Οδυνηρή μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Οδυνηρή μεγιστοποίηση.png (12.82 KiB) Προβλήθηκε 2888 φορές

Είναι : $OA=OB=a , OA \perp OB$ . Το

κινείται επί της

. Το

εφάπτεται στο "βόρειο"

ημικύκλιο διαμέτρου

. Υπολογίστε το μέγιστο του (TSA)

και βρείτε την τότε θέση του σημείου

.

nickchalkida · #2

Επί της

θεωρώ τμήμα

τέτοιο ώστε OG=ST

και συγκρίνω τα εμβαδά
των παραλληλογράμμων (SEAO)

,

για θέση του

πάνω ή κάτω του

.
Παρατηρώ ότι όταν το

διατρέχει από το

στο

το

διατρέχει από το

στο

.
Τότε παίρνω διαδοχικά:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & OS > OG \rightarrow OS > AH \rightarrow OS^2 > AH^2 \rightarrow \cr & {OS \over AH} > {AH \over OS} \rightarrow {OI \over IH} > {AH \over OS} \rightarrow \cr & OS \cdot OI > AH \cdot IH \rightarrow (SOI) > (AIH) \rightarrow \cr & (SOI) + (SIA) > (AIH) + (SIA) \rightarrow (OSA) > (SHA) \rightarrow (SEAO) > (STAH) \cr \end{aligned} }$

Παρόμοια αποδεικνύεται ότι για OS < OG

τότε

.
Αλλά το εμβαδό του (SEAO)

αυξάνεται γραμμικά από το

στο

,
άρα το

θα μεγιστοποιηθεί όταν το

ταυτιστεί με το

.

Για τον υπολογισμό του

σε κατάλληλα διαμορφωμένο σχήμα όπου S=G

,
θέτω

,

και

. Επιλύοντας τότε τις κάτωθι εξισώσεις

$\displaystyle{ \left\{ \begin{aligned} & y^2 = (a-x) \cdot a \cr & {a-x \over x} = {y \over OT} \cr & x^2 + a^2 = GA^2 \cr & GA \cdot OT = 2 \cdot a \cdot x \cr \end{aligned} \right. }$

βρίσκω την δευτεροβάθμια x^2 + 4ax - 3a^2 = 0

από όπου
βρίσκω για αποδεκτή ρίζα την $OG = x = a(\sqrt{7}-2)$ .

#3

: Οδυνηρή μεγιστοποίηση_προσεγγιστικά.png (32.52 KiB) Προβλήθηκε 2776 φορές

Η προσέγγισή μου έχει απόκλιση.

Δείτε το σχήμα.

#4

Βρίσκω με geogebra, για a=6,

το ίδιο αποτέλεσμα με τον Νίκο Φραγκάκη, ενώ αρχικά

πίστευα ότι είναι $\displaystyle \frac{{{a^2}}}{2}\left( {\sqrt 7 - 2} \right) \simeq 11,62352.$ Ακόμα την προσπαθώ...

#5

Δυσκολεύομαι να καταλάβω το εξής βήμα (από το "άρα" και κάτω):

nickchalkida έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 11, 2020 12:17 pm
$\displaystyle{OS > OG\rightarrow... \rightarrow (SEAO) > (STAH) }$
...
Παρόμοια αποδεικνύεται ότι για τότε .
Αλλά το εμβαδό του αυξάνεται γραμμικά από το στο ,
άρα το θα μεγιστοποιηθεί όταν το ταυτιστεί με το .

Ίσως δεν βλέπω κάτι. Το δικό μου συμπέρασμα από τις

$\displaystyle{OS > OG\rightarrow... \rightarrow (SEAO) > (STAH) }$
$\displaystyle{OS < OG\rightarrow... \rightarrow (SEAO) < (STAH) }$

είναι ότι αν $\displaystyle{OS=OG$ τότε (SEAO) = (STAH)

Δεν βλέπω πώς βγαίνει το συμπέρασμα ότι τότε θα μεγιστοποιηθεί το $\displaystyle{(STAH) }$ .

nickchalkida · #6

Καταρχάς να εγκωμιάσω τις μαντικές ικανότητες του θεματοδότη Θανάση για το θέμα "Οδυνηρή μεγιστοποίηση".

Βλέποντας στην αρχή βιαστικά τα σχόλια, πίστεψα ότι επρόκειτο για κάποιο "Οδυνηρό λάθος",
αλλά ερχόμενος σπίτι και ξανακάνοντας υπολογισμούς προβληματίστηκα περισσότερο για το "Οδυνηρό λάθος".

Αν μιλάμε για απόκλιση για τι είδους απόκλιση μιλάμε;

Διαφωνούμε ότι το μέγιστο επιτυγχάνεται για OS = OG

;

Για την παρατήρηση του κυρίου Μιχάλη να πω ότι έχει δίκιο. Η φράση "αυξάνεται γραμμικά"
έκρυψε με πολύ λίγα λόγια το προφανές από τη δημιουργία του σχήματος στο Geogebra
για την μεταβολή του εμβαδού (STAH)

. Αύξουσα για

πάνω από το

και φθίνουσα για κάτω (αλλά και πάλι ελλειπές).
Μια αυστηρή απόδειξη θα χαλούσε αυτά που ήθελα να δείξω.

Επειδή λοιπόν υπάρχουν πολλά πολλά που δεν κατάλαβα, που ίσως δεν βλέπω ή κάνω λάθος,
θα περιμένω να δω και διαφορετικές λύσεις για να κατανοήσω τα λάθη μου.

#7

Συνοπτικά γιατί έχει πολλές πράξεις.

: Οδυνηρό....png (19.08 KiB) Προβλήθηκε 2723 φορές

Είναι $\displaystyle B{T^2} = ax$ και με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα OBT, OST

και απαλοιφή του $\displaystyle OT\cdot \cos \theta,$ παίρνω

$\boxed{aST^2=xOT^2}$ Στη συνέχεια με νόμο συνημιτόνου στο OAT

και επειδή $\displaystyle A{T^2} + S{T^2} = {a^2} + {(a - x)^2},$ βρίσκω

$\displaystyle (TSA)=f(x) = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{{{(a - x)}^2}}}{{1 + \frac{a}{x} - \frac{{2a\sqrt a }}{{\sqrt {x{a^2} + x{{(a - x)}^2}} }}}}\left( {{a^2} + {{(a - x)}^2} - \frac{{{{(a - x)}^2}}}{{1 + \frac{a}{x} - \frac{{2a\sqrt a }}{{\sqrt {x{a^2} + x{{(a - x)}^2}} }}}}} \right)}$

όπου με τη βοήθεια λογισμικού βρίσκω ότι για $\displaystyle x \simeq 0,351847a$ έχουμε μέγιστο εμβαδόν $\displaystyle {(TSA)_{\max }} \simeq 0,3228803{a^2}$

#8

nickchalkida έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 11, 2020 6:37 pm
Διαφωνούμε ότι το μέγιστο επιτυγχάνεται για ;

Για την παρατήρηση του κυρίου Μιχάλη να πω ότι έχει δίκιο. Η φράση "αυξάνεται γραμμικά"
έκρυψε με πολύ λίγα λόγια το προφανές από τη δημιουργία του σχήματος στο Geogebra
για την μεταβολή του εμβαδού . Αύξουσα για πάνω από το και φθίνουσα για κάτω (αλλά και πάλι ελλειπές).
Μια αυστηρή απόδειξη θα χαλούσε αυτά που ήθελα να δείξω.

.
Δεν φαίνεται να έλαβα καθαρή απάντηση στο σχόλιό μου
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 11, 2020 3:48 pm
Δυσκολεύομαι να καταλάβω το εξής βήμα (από το "άρα" και κάτω):

nickchalkida έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 11, 2020 12:17 pm
$\displaystyle{OS > OG\rightarrow... \rightarrow (SEAO) > (STAH) }$
...
Παρόμοια αποδεικνύεται ότι για τότε .
Αλλά το εμβαδό του αυξάνεται γραμμικά από το στο ,
άρα το θα μεγιστοποιηθεί όταν το ταυτιστεί με το .
Δεν βλέπω πώς βγαίνει το συμπέρασμα ότι τότε θα μεγιστοποιηθεί το $\displaystyle{(STAH) }$ .

.
Ας δούμε ένα παράδειγμα στο οποίο δεν ισχύει το συμπέρασμα του συλλογισμού:

Πες ότι σε μία άλλη κατάσταση για $0\le x \le 1$ ισχύει $(SEAO)= x,\, (STAH)=1-x$ . Παρατηρούμε ότι για

$x< \frac {1}{2}$ ισχύει (SEAO) < (STAH)

καθώς ισοδυναμεί με το αληθές x<1-x

. Επίσης για

$x>\frac {1}{2}$ ισχύει (SEAO) > (STAH)

καθώς ισοδυναμεί με το αληθές x>1-x

.

Επίσης το (SEAO)

αυξάνει με το

. Όμως η

δεν λαμβάνει το μέγιστό της όταν $x=\frac {1}{2}$ (το λαμβάνει στο x=0

), όπως ισχυρίζεται το παραπάνω επιχείρημα.

Ίσως δεν βλέπω κάτι στην προταθείσα λύση, οπότε μπορεί να χάνω το ουσιαστικό βήμα. Όμως έλυσα την άσκηση με Τριγωνομετρικό τρόπο (οι πράξεις είναι πάρα πολλές και δεν τολμώ να τις γράψω, και η πιθανότητα λάθους είναι βέβαια υπαρκτή) αλλά βρήκα με χρήση λογισμικού την ίδια απάντηση με τον Γιώργο και τον Νίκο (Doloros), συγκεκριμένα OS=0,648153a

, που είναι διαφορετική από την απάντηση του Νίκου (nickchalkida) $OS=(\sqrt 7 -2)a=0,64575a$

Περιμένω να δω τι έχει κατά νου ο θεματοθέτης. Πάντως δεν πιστεύω ότι η τελική απάντηση για το μέγιστο του εμβαδού (STA)

μπορεί να γίνει με καθαρά Μαθηματικά. Η παράσταση είναι τεράστια και μόνο με λογισμικό (και άρα με τα σφάλματα που μπορεί να ελλοχεύουν) μπορούμε να βγάλουμε κάποια τιμή.

nickchalkida · #9

Θεωρώντας από πιθανότητες ασυμπτωματική την ύπαρξη πολλών συμπτώσεων ( $\leftarrow$ καλό)
αλλά και ανάγκη διασαφήνισης της ορθότητας του συλλογισμού
με βάση τον οποίο τα εμβαδά (SEAO)

,

είναι ίσα, παραθέτω παρακάτω
περιληπτικά την ανάλυση που έκανα, η οποία φαίνεται ότι μάλλον
τεκμηριώνει περισσότερο τον συλλογισμό.

Για την ανάλυση θεώρησα γραμμικές μεταβολές των εμβαδών,
μεταφέροντας (όχι με ακρίβεια) την εικόνα του σχήματος που είχα από το Geogebra
κατα το δυνατόν άροντας εξαρτήσεις συμβάντων.
Για αυτά τα σχήματα ισχύουν τα ακόλουθα:

$\bullet$ Η μωβ γραμμή παριστά την μεταβολή του εμβαδού (SEAO)

η με καφέ
την μεταβολή του εμβαδού (STAH)

η οποία έχει κορυφή στο

.
$\bullet$ Το

διατρέχει από το

στο

.
$\bullet$ S_M

είναι το σημείο της

κατά το οποίο η (STAH)

μεγιστοποιείται.
$\bullet$ S_G

είναι το σημείο της

κατά το οποίο

και

ταυτίζονται.

Οι περιπτώσεις που εξέτασα διαμερίζονται από τη θέση της κορυφής

,
"άνω", "κάτω" και "επί" της μωβ γραμμής,
και από τη θέση του S_G

, "αριστερά" ή δεξιά του S_M

.
Διατρέχοντας τότε το

από το

στο

, σε όλες τις περιπτώσεις
μπορούσα να βρώ μη αποδεκτές θέσεις του

, δηλαδή θέσεις που απορρίπτονταν
από τον εν λόγω συλλογισμό, δηλαδή σε άτοπο. (Με κόκκινο στα σχήματα)

Ένσταση! "Οι γραμμές μεταβολών" δεν είναι όπως απεικονίζονται στα σχήματα
αλλά παραβολικές ή κάτι τέτοιο εφόσον στα σχήματα απεικονίζονται εμβαδά και όχι μεταβολές.
Όμως και πάλι θα μπορούσαμε να υποστηρίξουμε τον συλλογισμό διαφοροποιώντας
το ότι οι γραμμές δεν συμβολίζουν εμβαδά αλλά τις διαγωνίους των παραλληλογράμμων.
Επειδή όμως έχει ήδη αρχίσει να διαφαίνεται ότι αν ο συλλογισμός ισχύει
τότε πρόκειται και κάτι ποιό γενικό, διατύπωσα μια πρόταση,
η απόδειξη της οποίας (αν δεν θεωρηθεί προφανής) πιστεύω να διασαφηνίσει αυτό που ζητάμε.
Πιστεύω να πέτυχα την παραλληλία.

Έστω

μονότονη συνάρτηση (κόκκινη γραμμή) με μέγιστο

στο

ενώ η

γνησίως φθίνουσα (μπλέ γραμμή) τέμνει την την

στο

είναι τέτοια ώστε:

$\displaystyle{ g(x) \left\{ \begin{aligned} & > K \ \ για \ \ x < x_K \cr & < K \ \ για \ \ x > x_K \cr \end{aligned} \right. }$

Ισχυρίζομαι ότι

και

ταυτίζονται.

Να προσθέσω ότι με το αντιπαράδειγμα του κυρίου Μιχάλη διαφωνώ
ως προς την μονοτονία της 1-x

. Στο πρόβλημα η (STAH)

έχει κορυφή
και γνήσια μονοτονία εκτός αυτής.
Σίγουρα σε πολλά μπορεί να έχω λάθος ή άλλα να μου διαφεύγουν αλλά για αυτό γράφω.

#10

nickchalkida έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 13, 2020 11:57 am
... διαφωνώ
ως προς την μονοτονία της .

Εδώ είναι που σε έχασα τελείως.

#11

nickchalkida έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 13, 2020 11:57 am

Έστω μονότονη συνάρτηση (κόκκινη γραμμή) με μέγιστο στο
ενώ η γνησίως φθίνουσα (μπλέ γραμμή) τέμνει την την στο
είναι τέτοια ώστε:

$\displaystyle{ g(x) \left\{ \begin{aligned} & > K \ \ για \ \ x < x_K \cr & < K \ \ για \ \ x > x_K \cr \end{aligned} \right. }$

Ισχυρίζομαι ότι και ταυτίζονται.

Αντί να βελτιώνεται η ασάφεια στην προταθείσα απόδειξη, έχουμε αύξηση των σφαλμάτων. Συγκεκριμένα:

α) Πρώτα απ΄ όλα θα υποθέσω ότι το "

μονότονη συνάρτηση (κόκκινη γραμμή)" είναι σφάλα εκ παραδρομής και στην θέση του εννοείται "

συνεχής συνάρτηση (κόκκινη γραμμή)". Αυτό άλλωστε δηλώνει το σχήμα του Νίκου (nickchalkida). Το συγκεκριμένο το θεωρώ μικρό-διορθώσιμο σφάλμα και αλλού είναι η ένστασή μου. Εδώ:

β) Στην προταθείσα απόδειξη δεν χρησιμοποιήθηκε το παραπάνω (που αληθεύει για τετριμμένους λόγους) αλλά η παραλλαγή του

$\displaystyle{ g(x) \left\{ \begin{aligned} & > f(x) \ \ για \ \ x < x_K \cr & < f(x) \ \ για \ \ x > x_K \cr \end{aligned} \right. }$

δηλαδή η σταθερά

πρέπει να αντικατασταθεί με την μεταβλητή f(x)

. Αυτό είναι σημαντικό: Αν δείτε την προταθείσα απόδειξη δεν έχει σταθερό αλλά έχει την ανισότητα (SEAO) > (STAH)

και, αντίστοιχα, (SEAO) < (STAH)

. Δηλαδή μεταβλητές ποσότητες.

Ας δούμε λοιπόν αντιπαράδειγμα στην ιδιότητα που πραγματικά χρησιμοποιήθηκε και όχι την παραποιημένη, που δεν εφαρμόζεται στην περίσταση.

Αντιπαράδειγμα:

Δουλεύουμε στο 0< x < 4

. Παίρνουμε f(x)= 4x-x^2

και

Παρατηρούμε ότι για 0< x<3

ισχύει

. Πράγματι, ισοσυναμεί με την 4x-x^2< 12-3x

, δηλαδή την -x^2+7x-12<0

, που αληθεύει καθώς γράφεται ως (3-x)(x-4)<0

(αληθές).

Επίσης για 3< x < 4

ισχύει

. Πράγματι, όπως πριν, ισοσυναμεί με την αληθή (3-x)(x-4)>0

(αληθές).

Με άλλα λόγια στο

έχουμε $\boxed {x_D=3}$ .

Πλην όμως η

έχει μέγιστο στο x=2

(άμεσο), με άλλα λόγια στο

έχουμε $\boxed {x_S=2}$ . Συμπέρασμα: $x_D\ne x_S$

nickchalkida · #12

Αντί να βελτιώνεται η προσπάθεια για την διατύπωση μιας πλήρους λύσης, έχουμε αύξηση των επικρίσεων. Συγκεκριμένα:

Θα ήταν ανώφελο να διαφωνήσω με το τελευταίο αντιπαράδειγμα του κυρίου Μιχάλη,
όπως και της γενικής περίπτωσης συναρτήσεων όπου f<g

για

και

για

προσδιορίζει το μέγιστο της

.

Πάλι προηγουμένως, ο κύριος Μιχάλης έγραψε:
Ίσως δεν βλέπω κάτι. Το δικό μου συμπέρασμα από τις
$\displaystyle{ \begin{aligned} & OS > OG\rightarrow... \rightarrow (SEAO) > (STAH) \cr & OS < OG\rightarrow... \rightarrow (SEAO) < (STAH) \cr \end{aligned} }$
είναι ότι αν OS=OG

τότε

Δεν βλέπω πώς βγαίνει το συμπέρασμα ότι τότε θα μεγιστοποιηθεί το (STAH)

.

Επίσης δεν διαφωνώ.

Ούτε ότι έχω δώσει την διατύπωση μιας πλήρους λύσης.

Το ερώτημα που με απασχολεί είναι αν η μεγιστοποίηση συμβαίνει όταν OS = ST

,
και επειδή κάπου μέσα μου πιστεύω ότι αυτά είναι ίσα
και αυτό μπορεί να επιτευχθεί από την σύγκριση των μεταβολών των συγκεκριμένων εμβαδών (SEAO)

,

,
προβάλλω τις σκέψεις μου που πιθανώς να οδηγούσαν κάποιον σε μια σωστή διατύπωση.

Αλλά τώρα δεν βλέπω τον λόγο να συνεχίσω καμία προσπάθεια
αφού από ότι φαίνεται είμαι ο μόνος που πιστεύει ότι δεν έχει απαντηθεί ικανοποιητικά.

#13

nickchalkida έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 14, 2020 1:05 pm

Το ερώτημα που με απασχολεί είναι αν η μεγιστοποίηση συμβαίνει όταν ,

Επί αυτού δεν υπάρχει αμφιβολία. Είναι ξεκάθαρο ότι $OS\ne ST.$ Στη λύση μου (#7) φαίνεται σαφώς ότι υπάρχει

μεγαλύτερο εμβαδόν από αυτό που προκύπτει όταν OS = ST.

Πιο συγκεκριμένα είναι $\displaystyle \frac{{OS}}{{ST}} \simeq 1,006...$

#14

Θάνο, μια και είσαι ο αρχικός θεματοθέτης στο εδώ θρεντ, μην αμελήσεις να πάρεις θέση για τα παραπάνω. Πέρασε ενάμισος μήνας από το πρώτο ποστ, οπότε τα σχόλιά σου για να μας διαφωτίσεις είναι ευπρόσδεκτα.

nickchalkida · #15

Προσωπικά, όσον αφορά την δική μου αρχική θέση, νομίζω ότι το θέμα έχει διευθετηθεί.
Σε μία θέση βιασύνης, έσφαλα και για κάποιο διάστημα πίστευα ότι ή λύση μου είναι σωστή.
Παρ' όλα αυτά νομίζω ότι η παρουσίαση έστω και του λάθους συλλογισμού είναι κάτι
που μπορεί να διδάξει όλους.
Αυτό που λείπει για το συγκεκριμένο θέμα, είναι μια ακριβής διατύπωση της σωστής λύσης,
αλλά επειδή όπως διαφαίνεται είναι αρκετά επίπονη και μακροσκελής,
δεν γνωρίζω ποιος θα μπορούσε να αφιερώσει τέτοιο χρόνο.

#16

nickchalkida έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 23, 2020 9:42 am

Παρ' όλα αυτά νομίζω ότι η παρουσίαση έστω και του λάθους συλλογισμού είναι κάτι
που μπορεί να διδάξει όλους.

Συμφωνούμε απόλυτα. Δεν είναι μεμπτό να κάνει κανείς λάθος, τουναντίον είναι εποικοδομητικό
να αξιολογούμε και να κτίζουμε στην γνώση που αποκτούμε.

Χαριτολογώντας δεν μπορώ παρά να θυμηθώ κάτι που έλεγε ο Hawking. Σε παράφραση όπως το θυμάμαι,

"Αν ο κόσμος ήταν τέλειος και είχε μόνο αλάθητους, τότε εσύ και εγώ δεν θα ήμασταν εδώ".

nickchalkida έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 23, 2020 9:42 am
Αυτό που λείπει για το συγκεκριμένο θέμα, είναι μια ακριβής διατύπωση της σωστής λύσης,
αλλά επειδή όπως διαφαίνεται είναι αρκετά επίπονη και μακροσκελής,

Γι' αυτό ακριβώς ρωτάω. Έχει ο θεματοθέτης κάποιο λαγό στο μανίκι του ή μήπως η άσκηση είναι ατυχής (απρόσιτη με ανθρώπινα μέσα);

#17

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 23, 2020 2:25 am
Θάνο, μια και είσαι ο αρχικός θεματοθέτης στο εδώ θρεντ, μην αμελήσεις να πάρεις θέση για τα παραπάνω. Πέρασε ενάμισος μήνας από το πρώτο ποστ, οπότε τα σχόλιά σου για να μας διαφωτίσεις είναι ευπρόσδεκτα.

Ευγενική υπενθύμιση.

Δεν θα ρωτούσα (την άσκηση την έχω λύσει) αλλά με τρώει η περιέργεια λόγω του

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 23, 2020 11:10 am

Γι' αυτό ακριβώς ρωτάω. Έχει ο θεματοθέτης κάποιο λαγό στο μανίκι του ή μήπως η άσκηση είναι ατυχής (απρόσιτη με ανθρώπινα μέσα);

KARKAR · #18

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 23, 2020 2:25 am
Θάνο, μια και είσαι ο αρχικός θεματοθέτης στο εδώ θρεντ, μην αμελήσεις να πάρεις θέση για τα παραπάνω.

Μιχάλη , δεν μπόρεσα να αντιληφθώ τι εννοείς με την έκφραση " τα παραπάνω" . Αν πάντως αναφέρεσαι στην προσέγγιση

του nickchalkida

, νομίζω ότι το θέμα έχει ήδη διευθετηθεί .

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 23, 2020 11:10 am

Δεν θα ρωτούσα (την άσκηση την έχω λύσει) ...

Έχει ο θεματοθέτης κάποιο λαγό στο μανίκι του ή μήπως η άσκηση είναι ατυχής (απρόσιτη με ανθρώπινα μέσα) ;

Αν το "προσιτή με ανθρώπινα μέσα" ταυτίζεται με το "χωρίς χρήση λογισμικού" , τότε ασφαλώς δεν έχω τέτοια λύση !

Η άσκηση είναι βέβαια είναι εξαιρετικά δύσκολη αλλά όχι μη επιλύσιμη , αφού ήδη υπάρχει η λύση του Γιώργου

και η δική σου ( έστω αδημοσίευτη )

Δυστυχώς άσος στο μανίκι δεν υπάρχει , κάποιες από τις ασκήσεις αυτού του φακέλου , είναι - ας πούμε - πειραματικές ...

#19

Θάνο, ευχαριστώ για την απάντηση.

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 26, 2020 7:22 pm

Αν το "προσιτή με ανθρώπινα μέσα" ταυτίζεται με το "χωρίς χρήση λογισμικού" , τότε ασφαλώς δεν έχω τέτοια λύση !

Ναι, αυτό εννούσα.

Να 'σαι καλά.

Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Re: Οδυνηρή μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση