Κυρτή Ανάλυση - Κλειστά υποσύνολα των πραγματικών

[BronzeP]

Υπάρχει υποσύνολο του κλειστό έτσι ώστε να μην είναι κλειστό;

[Mihalis_Lambrou]

Υπάρχει υποσύνολο του κλειστό έτσι ώστε να μην είναι κλειστό;

Υποθέτω ότι με συμβολίζεις την κυρτή θήκη του . Σωστά;

Αν είναι έτσι, η απάντηση είναι "όχι δεν υπάρχει". Σου δίνω μόνο υπόδειξη γιατί το θέμα είναι απλό.

Υπόδειξη: α) Έστω ότι το είναι άνω και κάτω φραγμένο, οπότε . Ποια είναι η κυρτή θήκη του ; Είναι κλειστό;
β) Το είναι άνω φραγμένο αλλά όχι κάτω, οπότε . Ποια είναι η κυρτή θήκη του ;
γ) Ομοίως οι άλλες δύο περιπτώσεις.

[stranger]

Αν το σύνολο είναι φραγμένο τότε αφού είναι κλειστό παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή( και ). Επειδή τα κυρτά υποσύνολα του είναι ακριβώς τα διαστήματα, η κυρτή θύκη του θα είναι το διάστημα το οποίο είναι κλειστό.
Αν δεν είναι φραγμένο μπορείς να πάρεις περιπτώσεις και με την ίδια λογική μπορείς να βρείς ότι η κυρτή του θήκη είναι πάντα κλειστό σύνολο.
Ουσιαστικά χρησιμοποιώ το ίδιο επιχείρημα με τον κύριο Λαμπρου

[BronzeP]

Έχετε δίκιο. Ήταν απλό το θέμα, ειδικά μετά την υπόδειξη του κυρίου Λάμπρου.
Σας ευχαριστώ πολύ όλους.