Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Tolaso J Kos · #1

Έστω $a \in \mathbb{R}$ .

Χρησιμοποιώντας το extended binomial theorem αναπτύξτε τη συνάρτηση $\displaystyle{\left(2\cos\frac{x}{2}\right)^{2a}}$ σε σειρά Fourier συνημιτόνων.
Να δειχθεί η ταυτότητα:

$\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )} = \frac{\left ( 2 \cos \frac{x}{2} \right )^{2a}}{\Gamma\left ( 2a+1 \right )}}$
όπου $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 9:58 pm
Έστω $a \in \mathbb{R}$ .

Χρησιμοποιώντας το extended binomial theorem αναπτύξτε τη συνάρτηση $\displaystyle{\left(2\cos\frac{x}{2}\right)^{2a}}$ σε σειρά Fourier συνημιτόνων.

Να δειχθεί η ταυτότητα:

$\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )} = \frac{\left ( 2 \cos \frac{x}{2} \right )^{2a}}{\Gamma\left ( 2a+1 \right )}}$
όπου $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler.

Τόλη γράψε σωστά την εκφώνηση.
Πχ τι είναι το

;
Για ποία

ισχύει η ταυτότητα.

Tolaso J Kos · #3

Μα Σταύρο στο ορίζω το

. Είναι πραγματικός. Η ταυτότητα ισχύει για όλα τα $x \in \mathbb{R}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:10 pm
Μα Σταύρο στο ορίζω το . Είναι πραγματικός. Η ταυτότητα ισχύει για όλα τα $x \in \mathbb{R}$ .

Δεν το είδα.
Και ο λόγος είναι γιατί τότε πρέπει να περιορίσεις τα

Η ταυτότητα αποκλείεται να ισχύει στο $\mathbb{R}$ .
Πρόσεξε το $(-1)^{\sqrt{2}}$
δεν οριζεται στο $\mathbb{R}$ και στο $\mathbb{C}$
δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο.

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 9:58 pm
Έστω $a \in \mathbb{R}$ .

Χρησιμοποιώντας το extended binomial theorem αναπτύξτε τη συνάρτηση $\displaystyle{\left(2\cos\frac{x}{2}\right)^{2a}}$ σε σειρά Fourier συνημιτόνων.

Να δειχθεί η ταυτότητα:

$\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )} = \frac{\left ( 2 \cos \frac{x}{2} \right )^{2a}}{\Gamma\left ( 2a+1 \right )}}$
όπου $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler.

Σίγουρα;

Πέρα από το σχόλιο του Σταύρου, έχω και άλλες απορίες: Μήπως το $\cos nx$ πρέπει να γίνει $\cos ^nx$ (αλλά τότε δεν είναι σειρά Fourier).

Επίσης, σίγουρα το άθροισμα πάει από "μείον άπειρο στο άπειρο" και όχι από το "μηδέν στο άπειρο"; Έχω δύο λόγους να το νομίζω αυτό. Ο πρώτος είναι ότι αν πούμε a_N

τον τυπικό συντελεστή τότε

$a_{-N} = \dfrac{\cos (-Nx)}{\Gamma\left ( a-N+1 \right ) \Gamma \left ( a+N+1 \right )} = \dfrac{-\cos (Nx)}{\Gamma\left ( a+N+1 \right ) \Gamma \left ( a-N+1 \right )} = -a_N$

οπότε φεύγουν κατά ζεύγη και μένει μόνο ο όρος a_0

.

Άλλος λόγος είναι ότι στο πρώτο ερώτημα έχουμε, εκεί που έχει νόημα η παράσταση,

$\displaystyle{ \left(2\cos\frac{x}{2}\right)^{2a}}= 2^a \left(2\cos ^2\frac{x}{2}\right)^{a}= 2^a \left(1+ \cos x\right)^{a} = 2^a \sum _{n=0}^{\infty} \dfrac { \Gamma (a+1)}{\Gamma (n+1) \Gamma (a-n+1)} \cos ^nx }$

H παράσταση αυτή οδηγεί σε ταυτότητα που μοιάζει με την ζητούμενη αλλά δεν είναι ακριβώς ίδια (οι συντελεστές έχουν μικροδιαφορές και το $\cos$ είναι σε δυνάμεις).

Μήπως δεν βλέπω κάτι γιατί... δεν ήπια ακόμη καφέ;

Tolaso J Kos · #6

Η ταυτότητα έχει ελεγχθεί με το W|A για διάφορες τιμές των

και

. Είναι:

$\displaystyle{\frac{1}{\Gamma(a+n+1)\Gamma(a-n+1)}=\frac{1}{(a+n)!(a-n)!}=\frac{1}{(2a)!}\binom{2a}{a+n}}$
Οπότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\left ( a+n \right )! \left ( a-n \right )!} \\ &=\frac{1}{\left (2a \right )!}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \binom{2a}{a+n} \cos nx \\ &=\frac{1}{\left (2a \right )!}\mathfrak{Re} \left ( \sum_{n=-\infty}^{\infty} \binom{2a}{a+n} e^{inx} \right ) \end{aligned}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:49 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:10 pm
Μα Σταύρο στο ορίζω το . Είναι πραγματικός. Η ταυτότητα ισχύει για όλα τα $x \in \mathbb{R}$ .
Δεν το είδα.
Και ο λόγος είναι γιατί τότε πρέπει να περιορίσεις τα
Η ταυτότητα αποκλείεται να ισχύει στο $\mathbb{R}$ .
Πρόσεξε το $(-1)^{\sqrt{2}}$
δεν οριζεται στο $\mathbb{R}$ και στο $\mathbb{C}$
δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο.

Ας βάλουμε για τα a, x

που ορίζεται.

Extended Binomial Theorem έγραψε: $\displaystyle{\left( 1 + z \right)^r = \sum_{k \mathop \in \mathbb{Z}} \binom {r}{\alpha + k} z^{\alpha + k}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 15, 2020 10:17 am
Η ταυτότητα έχει ελεγχθεί με το W|A για διάφορες τιμές των και . Είναι:

$\displaystyle{\frac{1}{\Gamma(a+n+1)\Gamma(a-n+1)}=\frac{1}{(a+n)!(a-n)!}=\frac{1}{(2a)!}\binom{2a}{a+n}}$
Οπότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\Gamma\left ( a+n+1 \right ) \Gamma \left ( a-n+1 \right )} &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos nx}{\left ( a+n \right )! \left ( a-n \right )!} \\ &=\frac{1}{\left (2a \right )!}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \binom{2a}{a+n} \cos nx \\ &=\frac{1}{\left (2a \right )!}\mathfrak{Re} \left ( \sum_{n=-\infty}^{\infty} \binom{2a}{a+n} e^{inx} \right ) \end{aligned}}$
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:49 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 14, 2020 11:10 pm
Μα Σταύρο στο ορίζω το . Είναι πραγματικός. Η ταυτότητα ισχύει για όλα τα $x \in \mathbb{R}$ .
Δεν το είδα.
Και ο λόγος είναι γιατί τότε πρέπει να περιορίσεις τα
Η ταυτότητα αποκλείεται να ισχύει στο $\mathbb{R}$ .
Πρόσεξε το $(-1)^{\sqrt{2}}$
δεν οριζεται στο $\mathbb{R}$ και στο $\mathbb{C}$
δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο.

Ας βάλουμε για τα που ορίζεται.

Extended Binomial Theorem έγραψε: $\displaystyle{\left( 1 + z \right)^r = \sum_{k \mathop \in \mathbb{Z}} \binom {r}{\alpha + k} z^{\alpha + k}}$

Καλημέρα από την Χαλκίδα.
Τουλάχιστον για μένα υπάρχουν πολλά προβλήματα.
Μερικά από αυτά είναι

Extended Binomial Theorem έγραψε: $\displaystyle{\left( 1 + z \right)^r = \sum_{k \mathop \in \mathbb{Z}} \binom {r}{\alpha + k} z^{\alpha + k}}$

Από ότι είδα στην παραπομπή ο τύπος ισχύει για μιγαδικά a,r

Αλλά είναι γνωστό ότι δύναμη μιγαδικού σε μιγαδικό γενικά δεν ορίζεται μονοσήμαντα.
Αυτό σημαίνει ότι για να ισχύει ο τύπος πρέπει να γίνουν κάποιες παραδοχές που δεν αναφέρονται
και φυσικά δεν τις γνωρίζω.

Η συνάρτηση $\Gamma$ έχει πόλους.
Τι γίνεται όταν στον παρανομαστή έχουμε $\infty$ ;
Το βάζουμε

;

Η συνάρτηση που ζητείται να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier δεν είναι πάντα ολοκληρώσιμη.
Ετσι δεν μπορούμε να έχουμε σειρά Fourier- Lebesgue.
Μπορεί όμως να έχουμε σειρά Fourier- Riemman.

Ο υπολογισμός που έγραψες είναι καθαρά τυπικός και σίγουρα για να ισχύει πρέπει να γίνουν κάποιες
παραδοχές.

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 15, 2020 10:17 am
Ας βάλουμε για τα που ορίζεται.

Νομίζω ότι θα χάσουμε την μπάλα.
Και υπάρχει το πρόβλημα των ορισμών που θα δεχθούμε.

Ερωτήσεις για τον Τόλη.
1.Από που είναι το θέμα ;
2.Εχεις λινκ με την απόδειξη του Exteded Binomial Theorem ;

Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Re: Ανάπτυγμα Fourier συνημιτόνων

Μέλη σε σύνδεση