Ισοσκελές και καθετότητα

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα. Ας υποβάλω κι' εδώ θέμα διαγωνίσματος που έβαλα στο σχολείο πρόσφατα.

: Ισοσκελές και καθετότητα.PNG (10.44 KiB) Προβλήθηκε 995 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

με συντεταγμένες κορυφών A(0,20)...B(-10,0)

και

.

Θεωρούμε το ύψος

και $E \in AC$ ώστε $OE \perp AC$ . Ι) Βρείτε τις συντεταγμένες του

.

Αν

το μέσον του

τότε ΙΙ) Να δείξετε ότι είναι $AM \perp BE$ .

Δεκτή κάθε λύση. Ας δώσουμε πάντως και μία με την ύλη του πρώτου κεφαλαίου (διανύσματα) ως προσφορά στον μέσο μαθητή.
Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 13, 2020 12:24 am
Καλημέρα. Ας υποβάλω κι' εδώ θέμα διαγωνίσματος που έβαλα στο σχολείο πρόσφατα.
Ισοσκελές και καθετότητα.PNG
Δίνεται τρίγωνο με συντεταγμένες κορυφών και .

Θεωρούμε το ύψος και $E \in AC$ ώστε $OE \perp AC$ . Ι) Βρείτε τις συντεταγμένες του .

Αν το μέσον του τότε ΙΙ) Να δείξετε ότι είναι $AM \perp BE$ .

Δεκτή κάθε λύση. Ας δώσουμε πάντως και μία με την ύλη του πρώτου κεφαλαίου (διανύσματα) ως προσφορά στον μέσο μαθητή.
Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων, Γιώργος.

: Μήτσιος_1.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 982 φορές

Είναι $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ ( οξείες με πλευρές κάθετες ) . Ας είναι

η τομή των BE,AM

.

Επειδή ισοδύναμα : $\dfrac{{AO}}{{BC}} = \dfrac{{OM}}{{EC}} \Leftrightarrow \dfrac{{AO}}{{2OC}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}OE}}{{EC}} \Leftrightarrow \dfrac{{AO}}{{2OC}} = \dfrac{{OE}}{{2EC}} \Leftrightarrow \dfrac{{AO}}{{OC}} = \dfrac{{OE}}{{EC}}$

Που ισχύει γιατί τα ορθογώνια τρίγωνα $OAC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,EOC$ είναι όμοια. Άρα θα είναι όμοια

και τα τρίγωνα $AOM\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BCE$ αφού έχουν πλευρές ανάλογες και τις γωνίες που περιέχονται σ αυτές , ίσες .

Τότε όμως : $\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ οπότε το τετράπλευρο ABOT

είναι εγγράψιμο οπότε : $\widehat {ATB} = \widehat {AOB} = 90^\circ$

2ος τρόπος

: Μήτσιος_2.png (17.93 KiB) Προβλήθηκε 982 φορές

Φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει την

, μέσο του

.

Όμως έτσι $NM//CB \Rightarrow NM \bot AO$ . Το

θα είναι ορθόκεντρο στο $\vartriangle AON \Rightarrow AM \bot ON \Rightarrow AM \bot BE$

Την εκπληκτική αυτή άσκηση την είδα πρώτη φορά το

σε περιοδικό της Ε. Μ. Ε .

KARKAR · #3

Κάτι παραπάνω από εκπληκτική , βλέπε εδώ

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 13, 2020 12:24 am
Καλημέρα. Ας υποβάλω κι' εδώ θέμα διαγωνίσματος που έβαλα στο σχολείο πρόσφατα.
Ισοσκελές και καθετότητα.PNG
Δίνεται τρίγωνο με συντεταγμένες κορυφών και .

Θεωρούμε το ύψος και $E \in AC$ ώστε $OE \perp AC$ . Ι) Βρείτε τις συντεταγμένες του .

Αν το μέσον του τότε ΙΙ) Να δείξετε ότι είναι $AM \perp BE$ .

Δεκτή κάθε λύση. Ας δώσουμε πάντως και μία με την ύλη του πρώτου κεφαλαίου (διανύσματα) ως προσφορά στον μέσο μαθητή.
Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων, Γιώργος.

Ας το δούμε και εντός φακέλου.

: Ισοσκελές και καθετότητα.Μ.png (9.99 KiB) Προβλήθηκε 957 φορές

I) Αν

τότε $\displaystyle \overrightarrow {OE} \bot \overrightarrow {AC} \Leftrightarrow (x,y)(10, - 20) = 0 \Leftrightarrow x = 2y$

$\displaystyle {\overrightarrow {OE} ^2} = {\overrightarrow {OC} ^2} - {\overrightarrow {EC} ^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 100 - {(10 - x)^2} - {y^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 10x$

κι επειδή x=2y,

θα είναι

Άρα $\boxed{E(8,4)}$ και M(4,2).

II) $\displaystyle \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BE} = (4, - 18)(18,4) =72-72= 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {BE}$

Να υπενθυμίσω ότι η άσκηση είναι από την 2η Μαθηματική Ολυμπιάδα της Σοβιετικής Ένωσης το 1962 στη Μόσχα
(2nd All Soviet Union Mathematical Olympiad).

Ισοσκελές και καθετότητα

Ισοσκελές και καθετότητα

Re: Ισοσκελές και καθετότητα

Re: Ισοσκελές και καθετότητα

Re: Ισοσκελές και καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση