Ακρότατα και πράξεις με συναρτήσεις

#1

Για διερεύνηση :

Το πρωί μου γεννήθηκε κάπου στο απρόσμενο η εξής απορία :

<< Αν δύο (παραγωγίσιμες )συναρτήσεις ορισμένες στο $\mathbb R$ παρουσιάζουν στο x_0

τοπικό ακρότατο, άραγε έχει το άθροισμα

ή το γινόμενό τους τοπικό ακρότατο στο x_0

>> ;

Με φευγαλέες για την ώρα ματιές , βλέπω ότι σε ορισμένες περιπτώσεις η απάντηση είναι καταφατική, ανάλογα με το είδος του ακροτάτου.

Γενική όμως απάντηση δεν έχω ακόμα βρει ακόμα .

Μέχρι το βράδυ που θα την ξαναδώ, ίσως έχετε ήδη βρει την απάντηση και κερδίσω λίγο χρόνο, γιατί αυτές τις μέρες όλοι ...τρέχουμε !

Καλό απόγευμα !

#2

Μπάμπη, σου κάνει αυτό:

Η x^3+x^2

έχει τοπικό ελάχιστο στο

, η

έχει τοπικό μέγιστο στο ίδιο σημείο αλλά το άθροισμά τους x^3

δεν έχει ακρότατο στο

.

Tolaso J Kos · #3

Μπάμπη μη βάζεις ιδέες . Παντως θα ήταν ωραίο ερώτημα Σ-Λ με αιτιολόγηση .

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 12, 2020 6:17 pm
Μπάμπη μη βάζεις ιδέες . Παντως θα ήταν ωραίο ερώτημα Σ-Λ με αιτιολόγηση .

Γεια σου Τόλη !

Δεν κάνει για Σ-Λ. Δεν αποτελεί θεωρία για τα σχολικά δεδομένα. Ένα τέτοιο ερώτημα είναι παράνομο , όπως και όλα τα παρόμοια.

Νομίζω ότι ή δεν θα βάλουν καθόλου ή θα αρκεστούν σε όσα σχολιάζονται, έστω με σχήμα στο σχολικό βιβλίο.

Καλό βράδυ !

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 12, 2020 6:10 pm
Μπάμπη, σου κάνει αυτό:

Η έχει τοπικό ελάχιστο στο , η έχει τοπικό μέγιστο στο ίδιο σημείο αλλά το άθροισμά τους δεν έχει ακρότατο στο .

Μιχάλη, ευχαριστώ πολύ !

Εξαιρετικό το παράδειγμα. Πάμε τώρα να δούμε πώς συμπεριφέρεται το γινόμενο.

Καλό βράδυ !

!!!!!!!!!!!

#6

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 12, 2020 7:31 pm
Πάμε τώρα να δούμε πώς συμπεριφέρεται το γινόμενο.

Μπάμπη, ουσιαστικά το "ίδιο" αλλά η επιβεβαίωση έχει λίγο περισσότερες πράξεις:

Η $f(x)= e^{x^3+x^2}$ έχει τοπικό ελάχιστο στο

καθώς $f'(0)=0, \, f''(0)=2>0$ .

H $g(x)= e^{-x^2}$ έχει τοπικό μέγιστο στο

καθώς $g'(0)=0,\, g''(0)= -2<0$ .

Το γινόμενό τους είναι $h(x)= e^{x^3}$ , το οποίο δεν έχει ακρότατο στο

αφού ικανοποιεί $h'(x)=3x^2e^{x^3}$ , δηλαδή h'(0)=0

αλλά

εκατέρωθεν του

(γνήσια αύξουσα, πράγμα που το βλέπουμε και χωρίς παραγώγιση αφού η

είναι σύνθεση από δύο γνήσια αύξουσες).

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 12, 2020 8:29 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 12, 2020 7:31 pm
Πάμε τώρα να δούμε πώς συμπεριφέρεται το γινόμενο.
Μπάμπη, ουσιαστικά το "ίδιο" αλλά η επιβεβαίωση έχει λίγο περισσότερες πράξεις:

Η $f(x)= e^{x^3+x^2}$ έχει τοπικό ελάχιστο στο καθώς $f'(0)=0, \, f''(0)=2>0$ .

H $g(x)= e^{-x^2}$ έχει τοπικό μέγιστο στο καθώς $g'(0)=0,\, g''(0)= -2<0$ .

Το γινόμενό τους είναι $h(x)= e^{x^3}$ , το οποίο δεν έχει ακρότατο στο αφού ικανοποιεί $h'(x)=3x^2e^{x^3}$ , δηλαδή αλλά εκατέρωθεν του (γνήσια αύξουσα, πράγμα που το βλέπουμε και χωρίς παραγώγιση αφού η είναι σύνθεση από δύο γνήσια αύξουσες).

Ευχαριστώ πολύ Μιχάλη !

Μπορεί να μου έπαιρνε και τρεις ώρες μέχρι να βρω παραδείγματα !

Καλό Σαββατοκύριακο !

ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ

BAGGP93 · #8

Γεια χαρά στην ωραία παρέα. Μια γενίκευση (δεν ξέρω πόσο ισχυρή) είναι η εξής ( για το άθροισμα).

Γενίκευση για άθροισμα Αν οι συναρτήσεις $f\,,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ παρουσιάζουν στο $x_0\in\mathbb{R}$ ίδιο είδος τοπικού ακροτάτου (και οι 2 μέγιστο ή και οι 2 ελάχιστο) τότε και η f+g

παρουσιάζει στο x_0

ίδιο είδος τοπικού ακροτάτου.

Απόδειξη: (θα την κάνω για τοπικό ελάχιστο). Υπάρχουν $\delta_1\,,\delta_2>0$ ώστε $f(x)\geq f(x_0)\,,x\in\left(x_0-\delta_1,x_0+\delta_1\right)$ και $g(x)\geq g(x_0)\,,x\in\left(x_0-\delta_2,x_0+\delta_2\right)$ .

Θέτοντας $\delta=\min\,\left\{\delta_1,\delta_2\right\}>0$ προκύπτει ότι $(f+g)(x)\geq (f+g)(x_0)$ για κάθε $x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)$ .

Για διαφορετικό είδος ακροτάτου, δόθηκε αντιπαράδειγμα από τον κύριο Μιχάλη.

Επίσης, η γενίκευση για το άθροισμα για ίδιο είδος ακροτάτου, μπορεί να γίνει και στο γινόμενο με την επιπλέον προσθήκη και οι 2 συναρτήσεις

να έχουν σύνολο τιμών μέσα στο $\left(0,+\infty\right)$ . (αντιπαράδειγμα για διαφορετικό είδος για το γινόμενο, έχει πάλι δοθεί)

#9

BAGGP93 έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 13, 2020 3:13 pm
Γεια χαρά στην ωραία παρέα. Μια γενίκευση (δεν ξέρω πόσο ισχυρή) είναι η εξής ( για το άθροισμα).
..............

Επίσης, η γενίκευση για το άθροισμα για ίδιο είδος ακροτάτου, μπορεί να γίνει και στο γινόμενο με την επιπλέον προσθήκη και οι 2 συναρτήσεις

να έχουν σύνολο τιμών μέσα στο $\left(0,+\infty\right)$ . (αντιπαράδειγμα για διαφορετικό είδος για το γινόμενο, έχει πάλι δοθεί)

Καλησπέρα Βαγγέλη !

Σε ευχαριστώ για την παρατήρηση.

Κάπως έτσι σχεδιάζω και γω να συμμαζέψω την άσκηση.Στο τελευταίο θεώρημα, μου φαίνεται ότι το αποτέλεσμα ισχύει και για συναρτήσεις με μη θετικές τιμές.

Καλές εξετάσεις και καλό βράδυ !

Ακρότατα και πράξεις με συναρτήσεις

Ακρότατα και πράξεις με συναρτήσεις

Re: Ακρότατα και πράξεις με συναρτήσεις

Re: Ακρότατα και πράξεις με συναρτήσεις

Re: Ακρότατα και πράξεις με συναρτήσεις

Re: Ακρότατα και πράξεις με συναρτήσεις

Re: Ακρότατα και πράξεις με συναρτήσεις

Re: Ακρότατα και πράξεις με συναρτήσεις

Re: Ακρότατα και πράξεις με συναρτήσεις

Re: Ακρότατα και πράξεις με συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση