Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω πολυώνυμα $P(x),K(x)\in Q[x]$
με το
P(x)

ανάγωγο.

Αν τα P(x),K(x)

εχουν μία κοινή ρίζα τότε
υπάρχει πολυώνυμο

$R(x)\in Q[x]$ ώστε

K(x)=P(x)R(x)

Μέχρι 29-2-2020

sot arm · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 27, 2020 8:58 pm
Εστω πολυώνυμα $P(x),K(x)\in Q[x]$
με το
ανάγωγο.

Αν τα εχουν μία κοινή ρίζα τότε
υπάρχει πολυώνυμο

$R(x)\in Q[x]$ ώστε

Μέχρι 29-2-2020

Γράφω λίγο περιληπτικά γιατί είμαι από κινητό. Έστω

η κοινή ρίζα και $m_{a} (x)$ το ελάχιστο πολυώνυμο του

υπεράνω του $\mathhbb{Q}$ .

Επειδή το P(x)

είναι ανάγωγο, έπεται πως: $P(x) =c m_{a} (x)$ .

Τέλος, αφού το K(x)

έχει ρίζα το

το $m_{a} (x)$ διαιρεί το K(x)

και άρα το P(x)

διαιρεί το K(x)

Που είναι το ζητούμενο.

Υποσημείωση : έχω την εντύπωση πως το παραπάνω είναι ελλιπές, από θέμα αιτιολόγησης, αλλά είναι όλα γνωστά από Galois.

stranger · #3

Επειδή το $\mathbb{Q}[x]$ είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών έχουμε ότι το ιδεώδες (P(x),K(x))

είναι κύριο, οπότε
(P(x),K(x)) = (f(x))

. Το πολώνυμο f(x)

είναι ένας από τους μέγιστους κοινούς διαιρέτες των P(x),K(x)

.
Άρα επειδή τα P(x),K(x)

έχουν κοινή ρίζα έπεται ότι το f(x)

είναι μη σταθερό πολυώνυμο.
Άρα αφού το f(x)

διαιρεί το P(x)

και επειδή το P(x)

είναι ανάγωγο έπεται ότι P(x) = c f(x)

, $c \neq 0$ .
Άρα το P(x)

διαιρεί το K(x)

στο $\mathbb{Q}[x]$ .
Τελειώσαμε.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Για να δούμε μια πιο στοιχειώδη απόδειξη.
Δουλεύουμε στο Q[x]

.

Το βασικό είναι ότι αν

d(x)=(f(x),g(x))

τότε υπάρχουν πολυώνυμα h(x),q(x))

ώστε

Κάνουμε την διαίρεση του K(x)

με το

.

(1)

Αν $r(x)\equiv 0$
τελειώσαμε.

Διαφορετικά θα είναι deg r(x)<deg P(x)

.

Αλλά επειδή το P(x)

ανάγωγο θα είναι
1=(P(x),r(x))

Αρα θα υπάρχουν πολυώνυμα ώστε 1=P(x)h(x)+r(x)q(x)

(2)

Αν

η κοινή ρίζα των P(x),K(x)

τότε η (1) δίνει r(a)=0

οπότε από την (2) παίρνουμε 1=0

ΑΤΟΠΟ.

σημείωση.Η απόδειξη δουλεύει αν αντικαταστήσουμε το $\mathbb{Q}$ με οποιoδήποτε σώμα

stranger · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 01, 2020 6:48 pm
σημείωση.Η απόδειξη δουλεύει αν αντικαταστήσουμε το $\mathbb{Q}$ με οποιoδήποτε σώμα

Ναι βέβαια αφού το

είναι σώμα έχουμε ότι το F[x]

είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, οπότε έχουμε μέγιστο κοινό διαιρέτη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

stranger έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 01, 2020 11:57 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 01, 2020 6:48 pm
σημείωση.Η απόδειξη δουλεύει αν αντικαταστήσουμε το $\mathbb{Q}$ με οποιoδήποτε σώμα
Ναι βέβαια αφού το είναι σώμα έχουμε ότι το είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών, οπότε έχουμε μέγιστο κοινό διαιρέτη.

Για να ορίσουμε μέγιστο κοινό διαιρέτη στο F[x]

δεν χρειάζεται να μπλέξουμε ιδεώδη.

Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση