Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Nikos002 · #221

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Απρ 03, 2020 1:29 pm
Άσκηση 77

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int \dfrac {\sin ^2 x -\sin x -1}{e^{\sin x} +\cos x} \,dx }$

#222

Nikos002 έγραψε: ↑
Παρ Απρ 03, 2020 4:41 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Απρ 03, 2020 1:29 pm
Άσκηση 77

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int \dfrac {\sin ^2 x -\sin x -1}{e^{\sin x} +\cos x} \,dx }$
Ln|(e^sinx )cosx+1|+c ;

Ομολογώ ότι με την απάντησή σου μού κάνουν εντύπωση δύο πράγματα.

Αν και είσαι μέλος δύο χρόνια, δεν φαίνεται να κατάλαβες ότι πρώτον τα ποστ μας πρέπει να είναι σε latex και δεύτερον πρέπει να έχουν ολοκληρωμένη την απάντηση.

Επί της ουσίας τώρα. Έχεις ελέγξει με παραγώγιση αν είναι σωστή η απάντησή σου; Δυστυχώς είναι λάθος. Δεν είναι μεμπτό αυτό αλλά
παρακαλώ γράψε (με latex, που βέβαια γνωρίζεις) τον συλλογισμό σου για να σου πούμε που είναι το λάθος.

Η άσκηση παραμένει ανοικτή.

Nikos002 · #223

Συγγνώμη αλλά είχε πρόβλημα και δεν μπορούσα να γραψω

Tolaso J Kos · #224

Άσκηση 78

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{2} \frac{\ln \left ( 1+x \right )}{x^2-x+1} \, \mathrm{d}x }$
Απαιτητικό για μαθητές!

#225

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 03, 2020 8:20 pm
Άσκηση 78

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{2} \frac{\ln \left ( 1+x \right )}{x^2-x+1} \, \mathrm{d}x }$

Επειδή οι πράξεις είναι πολλές, θα κάνω μόνο τα κύρια βήματα.

Επειδή $x^2-x+1='\left ( x- \dfrac {1}{2} \right)^2+ \dfrac {3}{4}$ , κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $\displaystyle{ x- \dfrac {1}{2} = \dfrac {\sqrt 3}{2}\tan u}$ . Ο παρονομαστής γίνεται $\displaystyle{ \dfrac {3}{4} (\tan ^2u+1)}$ και επίσης $\displaystyle{\dfrac {dx}{du} = \dfrac {\sqrt 3}{2}(\tan ^2u +1)}$ . Άρα

$\displaystyle{I =\dfrac {2\sqrt 3}{3} \int _{-\pi /6}^{\pi / 3} \ln \left ( \dfrac {3}{2} + \dfrac {\sqrt 3}{2}\tan u \right ) du}$

Τώρα κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής $\displaystyle{u = \dfrac {\pi }{6}-v}$ οπότε

$\displaystyle{I= \dfrac {2\sqrt 3}{3} \int _{-\pi /6}^{\pi / 3} \ln \left ( \dfrac {3}{2} + \dfrac {\sqrt 3}{2}\tan \left ( \dfrac {\pi }{6}-v \right ) \right ) dv= \dfrac {2\sqrt 3}{3} \int _{-\pi /6}^{\pi / 3} \ln \left ( \dfrac {3}{2} + \dfrac {\sqrt 3}{2} \dfrac {\dfrac {\sqrt 3}{3}-\tan v }{1+ \dfrac {\sqrt 3}{3} \tan v} \right ) dv=}$

$\displaystyle{= \dfrac {2\sqrt 3}{3} \int _{-\pi /6}^{\pi / 3} \ln \left ( \dfrac {3}{\dfrac {3}{2} + \dfrac {\sqrt 3}{2} \tan v} \right ) dv= \dfrac {2\sqrt 3}{3} \int _{-\pi /6}^{\pi / 3} \ln 3 -I= \dfrac {\pi \sqrt 3}{3} \ln 3 -I}$

Άρα $\displaystyle{I= \dfrac {\pi \sqrt 3}{6} \ln 3}$

Tolaso J Kos · #226

Γεια σου Μιχάλη. Δεν είχα αυτό στο νου όταν το έθεσα. Πιο συγκεκριμένα η αντικατάσταση που έχω κατά νου αφήνει αναλλοίωτο το παρανομαστή. Την αφήνω λίγο ακόμα , αλλά σπεύδω να πω πως έχω ξανά βάλει το θέμα πολύ πιο παλιά.

Tolaso J Kos · #227

Άσκηση 79

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_1^e \frac{\ln^2 x + \ln x}{\left ( \ln x + x + 1 \right )^3} \, \mathrm{d}x}$

BAGGP93 · #228

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 04, 2020 11:16 am
Άσκηση 79

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_1^e \frac{\ln^2 x + \ln x}{\left ( \ln x + x + 1 \right )^3} \, \mathrm{d}x}$

Αν κάνει κάποιος την αντικατάσταση $\displaystyle{x=\dfrac{1}{t}\,,t\in\left[\dfrac{1}{e},1\right]$ καταλήγει να υπολογίσει το ολοκλήρωμα
$\begin{aligned} J&=\int_{1/e}^1 \dfrac{t\,\ln\,t(\ln\,t-1)}{(t+1-t\,\ln\,t)^3}\,\mathrm{d}t\\&=\int_{1}^{1/e}\dfrac{-\ln\,t\,(t-t\,\ln\,t)}{(1+(t-t\ln\,t))^3}\,\mathrm{d}t\\&\stackrel{(1+(t-t\,\ln\,t))'=-\ln\,t}{=}\int_{1}^{1/e}\dfrac{(t-t\,\ln\,t)'\,(t-t\,\ln\,t)}{((t-t\,\ln\,t\,)+1)^3}\,\mathrm{d}t\\&\stackrel{u=t-t\,\ln\,t}{=}\int_{1}^{2/e}\dfrac{u}{(u+1)^3}\,\mathrm{d}u\\&=\int_{1}^{2/e}\left(\dfrac{1}{(u+1)^2}-\dfrac{1}{(u+1)^3}\right)\,\mathrm{d}u\\&=\left[-\dfrac{1}{u+1}+\dfrac{1}{2\,(u+1)^2}\right]_{1}^{2/e}=...\end{aligned}$

Tolaso J Kos · #229

Γεια σου ρε Βαγγέλη. Είδες σύμπτωση όμως; Πριν 6 χρόνια το είχες λύσει ξανά εδώ.

KARKAR · #230

Άσκηση 80

Υπολογίστε το : $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1-sinxcosx}{cos^2x(e^x+tanx)}dx$

#231

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 07, 2020 12:41 pm
Άσκηση 80

Υπολογίστε το : $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1-sinxcosx}{cos^2x(e^x+tanx)}dx$

Κάνω γενικότερα το αόριστο ολοκλήρωμα:

$I = \displaystyle\int \dfrac{ \dfrac {1}{\cos ^2 x } -\dfrac {\sin x\cos x}{\cos ^2 x }}{e^x+\tan x}dx=\int \dfrac{\tan ^2 x +1 - \tan x}{e^x+\tan x}dx =$

$\displaystyle{ \int \left ( \dfrac{e^x +\tan ^2 x +1}{e^x+\tan x} -1 \right ) dx = \ln (e^x +\tan x) -x+c }$

#232

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 03, 2020 8:20 pm
Άσκηση 78

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{2} \frac{\ln \left ( 1+x \right )}{x^2-x+1} \, \mathrm{d}x }$

Αλλιώς η

με βάση το σχόλιο

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 04, 2020 10:37 am
...Πιο συγκεκριμένα η αντικατάσταση που έχω κατά νου αφήνει αναλλοίωτο το παρανομαστή.

Αφού απέτυχαν οι προσπάθειές μου με αλλαγή μεταβλητής x=1/y

(που αφήνει αναλλοίωτο τον παρονομαστή αλλά χαλάει τα όρια ολοκλήρωσης) ή της x=y-2

(που κρατάει τα όρια αλλά χαλάει τον παρονομαστή), άρχισα δοκιμάζοντας $y = \frac {ax+b}{cx+d}$ για κατάλληλα a,b,c,d

που θα τα βρίσκαμε στον δρόμο. Λύνοντας κάποιες εξισώσεις κατέληξα ως υποψήφιο το $y=\dfrac {2-x}{1+x}$ , το οποίο ευτυχώς λειτουργεί.

Έχουμε τότε $x= \dfrac {2-y}{1+y}$ άρα $x^2-x+1= \dfrac {3(y^2-y+1)}{(y+1)^2}$ και $\displaystyle{\dfrac {dx}{dy}= \dfrac {-3}{(1+y)^2}}$ . Άρα το δοθέν ικανοποιεί

$\displaystyle{I= -\int_{0}^{2} \dfrac{\ln \left ( 1+ \dfrac {2-y}{1+y}\right )}{\dfrac {3(y^2-y+1)}{(y+1)^2}} \cdot \dfrac {-3}{(1+y)^2} dy= \int_{0}^{2} \frac{\ln \left ( \dfrac {3}{1+y}\right )}{y^2-y+1} dy= }$

$\displaystyle{= \int_{0}^{2} \frac{\ln 3 - \ln (1+y)}{y^2-y+1} dy= \int_{0}^{2} \frac{\ln 3 }{y^2-y+1} dy -I= ...= \dfrac {\pi \sqrt 3}{3}-I}$ , και λοιπά.

#233

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 04, 2020 10:37 am
Γεια σου Μιχάλη. Δεν είχα αυτό στο νου όταν το έθεσα. Πιο συγκεκριμένα η αντικατάσταση που έχω κατά νου αφήνει αναλλοίωτο το παρανομαστή. Την αφήνω λίγο ακόμα , αλλά σπεύδω να πω πως έχω ξανά βάλει το θέμα πολύ πιο παλιά.

Τόλη,

ποια ήταν η αντικατάσταση που είχες κατά νου; Είναι διαφορετική από αυτήν του προηγούμενου ποστ;

Tolaso J Kos · #234

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 11, 2020 1:06 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 04, 2020 10:37 am
Γεια σου Μιχάλη. Δεν είχα αυτό στο νου όταν το έθεσα. Πιο συγκεκριμένα η αντικατάσταση που έχω κατά νου αφήνει αναλλοίωτο το παρανομαστή. Την αφήνω λίγο ακόμα , αλλά σπεύδω να πω πως έχω ξανά βάλει το θέμα πολύ πιο παλιά.
Τόλη,

ποια ήταν η αντικατάσταση που είχες κατά νου; Είναι διαφορετική από αυτήν του προηγούμενου ποστ;

Αυτήν ήταν !!!

#235

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Απρ 03, 2020 1:29 pm
Άσκηση 77

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int \dfrac {\sin ^2 x -\sin x -1}{e^{\sin x} +\cos x} \,dx }$

.
$\displaystyle{I= \int \dfrac { -\sin x -\cos ^2 x}{e^{\sin x} +\cos x} \,dx= \int \left (\dfrac {e^{\sin x} \cos x-\sin x }{e^{\sin x} +\cos x} -\cos x \right )\,dx= \int \dfrac {(e^{\sin x}+\cos x)' }{e^{\sin x} +\cos x}\,dx-\int \cos x \,dx= }$

$\displaystyle{= \ln |e^{\sin x}+\cos x | -\sin x +c}$

#236

Άσκηση 81

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int e^x \sin x \cos x \sin 2x \cos 2x \,dx}$

BAGGP93 · #237

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Απρ 13, 2020 2:26 pm
Άσκηση 81

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int e^x \sin x \cos x \sin 2x \cos 2x \,dx}$

Ίσως μια σκέψη είναι η εξής : Για κάθε $x\in\mathbb{R}$ έχουμε

$\displaystyle{\sin\,x\,\cos\,\,\sin(2\,x)\,\cos(2\,x)=\dfrac{1}{4}\,\sin\,(2\,x)\,\sin\,(4\,x)=\dfrac{\cos\,(2\,x-4\,x)-\cos\,(2\,x+4\,x)}{8}=\dfrac{\cos\,(2\,x)-\cos\,(6\,x)}{8}}$

Άρα,

$\int e^{x}\,\sin\,x\,\cos\,\,\sin(2\,x)\,\cos(2\,x)\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{8}\,I-\dfrac{1}{8}\,J$ όπου

$\begin{aligned}I&=\int e^{x}\,\cos\,(2\,x)\,\mathrm{d}x\\&=e^{x}\,\cos\,(2\,x)+2\,\int e^{x}\,\sin\,(2\,x)\,\mathrm{d}x\\&=e^{x}\,cos\,(2\,x)+2\,e^{x}\,\sin\,(2\,x)-4\,\int e^{x}\,\cos\,(2\,x) \end{aligned}$

Άρα, $5\,I=e^{x}\,\cos\,(2\,x)+2\,e^{x}\,\sin\,(2\,x)\implies I=\dfrac{e^{x}\,\cos\,(2\,x)+2\,e^{x}\,\sin\,(2\,x)}{5}+c\,,c\in\mathbb{R}$

και

$\begin{aligned}I&=\int e^{x}\,\cos\,(6\,x)\,\mathrm{d}x\\&=e^{x}\,\cos\,(6\,x)+6\,\int e^{x}\,\sin\,(6\,x)\,\mathrm{d}x\\&=e^{x}\,cos\,(6\,x)+6\,e^{x}\,\sin\,(6\,x)-36\,\int e^{x}\,\cos\,(6\,x) \end{aligned}$

Άρα, $37\,I=e^{x}\,\cos\,(6\,x)+6\,e^{x}\,\sin\,(6\,x)\implies I=\dfrac{e^{x}\,\cos\,(6\,x)+6\,e^{x}\,\sin\,(6\,x)}{37}+c\,,c\in\mathbb{R}$

#238

Άσκηση 82

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int \sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2+x}}} \,dx}$

Σχόλιο: Μπορούμε να κάνουμε το ολοκλήρωμα με οσαδήποτε φωλιασμένα ριζικά. Το γράφω με τρία γιατί δεν αλλάζει η ουσία. Η τελική απάντηση έχει αντίστροφη τριγωνομετρική.

#239

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Απρ 13, 2020 11:40 pm
Άσκηση 82

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\int \sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt {2+x}}} \,dx}$

Σχόλιο: Μπορούμε να κάνουμε το ολοκλήρωμα με οσαδήποτε φωλιασμένα ριζικά. Το γράφω με τρία γιατί δεν αλλάζει η ουσία. Η τελική απάντηση έχει αντίστροφη τριγωνομετρική.

Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Tolaso J Kos · #240

Είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos t}}} &= \sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos \frac{x}{2}}} \\ &=\sqrt{2+2 \cos \frac{x}{4}} \\ &=2 \cos \frac{x}{8} \end{aligned}}$
οπότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \bigintsss \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}} \, \mathrm{d}x &\overset{x=2\cos t}{=\! =\! =\! =\!} -4\int \cos \frac{x}{8} \sin t \, \mathrm{d}t \\ &=-2 \int \left ( \sin \frac{7t}{8} + \sin \frac{9t}{8} \right ) \, \mathrm{d}t \\ &=\frac{16}{7} \cos \frac{7t}{8} + \frac{16}{9} \cos \frac{9t}{8} \\ &= \cdots \end{aligned}}$

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση