Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Nikos127 · #1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}^+\to \mathbb{Q}^+$ για τις οποίες ισχύει:
$f(x+1)=f(x)+1, \forall x\in \mathbb{Q}^+$ και
$f(x^2)=f^2(x), \forall x\in \mathbb{Q}^+$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Nikos127 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 2:12 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}^+\to \mathbb{Q}^+$ για τις οποίες ισχύει:
$f(x+1)=f(x)+1, \forall x\in \mathbb{Q}^+$ και
$f(x^2)=f^2(x), \forall x\in \mathbb{Q}^+$

Καλησπέρα. Λύση για την άσκηση έχετε; Είναι από εργασία για το σπίτι μήπως;

Nikos127 · #3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 2:33 pm

Nikos127 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 2:12 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}^+\to \mathbb{Q}^+$ για τις οποίες ισχύει:
$f(x+1)=f(x)+1, \forall x\in \mathbb{Q}^+$ και
$f(x^2)=f^2(x), \forall x\in \mathbb{Q}^+$
Καλησπέρα. Λύση για την άσκηση έχετε; Είναι από εργασία για το σπίτι μήπως;

Καλησπέρα, τη συγκεκριμένη άσκηση την βρήκα στο διαδίκτυο αλλά δεν μπόρεσα να βρω τη λύση της.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Nikos127 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 2:56 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 2:33 pm

Nikos127 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 2:12 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}^+\to \mathbb{Q}^+$ για τις οποίες ισχύει:
$f(x+1)=f(x)+1, \forall x\in \mathbb{Q}^+$ και
$f(x^2)=f^2(x), \forall x\in \mathbb{Q}^+$
Καλησπέρα. Λύση για την άσκηση έχετε; Είναι από εργασία για το σπίτι μήπως;
Καλησπέρα, τη συγκεκριμένη άσκηση την βρήκα στο διαδίκτυο αλλά δεν μπόρεσα να βρω τη λύση της.

Όταν δεν έχουμε λύση για μια άσκηση επιβάλλεται να το αναφέρουμε.

Πάμε στη λύση. Δεν θα τη γράψω ολόκληρη για να συμπληρώσεις εσύ τις λεπτομέρειες.

Κοιτάμε τη δεύτερη σχέση. Θέτουμε όπου $x\rightarrow e^y$ και λογαριθμούμε.

Αν θεωρήσουμε την $g(y)=\ln(f(e^y))$ η δεύτερη δίνει g(2y)=2g(y)

η οποία είναι ειδική

περίπτωση της συναρτησιακής Cauchy και δίνει κατά τα γνωστά g(y)=cy.

Από εδώ και πέρα είναι απλή. Νομίζω μπορείς να τη συνεχίσεις.

Θα βρεις τελικά f(x)=x^c

όπου

.

Nikos127 · #5

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 3:06 pm

Nikos127 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 2:56 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 2:33 pm

Nikos127 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 2:12 pm

Όταν δεν έχουμε λύση για μια άσκηση επιβάλλεται να το αναφέρουμε.

Πάμε στη λύση. Δεν θα τη γράψω ολόκληρη για να συμπληρώσεις εσύ τις λεπτομέρειες.

Κοιτάμε τη δεύτερη σχέση. Θέτουμε όπου $x\rightarrow e^y$ και λογαριθμούμε.

Αν θεωρήσουμε την $g(y)=\ln(f(e^y))$ η δεύτερη δίνει η οποία είναι ειδική

περίπτωση της συναρτησιακής Cauchy και δίνει κατά τα γνωστά

Από εδώ και πέρα είναι απλή. Νομίζω μπορείς να τη συνεχίσεις.

Θα βρεις τελικά όπου .
Ευχαριστώ πολύ!

Nikos127 · #6

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 3:06 pm

Nikos127 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 2:56 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 2:33 pm

Nikos127 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 2:12 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}^+\to \mathbb{Q}^+$ για τις οποίες ισχύει:
$f(x+1)=f(x)+1, \forall x\in \mathbb{Q}^+$ και
$f(x^2)=f^2(x), \forall x\in \mathbb{Q}^+$
Καλησπέρα. Λύση για την άσκηση έχετε; Είναι από εργασία για το σπίτι μήπως;
Καλησπέρα, τη συγκεκριμένη άσκηση την βρήκα στο διαδίκτυο αλλά δεν μπόρεσα να βρω τη λύση της.
Όταν δεν έχουμε λύση για μια άσκηση επιβάλλεται να το αναφέρουμε.

Πάμε στη λύση. Δεν θα τη γράψω ολόκληρη για να συμπληρώσεις εσύ τις λεπτομέρειες.

Κοιτάμε τη δεύτερη σχέση. Θέτουμε όπου $x\rightarrow e^y$ και λογαριθμούμε.

Αν θεωρήσουμε την $g(y)=\ln(f(e^y))$ η δεύτερη δίνει η οποία είναι ειδική

περίπτωση της συναρτησιακής Cauchy και δίνει κατά τα γνωστά

Από εδώ και πέρα είναι απλή. Νομίζω μπορείς να τη συνεχίσεις.

Θα βρεις τελικά όπου .

Tο

πως προκύπτει ότι είναι

;

Λάμπρος Κατσάπας · #7

Nikos127 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 7:06 pm
Tο πως προκύπτει ότι είναι ;

Παρατήρησε ότι αναγκαστικά θα είναι c>0

(γιατί;)

Από την πρώτη σχέση παίρνουμε $(x+1)^c=x^c+1\Leftrightarrow h(x)=(x+1)^c-x^c-1=0$ στο $\mathbb{Q}^+.$

Θέλουμε δηλαδή την

να είναι σταθερή. Αν c=1

είναι σταθερή και μας κάνει (γιατί;).

Αν c>1

ή

ποια είναι η μονοτονία της

;

#8

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 3:06 pm

Αν θεωρήσουμε την $g(y)=\ln(f(e^y))$ η δεύτερη δίνει η οποία είναι ειδική

περίπτωση της συναρτησιακής Cauchy και δίνει κατά τα γνωστά

Λάμπρο, καλησπέρα. Αυτό δεν το βλέπω που γράφεις με την Cauchy.

Λάμπρος Κατσάπας · #9

silouan έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 11:36 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 3:06 pm

Αν θεωρήσουμε την $g(y)=\ln(f(e^y))$ η δεύτερη δίνει η οποία είναι ειδική

περίπτωση της συναρτησιακής Cauchy και δίνει κατά τα γνωστά

Λάμπρο, καλησπέρα. Αυτό δεν το βλέπω που γράφεις με την Cauchy.

Γεια σου Σιλουανέ!

Το έγραψα με το εξής σκεπτικό: Οι συναρτήσεις

που ικανοποιούν την g(x+y)=g(x)+g(y)

για κάθε

$x,y \in \mathbb{Q}^$ είναι της μορφής g(y)=cy.

Αυτές που ικανοποιούν την g(y+y)=g(y)+g(y)

για κάθε $y\in\mathbb{Q}$ είναι υποσύνολο των παραπάνω

και επομένως θα έχουν την ίδια μορφή. Αν εχω λάθος διόρθωσέ με.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 29, 2020 12:12 am

silouan έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 11:36 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 3:06 pm

Αν θεωρήσουμε την $g(y)=\ln(f(e^y))$ η δεύτερη δίνει η οποία είναι ειδική

περίπτωση της συναρτησιακής Cauchy και δίνει κατά τα γνωστά

Λάμπρο, καλησπέρα. Αυτό δεν το βλέπω που γράφεις με την Cauchy.
Γεια σου Σιλουανέ!

Το έγραψα με το εξής σκεπτικό: Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την για κάθε

$x,y \in \mathbb{Q}^$ είναι της μορφής

Αυτές που ικανοποιούν την για κάθε $y\in\mathbb{Q}$ είναι υποσύνολο των παραπάνω

και επομένως θα έχουν την ίδια μορφή. Αν εχω λάθος διόρθωσέ με.

το παρακάτω είναι εσφαλμένο

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 29, 2020 12:12 am
Αυτές που ικανοποιούν την για κάθε $y\in\mathbb{Q}$ είναι υποσύνολο των παραπάνω

και επομένως θα έχουν την ίδια μορφή

πάρε
$A=\left \{ \frac{k}{2^{n}}:k\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N} \right \}$

και
g(x)=x

όταν $x\in A$

g(x)=0

όταν $x\in \mathbb{Q}-A$

Υπάρχει όμως και άλλο πρόβλημα.
Η

δεν έχει πεδίο ορισμού τους ρητούς.

#11

Εγώ το σκέφτηκα και με την αρχική. Σύμφωνα με την προσέγγιση του Λάμπρου θα μπορούσαμε να προσδιορίσουμε όλες τις συναρτήσεις με
$f(x^2)=f^2(x), \forall x\in \mathbb{Q}^+$ . Μάλιστα θα ήταν ίδιες με αυτές που ικανοποιούν f(xy)=f(x)f(y)

, που δεν ισχύει. Παραδείγματα μπορούμε να φτιάξουμε πολλά.

#12

Nikos127 έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 28, 2020 2:12 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}^+\to \mathbb{Q}^+$ για τις οποίες ισχύει:
$f(x+1)=f(x)+1, \forall x\in \mathbb{Q}^+$ και
$f(x^2)=f^2(x), \forall x\in \mathbb{Q}^+$

Επαγωγικά είναι απλό ότι f(x+n) = f(x) + n

για κάθε $x \in \mathbb{N}^+$ .

Έστω $q \in \mathbb{Q}^+$ και έστω $n \in \mathbb{N}$ τέτοιο ώστε $qn \in \mathbb{N}$ . Τότε

$\displaystyle f((q+n)^2) = (f(q+n))^2 = (f(q) + n)^2 = f(q)^2 + 2nf(q) + n^2$

αλλά και

$\displaystyle f((q+n)^2) = f(q^2 + 2qn + n^2) = f(q^2) + 2qn + n^2 = f(q)^2 + 2qn + n^2$

αφού $qn \in \mathbb{N}$ .

Από τα πιο πάνω $\displaystyle f(q)^2 + 2nf(q) + n^2 = f(q)^2 + 2qn + n^2$ που δίνει f(q) = q

#13

Ωραία Δημήτρη!

Να δούμε και το πρόβλημα με τις ίδιες συνθήκες αλλά ψάχνοντας όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ .

Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Re: Συναρτησιακή σχέση στο $\mathbb{Q}^+$

Μέλη σε σύνδεση