιχη συζήτηση στο

και επειδή είχα αναφέρει στο παρελθόν ότι ίσως καλό θα ήταν να δούμε πως είναι δομημένα μερικά προγράμματα σπουδών φυσικομαθηματικών σχολείων, είπα να δημιουργήσω την παρούσα. Επαν-αφορμή στάθηκε η συζήτηση εδώ, αλλά περισσότερο η παραπομπή στην δημοσίευση του κ. Δημήτρη από τον κ. Λάμπρου που υπάρχει παρακάτω.

Ο λόγος για το φυσικομαθηματικό Λύκειο 57 της Μόσχας. Μερικές αποσπασματικές πληροφορίες.

«Στις μαθηματικές τάξεις του 57 σχολείου παραδοσιακά παραδίδονται τέσσερα μαθήματα του μαθηματικού κύκλου. Είναι η άλγεβρα, γεωμετρία, προγραμματισμός και κύκλος (σπουδών) μαθηματικής ανάλυσης. Τα πρώτα τρία μαθήματα πάνω κάτω είναι τα στάνταρ και ως προς το περιεχόμενο (βεβαίως, συνυπολογίζοντας την εξειδίκευση των μαθηματικών τάξεων) , αλλά και ως προς το τρόπο διδασκαλίας.»

«Ως αναφορά τον κύκλο της μαθηματικής ανάλυσης, τα πράματα είναι διαφορετικά. Καταρχάς, κατά κανόνα, γράφεται (το πρόγραμμα σπουδών του κύκλου) από τους δασκάλους εκ νέου για την εκάστοτε τάξη εισαγωγής (ανεξάρτητα αν θα είναι 3 ή 4 χρόνια). Κατά δεύτερο η ονομασία του κύκλου σπουδών είναι ενδεικτική. Κατά βάση, βέβαια, αποτελείτε από μαθηματική ανάλυση, αλλά πολλά κομμάτια προσδιορίζονται και από τα επαγγελματικά ενδιαφέροντα του δασκάλου. Τρίτον, ο κύκλος σπουδών αποτελείται από ξεχωριστές εργασίες (αναφέρονται ως φυλλάδια/λίστες). Τα φυλλάδια χωρίζονται σε υποχρεωτικά και συμπληρωματικά. Κάθε φυλλάδιο είναι αφιερωμένο σε ένα θέμα του κύκλου σπουδών, περιέχει τους βασικούς ορισμούς, θεωρήματα, καταγραμμένα σε μορφή προβλημάτων και συλλογή ασκήσεων «εφαρμογών». Στην διαδικασία της εκπαίδευσης ο μαθητής λύνει τα προβλήματα του φυλλαδίου, συζητάει τις λύσεις με τους δασκάλους και τις παραδίδει.»

«Το σύστημα των φυλλαδίων είχε πρώτο εισαχθεί την δεκαετία του 60 από τον Ν.Κονσταντίνοβ σε μαθηματικές τάξεις μερικών σχολείων της Μόσχας (7ο, 57ο, 91ο, 179ο). Βάση αυτού του συστήματος αποτελεί η μαιευτική μέθοδος του Σωκράτη. Συμπεριλαμβάνεται στο γεγονός, ότι ο μαθητής κινείται προς την αλήθεια, απαντώντας στις ερωτήσεις του δασκάλου του. Στην εργασία με το σύστημα των φυλλαδίων ακόμα και εξωτερικά το μάθημα φαίνεται παράξενο. Δεν υπάρχει δάσκαλος στον πίνακα, δεν υπάρχει έλεγχος εργασιών για το σπίτι, παράδοση νέου μαθήματος κτλ. Κατά την διάρκεια του μαθήματος στην τάξη βρίσκονται ταυτόχρονα 5-6 καθηγητές μαθηματικών (ονομάζετε ομάδα). Όλοι τους κάθονται στα θρανία σε διαφορετικά σημεία της τάξης και συζητούν με τους μαθητές τους. Με κάθε δάσκαλο στην διάρκεια σπουδών συνήθως συνδέονται 3-4 μαθητές.»

«Σημειώνεται ότι η διαδικασία που εκτελείται στο μάθημα δεν περικλείεται μόνο στα προβλήματα του φυλλαδίου. Ο καθηγητής μπορεί να συζητήσει και άλλους τρόπους λύσεις, να επιστρέψει σε παλιότερα προβλήματα, που συνδέονται με το παρόν θέμα, να θέσει νέα (και λάβει τις λύσεις). Ένας από τους βασικούς σκοπούς αυτού είναι να πληρώσει το κενό μεταξύ των προβλημάτων, η δημιουργία συνολικής εικόνας του θέματος εκμάθησης.

Τα φυλλάδια τα οποία στην διάρκεια τριών τεσσάρων ετών είναι πάνω από πενήντα, υποδιαιρούνται σε υποχρεωτικά και συμπληρωματικά. Στα υποχρεωτικά φυλλάδια επίσης υπάρχουν υποχρεωτικά και συμπληρωματικά προβλήματα.»

Πηγή για τα παραπάνω κομμάτια είναι τα βιβλία

[1] «Η Μαθηματική ανάλυση στο σχολείο 57»
[2] «Στοιχεία μαθηματικών σε προβλήματα, Μέρος 1»
[3] «Στοιχεία μαθηματικών σε προβλήματα, Μέρος 2»

Στην δημοσίευση παρακάτω μπορείτε να βρείτε το φυλλάδιο 17 που έχει ως θέμα την δεκαδική αναπαράσταση των πραγματικών αριθμών, που παραδόθηκε στα πλαίσια της 9ης τάξης, για να επιστρέψουμε έτσι στην αφορμή.

Al.Koutsouridis · #2

Φυλλάδιο 17: Άπειρα δεκαδικά κλάσματα

Ορισμός 1. $3=2+1, \quad 4=3+1, \quad 5=4+1, \quad 6=5+1, \quad 7=6+1 , \quad 8=7+1, \quad 9=8+1, \quad 10=9+1$ .

Ορισμός 2. Η γραφή της μορφής $a_{n}a_{n-1} \ldots a_{2}a_{1}$ , όπου $a_{i}$ είναι ένα από τα δέκα ψηφία (δηλαδή ένα από τα σύμβολα: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

) και $a_{n} \neq 0$ , ονομάζεται δεκαδική αναπαράσταση φυσικού αριθμού.

Πρόβλημα 1. Δώστε τον ορισμό της τιμής της δεκαδικής αναπαράστασης ενός φυσικού αριθμού.

Πρόβλημα 2. Δώστε τον ορισμό της δεκαδικής αναπαράστασης ενός ακέραιου αριθμού καθώς και της τιμής του.

Ορισμός 3. Η γραφή της μορφής $\pm A,a_{1}a_{2}\ldots a_{n}$ , όπου

δεκαδική αναπαράσταση φυσικού αριθμού ή

και $a_{i}$ ψηφία, ονομάζεται πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα. Αν η γραφή του ξεκινάει με το σύμβολο του συν, τότε συνήθως παραλείπεται.

Πρόβλημα 3. Δώστε τον ορισμό της τιμής ενός πεπερασμένου δεκαδικού κλάσματος.

Πρόβλημα 4. α) Γράψτε στην μορφή πεπερασμένου δεκαδικού κλάσματος τους αριθμούς $\dfrac{42}{125}, -\dfrac{57}{1250}, \dfrac{13}{25}$ .
β) Γράψτε στη μορφή συνήθους κλάσματος τους αριθμούς $-7,23 \quad 4,165 \quad -3,6489$ .

Ορισμός 4. Η γραφή της μορφής $\pm A,a_{1}a_{2}\ldots$ , όπου

δεκαδική αναπαράσταση φυσικού αριθμού ή

και $a_{i}$ ψηφία, ονομάζεται άπειρο δεκαδικό κλάσμα (ΑΔΚ).

Ορισμός 5. Τιμή ενός άπειρου δεκαδικού κλάσματος $\pm A,a_{1}a_{2}\ldots$ ονομάζεται ο αριθμός $\pm sup \{A,a_{1}a_{2} \ldots a_{n} | n \in \mathbb{N} \}$ . Τα ΑΔΚ με ίσες τιμές ονομάζονται δίδυμοι.

Πρόβλημα 5. Αποδειξτε την σωστότητα του ορισμού

.

Πρόβλημα 6. Γράψτε στην μορφή ΑΔΚ τους : $-\dfrac{1}{3} , \quad \dfrac{22}{7}, \quad \dfrac{19}{33}$ .

Πρόβλημα 7. Γράψτε στην μορφή συνήθους κλάσματος τους αριθμούς: $15,(2) \quad -2,(08) \quad 3,(9)$ .

Πρόβλημα 8. Αποδείξτε ότι για αποιονδήποτε πραγματικό αριθμό

υπάρχει τουλάχιστον ένα ΑΔΚ, η τιμή του οποίου ισούται με

.

Ορισμός 6. Το ΑΔΚ $A,a_{1} \ldots$ ονομάζεται περιοδικό, αν υπάρχουν τέτοιοι φυσικοί αριθμοί

και

, ώστε για όλα τα $l \geq k$ να ικανοποιείται $a_{l+n}=a_{l}$ . Η ελάχιστη δυνατή τιμή του

ονομάζεται περίοδος του ΑΔΚ.

Πρόβλημα 9. Να αποδείξεται ότι ένα ΑΔΚ είναι περιοδικό αν και μόνο αν, η τιμή του είναι ρητός αριθμός.

Πρόβλημα 10. Να αποδείξεται ότι το σύνολο των περιοδικών ΑΔΚ είναι αριθμήσιμο.

Πρόβλημα 11. Να αποδείξεται ότι δυο ΑΔΚ είναι δίδυμα αν και μόνο αν, μέχρι ένα σημείο συμπίπτουν και ύστερα έχουν την μορφή $a99 \ldots$ ή $(a+1)00 \ldots$

Πρόβλημα 12. Να αποδείξεται ότι οι περιόδοι των κλασμάτων $\dfrac{37}{2005}$ και $\dfrac{1968}{2005}$ είναι ίσες.

Ορισμός 7. Το ΑΔΚ $A,a_{1} \ldots$ δεν είναι μικρότερο του ΑΔΚ $B,b_{1} \dots$ , αν ικανοποιείται τουλάχιστον μία από τις παρακάτω συνθήκες:
1) A > B

2)

και υπάρχει τέτοιο $n \in \mathbb{N}$ , ώστε $a_{k}=b_{k}$ για k < n

και $A \cdot a_{n} > A \cdot b_{n}$ .
3) Τα $A,a_{1} \ldots$ και $B,b_{1} \dots$ είναι δίδυμοι.

Πρόβλημα 13. Να αποδείξετε ότι ένα μη αρνητικό ΑΔΚ δεν είναι μικρότερο ενός άλλου αν και μόνο αν, η τιμή του πρώτου δεν είναι μικρότερη της τιμής του δεύτερου.

Πρόβλημα 14. Δώστε τον ορισμό του αθροίσματος και του πολλαπλασιασμού πεπερασμένων δεκαδικών κλασμάτων.

Πρόβλημα 15*. (1) Σχηματίστε τον ορισμό των πραγματικών αριθμών με όρους ΑΔΚ. Αποδείξτε την ισοδυναμία αυτού του ορισμού με τον ορισμό του πραγματικού αριθμού από την λίστα "Πραγματικοί αριθμοί" (2).

Πρόβλημα 16*. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ΑΔΚ μπορούμε να μεταθέσουμε τα ψηφία έτσι, ώστε να γίνει περιοδικό.

(1) Με αστεράκι είναι τα συμπληρωματικά προβλήματα. Να σημειώσω ότι παρότι δεν είναι υποχρεωτικά, το κλίμα στην τάξη είναι τέτοιο που σχεδόν όλοι μαθητές ασχολούνται και παραδίδουν λύσεις.

(2) Οι πραγματικοί αριθμοί έχουν εισαχθεί σε προηγούμενο φυλλάδιο ως πλήρες πεδίο με διάταξη.

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 09, 2019 9:27 pm

Ορισμός 5. Τιμή ενός άπειρου δεκαδικού κλάσματος $\pm A,a_{1}a_{2}\ldots$ ονομάζεται ο αριθμός $\pm sup \{A,a_{1}a_{2} \ldots a_{n} | n \in \mathbb{N} \}$ . Τα ΑΔΚ με ίσες τιμές ονομάζονται δίδυμοι.

Πρόβλημα 5. Αποδειξτε την σωστότητα του ορισμού .

Καλό.

Μου θύμισε την πρόσφατη συζήτηση που είχαμε για την ισότητα 0,9999... =1

.

Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό, η ισότητα είναι άμεση.

Μου θυμίζει ένα σχόλιο του Αριστοτέλη σε ένα σημείο όπου συζητά την ισότητα λόγων. Τους ορίζει ως ίσους όταν έχουν την ίδια ανθυφαίρεση (ή ανταναίρεση, όπως την ονομάζει ο ίδιος). Λέει λοιπόν εκεί ότι ένας ορισμός είναι καλός όταν οι ιδιότητες που απορρέουν είναι άμεσες, και δίνει το παράδειγμα του θεωρήματος "ο λόγος των εμβαδών δύο ορθογωνίων παραλληλογράμμων με ίσα ύψη είναι ίσος με τον λόγο των βάσεων", του οποίου η απόδειξη με ανθυφαίρεση είναι σχεδόν μονολεκτική.

Ο παραπάνω ορισμός της τιμής άπειρου δεκαδικού κλάσματος περνάει την βάσανο του κριτηρίου του Αριστοτέλη.

Μάρκος Βασίλης · #4

Ιδιαίτερα κομψή κατασκευή και δίνει και μια ωραία άποψη για τους πραγματικούς, βασισμένη στη δεκαδική τους αναπαράσταση. Πράγματι, ο ορισμός των διδύμων και γενικότερα της τιμής ενός ΑΔΚ μας «λύνει τα χέρια», ωστόσο, έχω την εντύπωση ότι έχουμε πολύ δρόμο ακόμα μέχρι να δούμε πρωτοβουλία για φυσικομαθηματικά σχολεία στην Ελλάδα.

Παρ' όλα αυτά, δε θα μου φαινόταν άσχημη η πρωτοβουλία τέτοιες ασκήσεις/φυλλάδια να γίνουν μέρος ενός μαθήματος απειροστικού (ή ενός μαθήματος συμπληρωματικού στον απειροστικό), τουλάχιστον σε πρώτο επίπεδο.

Al.Koutsouridis · #5

Ας δούμε άλλο ένα παράδειγμα «ύλης/προσέγγισης» από φυσικομαθηματικό σχολείο της Ρωσίας. Ο λόγος για το Φυσικό-Μαθηματικό Σχολείο 45 της Αγίας Πετρούπολης (Νυν Ακαδημαϊκό Γυμνάσιο Φαντέεβ) υπό το Κρατικό Πανεπιστήμιο Αγίας Πετρούπολης. (Κάτι σαν πανεπιστημιακό πειραματικό σχολείο)

Θα αναφέρω μόνο το κομμάτι για το πως εισαγόταν η έννοια του ολοκληρώματος. Το κείμενο από κόμματι άρθρου του Α.Φλορίνσκιι (που ήταν μαθητής στο εν λόγο σχολείο την δεκαετία του

) στο περιοδικό «Μαθηματική Εκπαίδευση».

Η βάση της προσέγγισης της έννοιας του ολοκληρώματος ήταν τοποθετημένη, στο ότι το ολοκλήρωμα μπορεί να χαρακτηριστεί ως η μοναδική προσθετική συνάρτηση διαστήματος, που ικανοποιεί μερικές απλές ανισώσεις «μονοτονικής κανονικοποίησης». Μια από τις πρώτες αναφορές παρόμοιας προσέγγισης μπορεί να βρεθεί στην εργασία των Hanh H. & Rosenthal A. Set functions, University of New Mexico Press, 1948. Παρόμοια προσέγγιση γινόταν στο πανεπιστήμιο της Αγίας Πετρούπολης (Λένιγκρατ τότε) από τους καθηγητές V.Vladimirov, I. Natanson, V. Havin κ.α. στις δεκαετίες του 50, 60

. Τις δυνατότητες αξιωματικής προσέγγισης μιας σειράς γεωμετρικών εννοιών, βασισμένων στις ιδιότητες της προσθετικότητας, πολλές φορές υπεδείκνυε ο V.Rohlin.

«Ο ορισμός του ολοκληρώματος, συμπεριλαμβανόταν στα παρακάτω. Ολοκλήρωμα μιας φραγμένης συνάρτησης

, ορισμένης σε ένα κλειστό διάστημα

της ευθείας των πραγματικών αριθμών, ονομάζεται η μοναδική προσθετική συνάρτηση του διαστήματος T[a,b]

, ορισμένης στο σύνολο όλων των κλειστών διαστημάτων που ανήκουν στο

και ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: αν η συνάρτηση

στο

είναι φραγμένη κάτω και άνω από κάποιες σταθερές

και

, τότε η τιμή T[a,b]

θα βρίσκεται μεταξύ των αριθμών m(b-a)

και

. Αν τέτοια συνάρτηση T[a,b]

πράγματι υπάρχει και είναι μοναδική, τότε η αρχική συνάρτηση

ονομάζεται ολοκληρώσιμη και ο αριθμός T[a,b]

ονομάζεται τιμή του ολοκληρώματος της συνάρτησης

στο διάστημα [a,b]

.»

«Τι μεθοδολογικές ιδιαιτερότητες έχει ο δεδομένος ορισμός, είναι καλός ή άσχημος; Φυσικά, μονοσήμαντη απάντηση στην τελευταία ερώτηση δεν μπορεί να δοθεί. Παρ’ όλα αυτά μπορούμε να εκφράσουμε δυο σκέψεις. Πρώτον, αν και ο παραπάνω ορισμός είναι ισοδύναμος με τον κλασικό ορισμό του ολοκληρώματος κατά Riemann, εντούτοις είναι και πιο σύντομος από τον κλασσικό ορισμό και χρησιμοποιεί πιο απλά μαθηματικά εργαλεία. Εδώ δεν υπάρχει ούτε η μετάβαση στο όριο, ούτε διαμέριση σε απειροστά διαστήματα, ούτε δύσκολα για τον πρωτάρη άπειρα αθροίσματα, ούτε ελάχιστα άνω φράγματα ή μέγιστα κάτω φράγματα. Στον ορισμό συμμετέχουν μόνο η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός αριθμών και η σχετιζόμενες με αυτές τις πράξεις ανισώσεις. Με αυτό τον τρόπο έχουμε μπροστά μας τον ορισμό του ολοκληρώματος κατά Riemann, κατάλληλο για διδασκαλία ακόμα και στην όγδοη τάξη. Ακριβώς με αυτό το σκοπό ο ορισμός διδασκόταν και χρησιμοποιούταν. Η δεύτερη σκέψη περικλείεται, στο ότι η αυτή η μορφή του ορισμού του ολοκληρώματος εύκολα μεταφέρεται στην περίπτωση, που η συνάρτηση

ορίζεται σε κάποιο αρκετά γενικό χώρο

, εφοδιασμένο με κάποιο πεπερασμένο προσθετικό μέτρο. Αυτό ανοίγει την δυνατότητα για πιο εύκολη εκμάθηση του ολοκληρώματος με την θεωρία μέτρου στη συνέχεια στα ανώτερα ιδρύματα. Με αυτό το τρόπο, η ενέργεια, που έχει ξοδευτεί από τον μαθητευόμενο στον παραπάνω ορισμό δεν είναι μάταιη. Στην γνωριμία του με αυτό ο μαθητής αποκτάει όχι μόνο σωστή εκτέλεση πράξεων με ανισώσεις αλλά και για τις γενικές ιδέες της σύγχρονής θεωρίας του ολοκληρώματος.»

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Σχετικό

https://en.wikipedia.org/wiki/Riesz–Mar ... on_theorem

Μάρκος Βασίλης · #7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 15, 2020 4:25 pm
Ας δούμε άλλο ένα παράδειγμα «ύλης/προσέγγισης» από φυσικομαθηματικό σχολείο της Ρωσίας. Ο λόγος για το Φυσικό-Μαθηματικό Σχολείο 45 της Αγίας Πετρούπολης (Νυν Ακαδημαϊκό Γυμνάσιο Φαντέεβ) υπό το Κρατικό Πανεπιστήμιο Αγίας Πετρούπολης. (Κάτι σαν πανεπιστημιακό πειραματικό σχολείο)

Θα αναφέρω μόνο το κομμάτι για το πως εισαγόταν η έννοια του ολοκληρώματος. Το κείμενο από κόμματι άρθρου του Α.Φλορίνσκιι (που ήταν μαθητής στο εν λόγο σχολείο την δεκαετία του ) στο περιοδικό «Μαθηματική Εκπαίδευση».

Η βάση της προσέγγισης της έννοιας του ολοκληρώματος ήταν τοποθετημένη, στο ότι το ολοκλήρωμα μπορεί να χαρακτηριστεί ως η μοναδική προσθετική συνάρτηση διαστήματος, που ικανοποιεί μερικές απλές ανισώσεις «μονοτονικής κανονικοποίησης». Μια από τις πρώτες αναφορές παρόμοιας προσέγγισης μπορεί να βρεθεί στην εργασία των Hanh H. & Rosenthal A. Set functions, University of New Mexico Press, 1948. Παρόμοια προσέγγιση γινόταν στο πανεπιστήμιο της Αγίας Πετρούπολης (Λένιγκρατ τότε) από τους καθηγητές V.Vladimirov, I. Natanson, V. Havin κ.α. στις δεκαετίες του . Τις δυνατότητες αξιωματικής προσέγγισης μιας σειράς γεωμετρικών εννοιών, βασισμένων στις ιδιότητες της προσθετικότητας, πολλές φορές υπεδείκνυε ο V.Rohlin.

«Ο ορισμός του ολοκληρώματος, συμπεριλαμβανόταν στα παρακάτω. Ολοκλήρωμα μιας φραγμένης συνάρτησης , ορισμένης σε ένα κλειστό διάστημα της ευθείας των πραγματικών αριθμών, ονομάζεται η μοναδική προσθετική συνάρτηση του διαστήματος , ορισμένης στο σύνολο όλων των κλειστών διαστημάτων που ανήκουν στο και ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: αν η συνάρτηση στο είναι φραγμένη κάτω και άνω από κάποιες σταθερές και , τότε η τιμή θα βρίσκεται μεταξύ των αριθμών και . Αν τέτοια συνάρτηση πράγματι υπάρχει και είναι μοναδική, τότε η αρχική συνάρτηση ονομάζεται ολοκληρώσιμη και ο αριθμός ονομάζεται τιμή του ολοκληρώματος της συνάρτησης στο διάστημα .»

«Τι μεθοδολογικές ιδιαιτερότητες έχει ο δεδομένος ορισμός, είναι καλός ή άσχημος; Φυσικά, μονοσήμαντη απάντηση στην τελευταία ερώτηση δεν μπορεί να δοθεί. Παρ’ όλα αυτά μπορούμε να εκφράσουμε δυο σκέψεις. Πρώτον, αν και ο παραπάνω ορισμός είναι ισοδύναμος με τον κλασικό ορισμό του ολοκληρώματος κατά Riemann, εντούτοις είναι και πιο σύντομος από τον κλασσικό ορισμό και χρησιμοποιεί πιο απλά μαθηματικά εργαλεία. Εδώ δεν υπάρχει ούτε η μετάβαση στο όριο, ούτε διαμέριση σε απειροστά διαστήματα, ούτε δύσκολα για τον πρωτάρη άπειρα αθροίσματα, ούτε ελάχιστα άνω φράγματα ή μέγιστα κάτω φράγματα. Στον ορισμό συμμετέχουν μόνο η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός αριθμών και η σχετιζόμενες με αυτές τις πράξεις ανισώσεις. Με αυτό τον τρόπο έχουμε μπροστά μας τον ορισμό του ολοκληρώματος κατά Riemann, κατάλληλο για διδασκαλία ακόμα και στην όγδοη τάξη. Ακριβώς με αυτό το σκοπό ο ορισμός διδασκόταν και χρησιμοποιούταν. Η δεύτερη σκέψη περικλείεται, στο ότι η αυτή η μορφή του ορισμού του ολοκληρώματος εύκολα μεταφέρεται στην περίπτωση, που η συνάρτηση ορίζεται σε κάποιο αρκετά γενικό χώρο , εφοδιασμένο με κάποιο πεπερασμένο προσθετικό μέτρο. Αυτό ανοίγει την δυνατότητα για πιο εύκολη εκμάθηση του ολοκληρώματος με την θεωρία μέτρου στη συνέχεια στα ανώτερα ιδρύματα. Με αυτό το τρόπο, η ενέργεια, που έχει ξοδευτεί από τον μαθητευόμενο στον παραπάνω ορισμό δεν είναι μάταιη. Στην γνωριμία του με αυτό ο μαθητής αποκτάει όχι μόνο σωστή εκτέλεση πράξεων με ανισώσεις αλλά και για τις γενικές ιδέες της σύγχρονής θεωρίας του ολοκληρώματος.»

Πολύ ενδιαφέρουσα προσέγγιση. Υπάρχει διαθέσιμο υλικό από τη διδασκαλία στην τάξη υπό αυτήν την προσέγγιση; Επίσης, υπάρχει, ενδεχομένως, σχετική βιβλιογραφία που να συγκρίνει ως προς τα μαθησιακά αποτελέσματα την παραπάνω προσέγγιση με τις τυπικές προσεγγίσεις που ακολουθούνται σε ένα μάθημα απειροστικού λογισμού - ή ακόμα και την «ισοδύναμη» διαισθητική προσέγγιση που ακολουθεί το σχολικό βιβλίο;

Al.Koutsouridis · #8

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 16, 2020 1:10 pm
Πολύ ενδιαφέρουσα προσέγγιση. Υπάρχει διαθέσιμο υλικό από τη διδασκαλία στην τάξη υπό αυτήν την προσέγγιση; Επίσης, υπάρχει, ενδεχομένως, σχετική βιβλιογραφία που να συγκρίνει ως προς τα μαθησιακά αποτελέσματα την παραπάνω προσέγγιση με τις τυπικές προσεγγίσεις που ακολουθούνται σε ένα μάθημα απειροστικού λογισμού - ή ακόμα και την «ισοδύναμη» διαισθητική προσέγγιση που ακολουθεί το σχολικό βιβλίο;

Ναι, μου κίνησε και εμένα το ενδιαφέρον αν και δεν έχω εικόνα της εν λόγο θεωρίας. Δυστυχώς δεν έχω βρει υλικό με την διδασκαλία στο παραπάνω σχολείο, ούτε και για το λύκειο 239 που είχα κοιτάξει παλιότερα. Γενικά δεν υπάρχει πολύ πληροφορία ειδικά με ψάξιμο από το διαδίκτυο. Και στο δεύτερο ερώτημα πάλι δεν έχω βρει κάτι σχετικά με τα αποτελέσματα και σύγκριση αυτών των μεθόδων. Ίσως να υπάρχουν διάσπαρτα στοιχεία στο περιοδικό «Μαθηματικά στο Σχολείο» και σε περιοδικές εκδόσεις των πανεπιστημίων.

Ανδρέας Πούλος · #9

Επειδή έχει επανέλθει η συζήτηση για τα Φυσικομαθηματικά Σχολεία που υπάρχουν σε διάφορες χώρες του κόσμου,
αναρτώ την εισήγηση μου στο 33 Ετήσιο Συνέδριο της Ε.Μ.Ε. το 2016 για το Μαθηματικό Σχολείο του Βελιγραδίου (Μ.G.B.).
Θεωρώ ότι ταιριάζει με το θέμα, αν και έχουμε πολύ δρόμο μπροστά μας ως χώρα και ως μαθηματική κοινότητα
για την υλοποίηση τέτοιων σχολείων.

Al.Koutsouridis · #10

Όντως το Μαθηματικό Σχολείο του Βελιγραδίου είναι πολύ ισχυρό. Νομίζω είναι πρώτο σε διεθνή μετάλλια παγκοσμίως. Αν και τα μετάλλια είναι ένα στενό κριτήριο για την επιτυχία ή μη ενός σχολείου και τον γενικότερο ρόλο που έχει στην εκάστοτε χώρα ως εκπαιδευτική μονάδα.

Αν ανατρέξει κανείς στην βιβλιογραφική αναφορά που αναφέρει ο κ. Πούλος στο άρθρο του (https://www.webcitation.org/5wqLJrHeI) και συγκεκριμένα στις σελίδες 67-73 (7η τάξη) και 173-177 (8η τάξη), όπου υπάρχει το αναλυτικό πρόγραμμα για τα μαθηματικά, θα διαπιστώσει ότι η ύλη του γυμνασίου (ελληνικού) υπερκαλύπτεται σε αυτές της δυο τάξεις (συν μερικά κεφάλαια όπως βασικά συνδυαστικής, αρχή περιστερώνα, βασικά στις διοφαντικές εξισώσεις, διαιρετότητα, αλγόριθμος Ευκλείδη, στερεά στην γεωμετρία κτλ.). Το πρόγραμμα περιέχει 3 ώρες άλγεβρα και 3 ώρες γεωμετρία την εβδομάδα για 36 διδακτικές εβδομάδες στην εκάστοτε τάξη.

Το παραπάνω πρόγραμμα πρέπει να αντιστοιχεί στο «γυμνάσιο» (τάξεις 7 & 8η). Το αναλυτικό πρόγραμμα συνεχίζει με το «Λύκειο» τέσσερεις τάξεις (1,2,3 &4η).

Στην πρώτη τάξη διδάσκεται Άλγεβρα & Ανάλυση, 4 ώρες την εβδομάδα για 35 διδακτικές εβδομάδες. Γεωμετρία 4 ώρες την εβδομάδα για 35 διδακτικές εβδομάδες.

Στην δεύτερη τάξη διδάσκεται Άλγεβρα & Ανάλυση, 4 ώρες την εβδομάδα για 35 διδακτικές εβδομάδες. Γεωμετρία 4 ώρες την εβδομάδα για 35 διδακτικές εβδομάδες.

Στην Τρίτη τάξη διδάσκεται Άλγεβρα & Ανάλυση, 4 ώρες την εβδομάδα για 35 διδακτικές εβδομάδες. Γραμμική Άλγεβρα & Αναλυτική Γεωμετρία, 4 ώρες την εβδομάδα για 35 διδακτικές εβδομάδες.

Στην τέταρτη τάξη διδάσκεται Άλγεβρα & Ανάλυση, 4 ώρες την εβδομάδα για 31 διδακτικές εβδομάδες .Πιθανότητες & Στατιστική, 2 ώρες την εβδομάδα για 36 διδακτικές εβδομάδες. Αριθμητικές Μέθοδοι, 2 ώρες την εβδομάδα για 36 διδακτικές εβδομάδες.

Για το περιεχόμενο κάθε μαθήματος θέλει περισσότερο ψάξιμο…

Πηγή: https://www.mg.edu.rs/sr/nastava/nastav ... -i-program
Τα εγχειρίδια που χρησιμοποιούνται πρέπει να είναι αυτά: http://www.krugizdavackakuca.rs/Mat-gimnazija.htm

Edit: Συμπλήρωσα μερικά στοιχεία για τις μεγαλύτερες τάξεις.

Al.Koutsouridis · #11

Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 16, 2020 1:10 pm
Πολύ ενδιαφέρουσα προσέγγιση. Υπάρχει διαθέσιμο υλικό από τη διδασκαλία στην τάξη υπό αυτήν την προσέγγιση; Επίσης, υπάρχει, ενδεχομένως, σχετική βιβλιογραφία που να συγκρίνει ως προς τα μαθησιακά αποτελέσματα την παραπάνω προσέγγιση με τις τυπικές προσεγγίσεις που ακολουθούνται σε ένα μάθημα απειροστικού λογισμού - ή ακόμα και την «ισοδύναμη» διαισθητική προσέγγιση που ακολουθεί το σχολικό βιβλίο;

Αν και εικάζω αυτό που διδάσκονταν στο σχολείο ήταν πιο γενικό από τα παρακάτω και πιο κοντά στη θεωρία μέτρου και ολοκληρώσης ή τουλάχιστον μια τάση προς τα εκεί, όπως αναφέρει και ο κ. Παπαδόπουλος παραπάνω #6. Εντούτοις θα μεταφέρω τον ορισμό του ολοκληρώματος όπως τον έχει στο βιβλίο του Χάβιν «Αρχές Μαθηματικής Ανάλυσης. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας πραγματικής μεταβλητής» (κεφάλαιο 4), που ήταν καθηγητής στο πανεπιστήμιο της Αγίας Πετρούπολης και νομίζω είναι ένα ενδιάμεσο βήμα προς αυτήν την κατεύθυνση.

Συμβολίζουμε με $\mathbb{F}$ το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών της μορφής $\left ( f, [a,b] \right )$ , όπου

συνεχής συνάρτηση, a,b

αριθμοί με a < b

και $[a,b] \subset dom f$ (με dom f

συμβολίζει το πεδίο ορισμού της

).

Ολοκλήρωμα ονομάζεται η συνάρτηση $\mathbb{J} : \mathbb{F} \to \mathbb{R}$ , που ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες:

Ι. $\left ( f, [a,b] \right ) \in \mathbb{F}, a <c<b \Rightarrow \mathbb{J} \left ( f, [a,b] \right ) = \mathbb{J} \left ( f, [a,c] \right ) +\mathbb{J} \left ( f, [c,b] \right )$

II. $\left ( f, [a,b] \right ) , \left ( g, [a,b] \right ) \in \mathbb{F}, f(t) \leq g(t}$ για κάθε $t \in [a,b] \Rightarrow \mathbb{J} \left ( f, [a,b] \right ) \leq \mathbb{J} \left ( g, [a,b] \right )$ .

III. $k \in \mathbb{R}, \left ( f, [a,b] \right ) \in \mathbb{F}, f(t) =k$ για κάθε $t \in [a,b] \Rightarrow \mathbb{J} \left ( f, [a,b] \right )=k \cdot (b-a)$ .

Ο αριθμός $\mathbb{J} \left ( f, [a,b] \right )$ ονομάζεται ολοκλήρωμα της συνάρτησης

στο διάστημα [a,b]

και συμβολίζεται με $\displaystyle{\int_{a}^{b} f}$ .

Στις επόμενες παραγράφους του ορισμού αποδεικνύεται η ύπαρξη και μοναδικότητα μιας τέτοιας συνάρτησης καθώς και η ισοδυναμία των ορισμών του ολοκληρώματος κατά Riemann και μέσο παράγουσας με τον παραπάνω ορισμό. Το κεφάλαιο με τα ολοκληρώματα έχει αρκετά εφαρμοσμένο χαρακτήρα αφού μελετούνται σε αυτό τα προβλήματα:

α) Σχέση μεταξύ ταχύτητας και μετατόπισης σε ευθύγραμμη κίνηση.
β) Υπολογισμός μάζας σε ράβδο με δοθείσα συνάρτηση πυκνότητας
γ) Εμβαδόν υπογραφήματος φραγμένης συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα.
δ) Αύξηση (μεταβολή) της παράγουσας κάποιας συνάρτησης.

Στα οποία προβλήματα κοινό χαρακτηριστικό είναι οι παραπάνω ιδιότητες.

Al.Koutsouridis · #12

Με αφορμή την δημοσίευση εδώ, επανέρχομαι στην παρούσα με μερικά πραδείγματα για το πως είναι το ωρολόγιο πρόγραμμα στο Λύκειο 239 της Αγίας Πετρούπολης.

Ωρολόγιο πρόγραμμα της 9ης τάξης. Υπάρχουν 5 τμήματα για την 9η τάξη, το παρακάτω είναι για μια από αυτές.

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 (9:15-10:00) & 2 (10:10-10:55) & 3 (11:10-11:55) & 4 (12:10-12:55) & 5 (13:25-14:10) & 6 (14:20-15:05) & 7 (15:15-16:00) \\ \hline \text{\gr ΔΕ} & \text{\gr Αλγ} & \text{\gr Ιστ} & \text{\gr Αγγ/Αγγ} & \text{\gr Αγγ/Αγγ} & \text{\gr Γλσ/Φυσ Εργ.} & \text{\gr Φυσ Εργ./Γλς} & \\ \hline \text{\gr ΤΡ} & \text{\gr Φυσ} & \text{\gr Γεωγ} & \text{\gr Πλρ/Γεωμ} & \text{\gr Γεωμ/Πλρ} & \text{\gr Πλρ/Γεωμ} & \text{\gr Γεωμ/Πλρ} & \\ \hline \text{\gr ΤΕ} & \text{\gr Λγτ} & \text{\gr Αλγ} & \text{\gr Αλγ} & \text{\gr Γυμ} & \text{\gr Γυμ} & \text{\gr Αγγ/Αγγ} & \\ \hline \text{\gr ΠΕ} & \text{\gr Λγτ} & \text{\gr Λγτ} & \text{\gr Χημ} & \text{\gr Κοιν} & \text{\gr Φυσ} & \text{\gr Φυσ} & \\ \hline \text{\gr ΠΑ} & \text{\gr Αλγ} & \text{\gr Αλγ} & \text{\gr Λγτ} & \text{\gr Γλσ} & \text{\gr Γυμ} & \text{\gr Βιολ} & \\ \hline \text{\gr ΣΑ} & \text{\gr Φυσ} & \text{\gr Φυσ} & \text{\gr Ιστ} & \text{\gr Χημ} & \text{\gr Αλγ} & \text{\gr Γεωμ} & \\ \hline \end{tabular}$

Στις ώρες που περιέχει μαθήματα χωρισμένα με κάθετο (/) η τάξη χωρίζεται σε δυο ομάδες και η κάθε μια κάνει ένα από αυτά. Αντιστοιχούν σε εργαστήρια ή φροντηστιριακή ώρα (ασκήσεις κτλ).

Πρόγραμμα ομίλων σχετικών με μαθηματικά, για την 9η τάξη:

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & \text{\gr Όμιλος} & \text{\gr Έτος} & \text{\grΤάξη} & \text{\gr ΔΕ} & \text{\gr ΤΡ} & \text{\gr ΤΕ} & \text{\gr ΠΕ} & \text{\gr ΠΑ} & \text{\gr ΣΑ} \\ \hline & \text{\gr Ολυμπιακά Μαθηματικά} & 1 & 9 & & 17:10-18:50 & & & 17:10-18:50 & \\ \hline & \text{\gr Μαθηματικό Κέντρο} & 5 & 9 & & & 16:00-19:00& & & 16:00-19:00 \\ \hline \end{tabular}$

Στον παραπάνω πίνακα το έτος αντιστοιχεί στο: για ποιό συνεχόμενο έτος τρέχει αυτός ο όμιλος για την αντίστοιχη τάξη. Για παράδειγμα εδώ για τον όμιλο "Ολυμπιακά μαθηματικά" είναι 1, που σημαίνει ότι στην 9η τάξη είναι το πρώτο έτος συμμετοχής σε αυτόν τον όμιλο. Αντίστοιχα στον όμιλο "Μαθηματικό Κέντρο" το έτος 5 σημαίνει ότι ο όμιλος τρέχει ήδη για 5ο συνεχόμενο έτος (5η τάξη είναι η τάξη εισαγωγής στο μαθηματικό λύκειο 239).

Ο όμιλος "Μαθηματικό Κέντρο" τρέχει παράλληλα και για τα 5 τμήματα της 9ης τάξης σε αντιθέση με τον "Ολυμπιακά Μαθηματικά" που είναι κοινός για όλους.

Να σημειώσουμε σαν έξτρα πληροφορία, ότι ο όμιλος "Ολυμπιακά Μαθηματικά" για την 9η τάξη έχει σαν εισηγητή τον αρχηγό της ρωσικής ολυμπιακής ομάδας.

Πηγή: Η σελίδα του Λυκείου 239

Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Re: Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Re: Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Re: Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Re: Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Re: Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Re: Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Re: Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Re: Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Re: Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Re: Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Re: Ματιές σε φυσικομαθηματικά σχολεία

Μέλη σε σύνδεση