Με προαιρετικό ερώτημα

KARKAR · #1

: Με προαιρετικό ερώτημα.png (79.71 KiB) Προβλήθηκε 2684 φορές

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\ell n(x^2+x+k) , k \in \mathbb{R}$ .

Α) Για ποιες τιμές του

, η

έχει πεδίο ορισμού ολόκληρο το $\mathbb{R}$ ;

Β) Για ποια τιμή του

, η

έχει σύνολο τιμών το : $[ 0 , +\infty )$ ;

Γ) Για το

που βρήκατε , βρείτε την εφαπτομένη της $C_{f}$ με την μέγιστη κλίση .

Δ) ( Προαιρετικό ) Για το ίδιο

, βρείτε τον μέγιστο κύκλο , ο οποίος έχει με την $C_{f}$

μοναδικό κοινό σημείο , το σημείο που αυτή εφάπτεται στον οριζόντιο άξονα .

Συμπλήρωση στο Δ) ... του οποίου το κέντρο κέντρο έχει θετική τεταγμένη...

Λάμπρος Κατσάπας · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 22, 2020 8:14 pm
Με προαιρετικό ερώτημα.pngΔίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\ell n(x^2+x+k) , k \in \mathbb{R}$ .

Α) Για ποιες τιμές του , η έχει πεδίο ορισμού ολόκληρο το $\mathbb{R}$ ;

Β) Για ποια τιμή του , η έχει σύνολο τιμών το : $[ 0 , +\infty )$ ;

Γ) Για το που βρήκατε , βρείτε την εφαπτομένη της $C_{f}$ με την μέγιστη κλίση .

Δ) ( Προαιρετικό ) Για το ίδιο , βρείτε τον μέγιστο κύκλο , ο οποίος έχει με την $C_{f}$

μοναδικό κοινό σημείο , το σημείο που αυτή εφάπτεται στον οριζόντιο άξονα .

Γράφω τα A,B,Δ.
A) Πρέπει για κάθε $x\in \mathbb{R}$ να ισχύει x^2+x+k>0

που εύκολα βλέπουμε βρίσκοντας τη

διακρίνουσα ότι k>1/4.

B) θέλουμε να υπάρχει x_0

στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης τέτοιο, ώστε f(x_0)=0

και επιπλέον

για κάθε

στο πεδίο ορισμού να ικανοποιείται η $f(x)\geq 0$ . Το τριώνυμο x^2+x+k

έχει

ελάχιστο το $\dfrac{4k-1}{4}=k-\dfrac{1}{4}$ και αφού θέλουμε να παίρνει την τιμή

αναγκαστικά θα

πρέπει να ισχύει $k-\dfrac{1}{4}\leq1\Leftrightarrow k\leq\dfrac{5}{4}.$ H δεύτερη, όμοια, μας δίνει

$k\geq\dfrac{5}{4}$ . Τελικά βρίσκουμε ότι $k=\dfrac{5}{4}$ το οποίο εύκολα επαληθεύουμε ότι μας δίνει

το ζητούμενο, δηλαδή σύνολο τιμών το $[ 0 , +\infty )$ . Συγκεκριμένα θα έχουμε τότε

$f(x)=\ln ((x+1/2)^2+1)\geq 0$ και $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ . H συνέχεια της

συμπληρώνει την απόδειξη.

Δ) Ο μέγιστος εφαπτόμενος κύκλος θα έχει ακτίνα $R=\dfrac{1}{|{f}''(-1/2)|}\left ( 1+({f}'(-1/2))^2 \right ) ^{3/2}=1/2$

(ακτίνα καμπυλότητας) και κέντρο το (-1/2,1/2)

BAGGP93 · #3

Καλημέρα. Μια ιδέα στο Γ

Έχουμε $k=\dfrac{5}{4}$ και $f(x)=\ln\,\left(x^2+x+\dfrac{5}{4}\right)\,,x\in\mathbb{R}$ . Το ζητούμενο είναι να βρεθεί η μέγιστη τιμή της $f^{\prime}$

όπου $f^{\prime}(x)=\dfrac{2\,x+1}{x^2+x+5/4}=\dfrac{4\,(2\,x+1)}{4\,x^2+4\,x+5}=\dfrac{4\,(2\,x+1)}{(2\,x+1)^2+4}\,,x\in\mathbb{R}$

Ισοδύναμα λοιπόν, αναζητούμε το μέγιστο της ποσότητας $\dfrac{4\,y}{y^2+4}$ όταν $y\in\mathbb{R}$ . Έστω $k\in\mathbb{R}$ ώστε $\dfrac{4\,y}{y^2+4}\leq k$ για κάθε $y\in\mathbb{R}$

και έστω $y_0\in\mathbb{R}$ ώστε $\dfrac{4\,y_0}{y_0^2+4}=k$ . Έχουμε τώρα $k\,y^2-4\,y+4\,k\geq 0$ για κάθε $y\in\mathbb{R}$ . Απαιτούμε λοιπόν

k>0

και $\Delta\leq 0\iff 16-16\,k^2\leq 0\iff k\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right)$ . Τελικά, $k\geq 1$ και $k_{min}=1$ .

Αντίστροφα, $\dfrac{4\,y}{y^2+4}\leq 1\iff y^2-4\,y+4\geq 0\iff (y-2)^2\geq 0$ (που ισχύει για κάθε $y\in\mathbb{R}$ και η ισότητα μόνο για y=2

).

Συμπέρασμα : Ισχύει ότι $\max f^{\prime}=f^{\prime}\,\left(\dfrac{1}{2}\right)$ ( $2\,x+1=2\iff x=1/2$ ) και η ζητούμενη εφαπτομένη είναι αυτή στο σημείο $M\,\left(\dfrac{1}{2},\ln\,2\right)$

kfd · #4

BAGGP93 · #5

kfd έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 23, 2020 1:34 pm
$M(\frac{1}{2},ln2)$

Ευχαριστώ. Το διόρθωσα.

Σταμ. Γλάρος · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 22, 2020 8:14 pm
Με προαιρετικό ερώτημα.pngΔίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\ell n(x^2+x+k) , k \in \mathbb{R}$ .

Α) Για ποιες τιμές του , η έχει πεδίο ορισμού ολόκληρο το $\mathbb{R}$ ;

Β) Για ποια τιμή του , η έχει σύνολο τιμών το : $[ 0 , +\infty )$ ;

Γ) Για το που βρήκατε , βρείτε την εφαπτομένη της $C_{f}$ με την μέγιστη κλίση .

Δ) ( Προαιρετικό ) Για το ίδιο , βρείτε τον μέγιστο κύκλο , ο οποίος έχει με την $C_{f}$

μοναδικό κοινό σημείο , το σημείο που αυτή εφάπτεται στον οριζόντιο άξονα .

Συμπλήρωση στο Δ) ... του οποίου το κέντρο κέντρο έχει θετική τεταγμένη...

Καλησπέρα.
Ακόμα μια προσπάθεια στο τρίτο ερώτημα της πολύ ωραίας άσκησης...
Όπως βρήκε, επίσης πολύ ωραία, ο Λάμπρος είναι $k=\dfrac{1}{2}$ , οπότε έχουμε : $f(x)=ln\left (x^2+x+ \dfrac{5}{4} \right )$ .
Η παραπάνω είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με $f'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+\frac{5}{4}}$ και $f''(x)=\dfrac{-4x^2-4x+3}{2(x^2+x+\frac{5}{4})^2}$ .

O αριθμητής της δευτέρας παραγώγου είναι τριώνυμο με ρίζες τις : $-\dfrac{3}{2} , \dfrac{1}{2}$ .
Συνεπώς έχουμε:
α) $f''(x)<0,\,\,\,\ \forall \,\,x\in \left ( -\infty ,-\frac{3}{2} \right )$ $\Rightarrow$ f' :

γνησίως φθίνουσα στο $\left ( -\infty ,-\frac{3}{2} \right ]$ $\Rightarrow$ $f'\left ( \left ( -\infty ,-\frac{3}{2} \right ] \right ) =\left [-1 , 0 \right )$ .

β) $f''(x)>0,\,\,\,\ \forall \,\,x\in \left ( -\frac{3}{2} ,\frac{1}{2} \right )$ $\Rightarrow$ f' :

γνησίως αύξουσα στο $\left [ -\frac{3}{2} ,\frac{1}{2} \right ]$ $\Rightarrow$ $f'\left ( \left [ -\frac{3}{2} ,\frac{1}{2} \right ] \right ) =\left [-1 , 1 \right ]$ .

γ) $f''(x)<0,\,\,\,\ \forall \,\,x\in \left ( \frac{1}{2}, +\infty \right )$ $\Rightarrow$ f' :

γνησίως φθίνουσα στο $\left [ \frac{1}{2}, +\infty \right )$ $\Rightarrow$ $f'\left ( \left [\frac{1}{2}, +\infty \right ) \right ) =\left (0 , 1 \right )$ .

Συνεπώς η

έχει σύνολο τιμών το [-1,1}]

και παρουσιάζει στο $\frac{1}{2}$ μέγιστο, το $f'\left ( \frac{1}{2} \right ) = 1$ .

Άρα στο σημείο $M\left ( \frac{1}{2},ln2 \right )$ έχουμε την ζητούμενη εφαπτομένη : $y=x-\frac{1}{2}+ln2$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 22, 2020 9:42 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 22, 2020 8:14 pm
Με προαιρετικό ερώτημα.pngΔίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\ell n(x^2+x+k) , k \in \mathbb{R}$ .

Α) Για ποιες τιμές του , η έχει πεδίο ορισμού ολόκληρο το $\mathbb{R}$ ;

Β) Για ποια τιμή του , η έχει σύνολο τιμών το : $[ 0 , +\infty )$ ;

Γ) Για το που βρήκατε , βρείτε την εφαπτομένη της $C_{f}$ με την μέγιστη κλίση .

Δ) ( Προαιρετικό ) Για το ίδιο , βρείτε τον μέγιστο κύκλο , ο οποίος έχει με την $C_{f}$

μοναδικό κοινό σημείο , το σημείο που αυτή εφάπτεται στον οριζόντιο άξονα .

Δ) Ο μέγιστος εφαπτόμενος κύκλος θα έχει ακτίνα $R=\dfrac{1}{|{f}''(-1/2)|}\left ( 1+({f}'(-1/2))^2 \right ) ^{3/2}=1/2$

(ακτίνα καμπυλότητας) και κέντρο το

Από που προκύπτει αυτό;
Δηλαδή γιατί δεν τέμνει ο κύκλος αυτός το γράφημα;
Γιατί η ακτίνα είναι μέγιστη;
Και φυσικά τα ερωτήματα είναι εκτός φακέλλου.

Ο κύκλος πράγματι είναι αυτός.
Με ύλη Γ Λυκείου μπορεί να βρεθεί με φυσιολογικό τρόπο και μετά να αποδειχθεί ότι δεν τέμνει
το γράφημα.

Με προαιρετικό ερώτημα

Με προαιρετικό ερώτημα

Re: Με προαιρετικό ερώτημα

Re: Με προαιρετικό ερώτημα

Re: Με προαιρετικό ερώτημα

Re: Με προαιρετικό ερώτημα

Re: Με προαιρετικό ερώτημα

Re: Με προαιρετικό ερώτημα

Μέλη σε σύνδεση