Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Tolaso J Kos · #161

Άσκηση 56

Στο ίδιο πνεύμα με τα προηγούμενα...

Έστω $0<\alpha<\beta$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta} \frac{\ln x}{\left ( x+\alpha \right )\left ( x+\beta \right )} \, \mathrm{d}x}$

#162

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 11, 2020 9:05 pm
Το (β) η αλήθεια είναι ότι δε το χω δει κάπου.

Τόλη, ούτε εγώ το έχω δει αλλά δεν αμφιβάλλω ότι είναι αρκετά γνωστό, στην μία ή την άλλη μορφή.

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 11, 2020 9:11 pm
Άσκηση 56
Έστω $0<\alpha<\beta$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta} \frac{\ln x}{\left ( x+\alpha \right )\left ( x+\beta \right )} \, \mathrm{d}x}$

Με $x=\dfrac {ab}{t}$ είναι

$\displaystyle{I= \int_{a}^{b} \frac{\ln (ab) - \ln t}{\left ( \frac {ab}{t}+a \right )\left ( \frac {ab}{t}+b \right )} \cdot \frac {ab}{t^2}\, dt}= \int_{a}^{b} \frac{\ln (ab) - \ln t}{ ( a+t )( b+t )} \, dt= \ln (ab)\int_{a}^{b} \frac{1}{ ( a+t )( b+t )} \, dt -I}$

Άρα

$\displaystyle{ 2I= \ln (ab)\int_{a}^{b} \dfrac{1}{ ( a+x )( b+x )} \, dx = ... = \dfrac {\ln (ab)}{b-a} \left [\ln \left ( \dfrac{a+x}{ b+x } \right) \right ] _a^b= \dfrac {\ln (ab)}{b-a}\ln \left ( \dfrac{ (a+b)^2}{ 4ab } \right) }$

και λοιπά, ελπίζοντας ότι δεν μου ξέφυγε κάποιο δευτερεύον τυπογραφικό.

Tolaso J Kos · #163

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 11, 2020 10:33 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 11, 2020 9:05 pm
Το (β) η αλήθεια είναι ότι δε το χω δει κάπου.
Τόλη, ούτε εγώ το έχω δει αλλά δεν αμφιβάλλω ότι είναι αρκετά γνωστό, στην μία ή την άλλη μορφή.

Το ότι ειναι γνωστό ειναι , αλλά γενικά αυτή η αντικατάσταση δε σου έρχεται στο μυαλό αν δεν την έχεις δει !

#164

Άσκηση 57

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\displaystyle{ \displaystyle\int_0^{\frac {\pi}{2} } \frac{\sin ^5 x}{\sin x + \cos x }dx }}$

(Δεν χρειάζεται να κάνετε μέχρι τέλους τις πράξεις στο τελευταίο βήμα γιατί είναι επίπονες. Πάντως η τελική αριθμητική απάντηση είναι $\displaystyle{\dfrac {7\pi}{32} - \dfrac {1}{4}}$ ).

Tolaso J Kos · #165

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 11, 2020 11:10 pm
Άσκηση 57

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\displaystyle{ \displaystyle\int_0^{\frac {\pi}{2} } \frac{\sin ^5 x}{\sin x + \cos x }dx }}$

(Δεν χρειάζεται να κάνετε μέχρι τέλους τις πράξεις στο τελευταίο βήμα γιατί είναι επίπονες. Πάντως η τελική αριθμητική απάντηση είναι $\displaystyle{\dfrac {7\pi}{32} - \dfrac {1}{4}}$ ).

Τη θεωρώ αρκετά δύσκολη για Γ' Λυκείου. Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^5 x}{\sin x +\cos x} \, \mathrm{d}x &\overset{u=\pi/2-x}{=\! =\! =\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos^5 x}{\sin x+ \cos x} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^5 x+\cos^5 x}{\sin x +\cos x} \, \mathrm{d}x\\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \bigg ( \sin^4 x + \cos^4 x - \sin x \cos^3 x + \\ & \quad \quad \quad +\sin^2 x \cos^2 x - \sin^3x \cos x \bigg ) \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \left ( \sin^4 x+ \cos^4 x \right ) \, \mathrm{d}x + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^2 x \, \mathrm{d}x - \\ & \quad \quad \quad - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos^3 x \, \mathrm{d}x - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x \, \mathrm{d}x\\ &= \frac{1}{8} {\color{red}{\int_{0}^{\pi/2} \left ( \cos 4x +3 \right ) \, \mathrm{d}x}} + \frac{1}{2} {\color{cyan}{\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^2 x \, \mathrm{d}x}} - \\ & \quad \quad \quad - \frac{1}{2}{\color{purple}{\int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos^3 x \, \mathrm{d}x}} - \frac{1}{2} {\color{purple}{\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x \, \mathrm{d}x}} \end{aligned}}$
Πάμε για το κόκκινο ολοκλήρωμα το οποίο είναι εύκολο:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2}\left ( \cos 4x+ 3 \right )\, \mathrm{d}x &= \cancelto{0}{\int_{0}^{\pi/2} \cos 4x \, \mathrm{d}x}+ \frac{3\pi}{2} \\ &=\frac{3\pi}{2} \end{aligned}}$

Για το cyan ολοκλήρωμα έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^2 x \, \mathrm{d}x &= \int_{0}^{\pi/2} \left ( \sin x \cos x \right )^2 \, \mathrm{d} x\\ &=\int_{0}^{\pi/2} \left ( \frac{\sin 2x}{2} \right )^2 \, \mathrm{d}x\\ &= \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 2x \, \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{8}\int_{0}^{\pi/2} \left ( 1- \cos 4x \right ) \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{\pi}{16} \end{aligned}}$
Και τέλος για τα δύο μωβ ολοκληρώματα τα οποία είναι ίσα έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos^3 x \, \mathrm{d}x &\overset{x \mapsto \pi/2-x}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!}\int_{0}^{\pi/2}\cos x \sin^3 x \, \mathrm{d}x \\ &\!\!\!\!\!\overset{x \mapsto \sin x}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{1} x^3 \, \mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{4} \end{aligned}}$
Τώρα ήρθε η ώρα να τα μαζέψουμε. Οπότε έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^5 x}{\sin x + \cos x} \, \mathrm{d}x &= \frac{1}{8} \cdot \frac{3\pi}{2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{16} - \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right ) \\ &= \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi}{32} - \frac{1}{4}\\ &= \frac{7\pi}{32} - \frac{1}{4} \end{aligned}}$

κ. Μιχάλη τι λύση έχετε;

#166

Τόλη, γλυτώνουμε πολλές πράξεις με μικρά τεχνάσματα.

α) Τα $\displaystyle{ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx, \, \int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos^3 x dx }$ έτοιμη αντιπαράγωγος, $\displaystyle{\frac {1}{4} \sin^4 x , \, \frac {1}{4} \cos^4 x}$ αντίστοιχα, οπότε δεν χρειάζεται η μανούβρα που κάνεις.

β) Για το ολοκλήρωμα των υπόλοιπων, δηλαδή $\displaystyle{ \sin^4 x + \cos^4 x +\sin^2 x \cos^2 x }$ είναι πιο απλό να εργαστούμε πακέτo, και να μην τα χωρίσουμε. Συγκεκριμένα να πούμε (γράφω

και

για τα $\sin x, \, \cos x$ )

$\displaystyle{s^4+c^4+s^2c^2= (s^2+c^2)^2- s^2c^2= 1-c^2s^2 }$ που είναι απλό με διπλασια γωνία (το έκανες ήδη αλλά εδώ απορροφά και τις άλλες παραστάσεις).

Tolaso J Kos · #167

Άσκηση 58

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{{\sqrt[3]{{1 + \sin x}} - \sqrt[3]{{1 + \cos x}}}}{{\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} }} \; \mathrm{d} x}$

Tolaso J Kos · #168

Άσκηση 59

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} =\int _0^1 \frac {x+\sin \pi x}{1+2\sin \pi x}\; \mathrm{d}x}$

panagiotis iliopoulos · #169

Θέτουμε

οπότε

και

$J=\int_{0}^{1}\frac{1-x+sin\pi x}{1+2sin\pi x}dx$ .

Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε $2J=1\Rightarrow J=\frac{1}{2}$ .

#170

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 12, 2020 7:33 pm
Άσκηση 58

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{{\sqrt[3]{{1 + \sin x}} - \sqrt[3]{{1 + \cos x}}}}{{\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} }} \; \mathrm{d} x}$

Για να κλείνει. Έχουμε δει παρόμοιες αλλά εδώ τρομάζει η μεγάλη παράσταση. Πλην όμως έχει συμμετρία οπότε...

Θέτοντας $x=\pi /2-t$ και με χρήση των $\sin x= \cos t , \cos x = \sin t$ εύκολα βλέπουμε I=-I

, Άρα

#171

Άσκηση 60

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \dfrac{ x^5+10x^4+44x^3+104x^2+134x+76 }{(x^2+4x+n)^n}dx }}}$ για (χωριστά) n=1, n=2, n=3

και $n\ge 4$ .

(Μου την έστειλε χθες ένας Ρουμάνος φίλος ο οποίος λέει ότι η άσκηση είναι από παλιό Ρουμάνικο διαγωνισμό. Ομολογώ ότι χρησιμοποίησα λογισμικό σε ένα πρώτο βήμα το οποίο μπορώ μεν να κάνω με το χέρι, αλλά ... και η διαστροφή έχει όρια.
.
Το πρώτο βήμα για το οποίο χρησιμοποίησα λογισμικό είναι
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

.
Το ότι τα n=1, n=2, n=3

και $n\ge 4$ τα κάνουμε χωριστά δεν μου το είπε ο ίδιος αλλά έτσι βγήκαν στην πορεία.

Λεωνίδας Φ. · #172

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 15, 2020 1:04 am
Άσκηση 60

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \dfrac{ x^5+10x^4+44x^3+104x^2+134x+76 }{(x^2+4x+n)^n}dx }}}$ για (χωριστά) και $n\ge 4$ .

(Μου την έστειλε χθες ένας Ρουμάνος φίλος ο οποίος λέει ότι η άσκηση είναι από παλιό Ρουμάνικο διαγωνισμό. Ομολογώ ότι χρησιμοποίησα λογισμικό σε ένα πρώτο βήμα το οποίο μπορώ μεν να κάνω με το χέρι, αλλά ... και η διαστροφή έχει όρια.
.
Το πρώτο βήμα για το οποίο χρησιμοποίησα λογισμικό είναι
.
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
ο αριθμητής παραγοντοποιείται ως $\displaystyle{(x+2)(x^4+8x^3+28x^2+48x+38)}$
.
Το ότι τα και $n\ge 4$ τα κάνουμε χωριστά δεν μου το είπε ο ίδιος αλλά έτσι βγήκαν στην πορεία.

Έστω

το ζητούμενο ολοκλήρωμα.

Έχουμε:
$I_{1} = \int \frac{(x+2)( x^{4}+8x^{3}+28x^{2}+48x+38) }{ x^{2}+4x+1 }dx = \int \frac{(x+2)((x^{2}+4x+11)(x^{2}+4x+1)+27)}{x^{2}+4x+1}dx = \int(x+2)(x^{2}+4x+11)dx+ \frac{27}{2} \int \frac{x+2}{x^{2}+4x+1} dx= \frac{ (x^{2}+4x+11)^{2} }{2}+ \frac{27}{2} ln |x^{2}+4x+1| +c_1$

$Ι_{2} = \int (x+2)(1+ \frac{8 x^{2}+32x+32 }{ ( x^{2}+4x+2) ^{2} } )dx =_{u= x^{2}+4x+2} ^{du=2(x+2)dx} \int \frac{8u+16}{ 2u^{2} } du + \frac{(x+2)^{2}}{2} = \frac{(x+2)^{2}}{2}+ \int \frac{4}{u}du + \int \frac{8}{ u^{2} }du= \frac{(x+2)^{2}}{2}+4ln | x^{2}+4x+2 | - \frac{8}{x^{2}+4x+2}+c_2$

Με την ίδια λογική υπολογίζουμε το $I_3= \frac{1}{2}ln | x^{2}+4x+3 | - \frac{3}{x^{2}+4x+3}- \frac{9}{ (x^{2}+4x+3)^{2} } + c_{3}$

Τέλος, για $n \geq 4$ είναι $I_n= \int \frac{(x+2)( x^{4}+8x^{3}+28x^{2}+48x+38) }{ (x^{2}+4x+n)^{n} }dx=_{u= x^{2}+4x} ^{du=2(x+2)dx} \int \frac{u^{2}+12u+38 }{2(u+n)^{n} } du=_{y=u+n} ^{dy=du} \frac{1}{2} \int\frac{(y-n)^{2}+12(y-n)+38 }{y^{n} }dy=...= \frac{1}{2} \int( y^{2-n}+2(6-n)y^{1-n}+(38-12n)y^{-n})dy= \frac{1}{2} \frac{ y^{3-n} }{3-n}+ \frac{6-n}{2-n} y^{2-n}+ \frac{19-6n}{1-n}y^{1-n} +c_n=\frac{1}{2} \frac{ (x^{2}+4x+n)^{3-n} }{3-n}+ \frac{6-n}{2-n} (x^{2}+4x+n)^{2-n}+ \frac{19-6n}{1-n}(x^{2}+4x+n)^{1-n} +c_n$

Tolaso J Kos · #173

´Ασκηση 61

Να υπολογιστεί το ολοκληρώμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^{\pi/4} \frac{\cos x}{\sin^3 x + \cos^3 x}\, \mathrm{d}x}$

#174

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 16, 2020 9:20 am
´Ασκηση 61

Να υπολογιστεί το ολοκληρώμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^{\pi/4} \frac{\cos x}{\sin^3 x + \cos^3 x}\, \mathrm{d}x}$

$\displaystyle J = \int_0^{\pi /4} {\frac{{\cos x}}{{{{\cos }^3}x({{\tan }^3}x + 1)}}} {\rm{ }}dx$ και με την αντικατάσταση $\displaystyle \tan x = u,$ είναι

$\displaystyle J = \int_0^1 {\frac{{du}}{{{u^3} + 1}}} = \int_0^1 {\frac{{du}}{{(u + 1)({u^2} - u + 1)}} = } \int_0^1 {\frac{{du}}{{3(u + 1)}} - \int_0^1 {\frac{{u - 2}}{{3({u^2} - u + 1)}}du} }$

$\displaystyle J = \left[ {\frac{1}{3}\ln (u + 1)} \right]_0^1 - \frac{1}{6}\left( {\int_0^1 {\frac{{2u - 1}}{{{u^2} - u + 1}}du - \int_0^1 {\frac{3}{{{u^2} - u + 1}}du} } } \right)$

$\displaystyle J = \frac{1}{3}\ln 2 - \frac{1}{6}\left[ {\ln ({u^2} - u + 1)} \right]_0^1 + \frac{1}{2}\int_0^1 {\frac{{du}}{{{{(u - \frac{1}{2})}^2} + \frac{3}{4}}}} = \frac{1}{3}\ln 2 + \left[ {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\frac{{2u - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)} \right]_0^1$ (*)

$\boxed{J = \frac{{3\ln 2 + \pi \sqrt 3 }}{9}}$

(*) Στο $\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^1 {\frac{{du}}{{{{(u - \frac{1}{2})}^2} + \frac{3}{4}}}}$ έγινε η αντικατάσταση $\displaystyle t = \frac{{2u - 1}}{{\sqrt 3 }}$ πριν βγει το τελικό αποτέλεσμα.

Ίσως υπάρχει ευκολότερος τρόπος.

Tolaso J Kos · #175

Άσκηση 62

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{\sqrt[5]{\ln 3}}^{\sqrt[5]{\ln 5}} \frac{x^4 \sin x^5}{\sin x^5 + \sin \left ( \ln 15 - x^5 \right )} \, \mathrm{d}x}$

#176

Άσκηση 63

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle \int {\frac{{1 + x{e^{2x}}}}{{1 + x{e^x}}}} {\rm{ }}dx$

perpant · #177

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 17, 2020 11:26 am
Άσκηση 63

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle \int {\frac{{1 + x{e^{2x}}}}{{1 + x{e^x}}}} {\rm{ }}dx$

Καλημέρα

$\displaystyle \int {\frac{{1 + x{e^{2x}}}}{{1 + x{e^x}}}dx = }$

$\displaystyle = \int {\frac{{1 + x{e^x} - x{e^x} + x{e^{2x}}}}{{1 + x{e^x}}}dx}$

$\displaystyle = \int {\left( {1 + \frac{{x{e^{2x}} - x{e^x}}}{{1 + x{e^x}}}} \right)} dx$

$\displaystyle = \int {\left( {1 + \frac{{{e^x} + x{e^{2x}} - x{e^x} - {e^x}}}{{1 + x{e^x}}}} \right)} dx$

$\displaystyle = \int {\left( {1 + \frac{{{e^x}\left( {1 + x{e^x}} \right) - \left( {x + 1} \right){e^x}}}{{1 + x{e^x}}}} \right)} dx$

$\displaystyle = \int {\left( {1 + {e^x} - \frac{{{{\left( {1 + x{e^x}} \right)}^\prime }}}{{1 + x{e^x}}}} \right)} dx$

$\displaystyle = x + {e^x} - \ln \left( {1 + x{e^x}} \right) + c$

KARKAR · #178

Άσκηση 64

Υπολογίστε το : $\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{a}{e^{ax}+1}}dx$

Tolaso J Kos · #179

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 18, 2020 4:41 pm
Άσκηση 64

Υπολογίστε το : $\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{a}{e^{ax}+1}}dx$

Χρόνια πολλά Θανάση. Για το ολοκλήρωμα έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{J} &= \int_{-1}^{1} \frac{a}{e^{ax}+1} \, \mathrm{d}x \\ &\!\!\!\!\!\overset{x \mapsto -x}{=\! =\! =\! =\!} \int_{-1}^{1} \frac{a}{e^{-ax}+1} \, \mathrm{d}x \\ &=\int_{-1}^{1} \frac{a e^{ax}}{1+e^{ax}} \, \mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{2} \left ( \int_{-1}^{1} \frac{a}{1+e^{ax}} \, \mathrm{d}x + \int_{-1}^{1} \frac{a e^{ax}}{1+e^{ax}} \, \mathrm{d}x \right ) \\ &=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} \frac{a \left ( 1+e^{ax} \right )}{1+e^{ax}} \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} a \, \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2a \\ &=a \end{aligned}}$

#180

$\displaystyle{I=\int_{-1}^{1}{\frac{a}{e^{ax}+1}dx}=\int_{-a}^{a}{\frac{1}{e^{u}+1}du}=}$

$\displaystyle{=\int_{-a}^{a}{\frac{1}{e^{-t}+1}dt}$

$\displaystyle{=\int_{-a}^{a}{\frac{e^t+1-1}{e^{t}+1}dt}$

$\displaystyle{=2a-\int_{-a}^{a}{\frac{1}{e^{t}+1}dt}$

$\displaystyle{=2a-\int_{-1}^{1}{\frac{a}{e^{ax}+1}dx}}$

$\displaystyle{I=a}$
αλλη βολική αλλαγή μεταβλητής $\displaystyle{e^{ax}+1=w}$

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση