Fermat που είσαι ?

mick7 · #1

Γνωρίζουμε ότι η x^3+y^3=z^3

δεν έχει λύσεις πέραν της (0,0,0)

.

Άλλα η $a\cdot x^3+b\cdot y^3=c \cdot z^3$ με a,b,c

ακέραιους μπορεί να έχει ακέραιες λύσεις για x,y,z

?

Να γράψετε μια τέτοια λύση στη μορφή (a,b,c,x,y,z)

#2

mick7 έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 14, 2020 1:16 pm
Γνωρίζουμε ότι η δεν έχει λύσεις πέραν της .

Άλλα η $a\cdot x^3+b\cdot y^3=c \cdot z^3$ με ακέραιους μπορεί να έχει ακέραιες λύσεις για ?

Να γράψετε μια τέτοια λύση στη μορφή

.
Αχ αυτές οι κουκκίδες ως σύμβολο του πολλαπλασιασμού. Επειδή μας διαβάζουν μαθητές, καλό είναι εμείς οι επαγγελματίες να υιοθετούμε
τις άριστες των πρακτικών. Θα επαναλάβω παλαιότερό μου ποστ:
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 30, 2020 12:40 am

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 29, 2020 11:55 pm
Να λυθεί η κάτωθι ΔΕ

$\displaystyle \begin{cases}(1+x^2)\cdot\frac{dy(x)}{dx}+x \cdot y(x)=2x^2+1\\y(0)=1\end{cases}$
Αχ αυτές οι κουκκίδες ως σύμβολο του πολλαπλασιασμού.

Τα 'παμε εδώ αλλά φαίνεται μάταια. Όπως και να είναι, παραπέμπω εδώ.

Επί της ουσίας τώρα. Η άσκηση είναι στάνταρ χιλιοειπωμένη με ολοκληρωτικό παράγοντα. Διαρούμε με $\displaystyle{\sqrt {1+x^2}}$ . Δίνει

$\displaystyle{\dfrac {d}{dx} \left ( \sqrt {1+x^2} y\right )= \dfrac {2x^2+1}{ \sqrt {1+x^2} }}$ . Ολοκληρώνουμε:

$\displaystyle{\sqrt {1+x^2} y = \int \dfrac {2x^2+1}{ \sqrt {1+x^2} }= x\sqrt {x^2+1} +c}$ , και λοιπά.

.
Έρχομαι τώρα στο ερώτημα. Υπάρχουν άπειρα τετριμμένα παραδείγματα. Να μερικά. Όλα έχουν c=1

.

...

Aν αφήσουμε ελεύθερο το

, γίνεται ακόμα πιο άμεσο:

ax^3+bx^3=(a+b)x^3

Μάρκος Βασίλης · #3

Γενικά, για οποιουσδήποτε $x,y,z\in\mathbb{Z}^+$ μπορούμε να βρούμε τέτοια τριάδα. Αν $t\in\mathbb{Z}^+$ είναι ένα κοινό πολλαπλάσιο των z^3,x^3+y^3

τότε για $a=b=\dfrac{t}{x^3+y^3}$ και $c=\dfrac{t}{z^3}$ παίρνουμε:

$\displaystyle{ax^3+by^3=a(x^3+y^3)=t=cz^3.}$

Φυσικά υπάρχουν κι άλλες λύσεις, αλλά αυτές είναι ήδη «πολλές» και εύκολο να τις βρει κανείς.

mick7 · #4

Ευχαριστώ. Νομίζω αρκούν αυτά. Είναι από το δωρεάν βιβλίο "The Proving Ground" απο τη Association of Teachers of Mathematics (ATM) που δίνεται δωρεάν στην παρακάτω σελίδα μαζί με άλλο ενδιαφέρον υλικό.

Βιβλίο ---> https://www.atm.org.uk/write/MediaUploa ... _COVER.pdf

Υλικό ---> https://www.atm.org.uk/Free-ATM-Resources-

Μάρκος Βασίλης · #5

Ενδιαφέρον υλικό! Ευχαριστούμε!

bouzoukman · #6

Πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα! Αυτό που θα είχε πολύ ενδιαφέρον είναι να εξετάσει κανένας ποιο ποσοστό τέτοιων καμπυλών έχουν λύση καθώς τα $a,b,c\rightarrow\infty$ . Κάτι του στυλ
$\displaystyle{ \lim_{B\rightarrow\infty}\frac{\#\{(a,b,c)\in\mathbb{Z}^3 : |a|,|b|,|c|\leq B,~\gcd(a,b,c)=1\text{ and }ax^3 + by^3 = cz^3\text{ has a solution in }\mathbb{Z}^3\}}{B^3} = ? }$

mick7 · #7

Ίσως, η παρακάτω εργασία να απαντάει κάπως στο ερώτημα σας...

http://math.univ-lyon1.fr/~roblot/ihp/F ... ctures.pdf

bouzoukman έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 18, 2020 12:21 pm
Πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα! Αυτό που θα είχε πολύ ενδιαφέρον είναι να εξετάσει κανένας ποιο ποσοστό τέτοιων καμπυλών έχουν λύση καθώς τα $a,b,c\rightarrow\infty$ . Κάτι του στυλ
$\displaystyle{ \lim_{B\rightarrow\infty}\frac{\#\{(a,b,c)\in\mathbb{Z}^3 : |a|,|b|,|c|\leq B,~\gcd(a,b,c)=1\text{ and }ax^3 + by^3 = cz^3\text{ has a solution in }\mathbb{Z}^3\}}{B^3} = ? }$

bouzoukman · #8

mick7 έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 19, 2020 6:21 pm
Ίσως, η παρακάτω εργασία να απαντάει κάπως στο ερώτημα σας...

http://math.univ-lyon1.fr/~roblot/ihp/F ... ctures.pdf

Ρίχνοντας μια γρήγορη ματιά αυτή η εργασία μπορει να φανεί χρήσιμη αν και δεν απαντάει απευθείας στο ερώτημα.

Νομίζω ότι το ερώτημα μου είναι πιο πολύ στην λογική του Barghava. Οι καμπύλες που μελετάμε εδώ έχουν γένος 1 και ψάχνουμε ποιες από αυτές είναι ελλειπτικές καμπύλες. Ίσως το πρόβλημα μπορεί να αναχθεί στο πρόβλημα εύρεσης σημείων σε εξισώσεις της μορφής

$\displaystyle{ z^2 = f(x,y), }$

όπου f(x,1)

πολυώνυμο τέταρτου βαθμού. Αν έχω κάποια πρόοδο θα ενημερώσω.

Fermat που είσαι ?

Fermat που είσαι ?

Re: Fermat που είσαι ?

Re: Fermat που είσαι ?

Re: Fermat που είσαι ?

Re: Fermat που είσαι ?

Re: Fermat που είσαι ?

Re: Fermat που είσαι ?

Re: Fermat που είσαι ?

Μέλη σε σύνδεση