Μεσογινόμενο

KARKAR · #1

: Μεσογινόμενο.png (10.73 KiB) Προβλήθηκε 1100 φορές

$\bigstar$ Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου τραπεζίου ABCD

τέμνονται κάθετα . Υπολογίστε το εμβαδόν του .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 30, 2020 3:31 pm
Μεσογινόμενο.png $\bigstar$ Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου τραπεζίου τέμνονται κάθετα . Υπολογίστε το εμβαδόν του .

H κάθετη από το

στην

τέμνει την

στο

: Μεσογινόμενο.png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 1024 φορές

Είναι $\displaystyle DE||AC \Rightarrow EA = DC = b$ και $\displaystyle {h^2} = ab.$ Άρα, $\boxed{(ABCD) = \frac{{a + b}}{2}\sqrt {ab} }$

KARKAR · #3

...αριθμητικός μέσος επί γεωμετρικό μέσο ... για δικαιολόγηση του τίτλου

#4

Ισχύει

διότι και τα δύο είναι ίσα με OA^2+OB^2+OC^2+OD^2

. Άρα έχουμε από άλλη μία φορά το Πυθαγόρειο ότι

a^2+b^2=h^2+k^2= h^2+(h^2+(a-b)^2)

Η πρώτη και η τελευταία μετά την απλοποίηση δίνουν h^2=ab

. Άρα το εμβαδόν είναι $\frac {1}{2}(a+b)h= \frac {1}{2}(a+b)\sqrt {ab}$ .

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλό βράδυ σε όλους. Ακόμη μία , λογιστική με δύο εκφράσεις του εμβαδού.

Από $AC \perp BD$ έπεται $\left ( ABCD \right )=AC\cdot BD/2\Rightarrow 4\left ( ABCD \right )^{2}=AC^{2}\cdot BD^{2}=\left ( b^{2}+h^{2} \right )\left ( a^{2}+h^{2} \right )$

ενώ και $4\left ( ABCD \right )^{2}=\left ( a+b \right )^{2} h^{2}$ . Εξισώνοντας τα β' μέλη παίρνουμε

$\left ( b^{2}+h^{2} \right )\left ( a^{2}+h^{2} \right )=\left ( a+b \right )^{2} h^{2}$ $\Rightarrow ...\left ( h^{2}-ab \right )^{2}=0\Rightarrow h^{2}=ab$ κ.λπ

Φιλικά Γιώργος.

#6

Αλλιώς (λίγο τραβηγμένο;

)

: Μεσογινόμενο.b.png (14.87 KiB) Προβλήθηκε 937 φορές

Αν

είναι τα μέσα των AD, BC

τότε οι κύκλοι $(M, \dfrac{a}{2}), (N, \dfrac{b}{2})$ εφάπτονται εξωτερικά

και η AB=h

είναι η κοινή εξωτερική τους εφαπτομένη. Άρα $h=\sqrt{ab},$ κλπ.

#7

Kαλησπέρα σε όλους. Κρατώ το σχήμα του Θανάση. Απλά προσθέτω συντεταγμένες.

: Μεσογινόμενο.png (10.73 KiB) Προβλήθηκε 901 φορές

Έστω

.

Είναι $\displaystyle BD \bot AC \Rightarrow - \frac{c}{a} \cdot \frac{c}{b} = - 1 \Leftrightarrow {c^2} = ab$ .

Οπότε $\displaystyle \left( {ABCD} \right) = \frac{{a + b}}{2} \cdot \sqrt {ab}$ .

Μεσογινόμενο

Μεσογινόμενο

Re: Μεσογινόμενο

Re: Μεσογινόμενο

Re: Μεσογινόμενο

Re: Μεσογινόμενο

Re: Μεσογινόμενο

Re: Μεσογινόμενο

Μέλη σε σύνδεση