Ώρα εφαπτομένης 47

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 47.png (16.29 KiB) Προβλήθηκε 592 φορές

Στην προέκταση της βάσης BC=a

, ενός ισοπλεύρου τριγώνου ABC

, θεωρούμε σημείο

,

το οποίο συνδέουμε με την κορυφή

και τα μέσα M,N

των πλευρών AB , AC

αντίστοιχα .

Αν $\widehat{ASN}=\widehat{MSN}=\theta$ , υπολογίστε το τμήμα CS=d

, καθώς και την $\tan\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 29, 2020 8:24 am
Ώρα εφαπτομένης 47.pngΣτην προέκταση της βάσης , ενός ισοπλεύρου τριγώνου , θεωρούμε σημείο ,

το οποίο συνδέουμε με την κορυφή και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα .

Αν $\widehat{ASN}=\widehat{MSN}=\theta$ , υπολογίστε το τμήμα , καθώς και την $\tan\theta$ .

: Ώρα εφαπτομένης.47.png (13.82 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

Τα αμβλυγώνια τρίγωνα MNS, ANS

είναι ίσα γιατί $\displaystyle MN = AN = \frac{a}{2},$ η

είναι κοινή και

$\widehat{ASN}=\widehat{MSN}=\theta.$ Άρα, AS=SM.

Mε νόμο συνημιτόνου στα ABS, AMS

βρίσκω

$\displaystyle A{S^2} = {a^2} + ad + {d^2},S{M^2} = \frac{{3{a^2} + 6ad + 4{d^2}}}{4}\mathop \Rightarrow \limits^{AS = SM} {a^2} - 2ad = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{a > 0}$ $\boxed{d=\frac{a}{2}}$

Είναι λοιπόν, $AS=SM=d\sqrt 7, AM=d$ και με νόμο συνημιτόνου στο AMS,

$\displaystyle {d^2} = 14{d^2}(1 - \cos 2\theta ) = 28{d^2}{\sin ^2}\theta \Leftrightarrow$ $\displaystyle \frac{{{{\tan }^2}\theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} = \frac{1}{{28}} \Leftrightarrow {\tan ^2}\theta = \frac{1}{{27}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{{\sqrt 3 }}{9}}$

Ώρα εφαπτομένης 47

Ώρα εφαπτομένης 47

Re: Ώρα εφαπτομένης 47

Μέλη σε σύνδεση