Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

#121

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 02, 2020 9:25 pm

Χρησιμοποιώ εδώ το γεγονός ότι η παράσταση είναι συνεχής ως προς (απόδειξη απλή αλλά εκτός ύλης), πλην όμως το ολοκλήρωμα υπολογίζεται ούτως ή άλλως στοιχειωδώς, οπότε δεν έχουμε πρόβλημα. Το αόριστο ισούται $\displaystyle{(2-a)\ln (e^x+a) +e^x-2x}$ .

Ας τα δούμε αυτά, για λόγους πληρότητας.

1) Για a, b>0

έχουμε

$\displaystyle \left | \int_{0}^{1}\dfrac{e^{2x}-2a}{e^x+a}dx - \int_{0}^{1}\dfrac{e^{2x}-2b}{e^x+b}dx\right | = \left | \int_{0}^{1}\left (\dfrac{e^{2x}-2a}{e^x+a}dx - \dfrac{e^{2x}-2b}{e^x+b}\right ) dx\right |\le \int_{0}^{1} \left |\dfrac{e^{2x}-2a}{e^x+a} - \dfrac{e^{2x}-2b}{e^x+b}\right |dx$

$\displaystyle{= \int_{0}^{1} \left |\dfrac{(b-a)(2e^x +e^{2x})}{(e^x+a)(e^x+b)} \right |dx \le \int_{0}^{1} \left |\dfrac{(b-a)(2e^x +e^{2x})}{e^x \cdot e^x} \right |dx= |b-a|c}$

όπου

σταθερά. Και λοιπά.

2) η αλλαγή μεταβλητής e^x

δίνει ότι το (αόριστο) ολοκλήρωμα ισούται

$\displaystyle{\int \dfrac{t^2-2a}{(t+a)t} dt =\int\left ( 1- \dfrac{ 2}{t} - \dfrac{ 2-a}{t+a} \right ) = t-\ln t -(2-a)\ln (t+a) +c}$ , και λοιπά.

#122

Άσκηση 42

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \left (x+1 - \dfrac{1}{x}\right ) e^ {x+ \frac{1}{x}} \,dx} }$

(Ίσως παιδέψει νεαρούς λύτες, αλλά κατά βάθος είναι στρωτή).
(Η Άσκηση 40 μένει αναπάντητη).

#123

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 30, 2019 1:08 am
Άσκηση 40

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{\displaystyle{ \int \dfrac{x^{1514}}{x^{2020}+1}}}\,dx}$ για .

(Απλή αν δεν έχεις αριθμοφοβία με τα "μεγάλα" νούμερα όπως το . Προσοχή όμως, οδηγεί σε , αλλά σε μορφή που το είδαμε εδώ πολλές φορές).

Υπόδειξη: Το ολοκλήρωμα είναι της μορφής $\displaystyle{\displaystyle{ \int \dfrac{x^{3a-1}}{x^{4a}+1}}}\,dx}$ .

KARKAR · #124

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 02, 2020 8:31 pm
Άσκηση 41

i) Δείξτε ότι : $ln\dfrac{e+1}{2}>3-e$
ii) Δείξτε ότι υπάρχει τιμή του θετικού , ώστε : $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{e^{2x}-2a}{e^x+a}dx=0$

Ας γράψω και την δική μου προσέγγιση :

Για τον υπολογισμό του αόριστου : Είναι : $\dfrac{e^{2x}-2a}{e^x+a}=\dfrac{e^{2x}-a^2+a^2-2a}{e^x+a}=e^x-a+(a-2)\dfrac{a}{e^x+a}=$

$=e^x-a+(a-2)\dfrac{e^x+a-e^x}{e^x+a}=e^x-a+(a-2)-(a-2)\dfrac{e^x}{e^x+a}$ $=e^x-2+(2-a)\dfrac{(e^x+a)'}{e^x+a}$ .

Συνεπώς : $\displaystyle \int \frac{e^{2x}-2a}{e^x+a}dx=e^x-2x+(2-a)ln(e^x+a)+c$ .

Έτσι λοιπόν παίρνουμε : $\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{e^{2x}-2a}{e^x+a}dx=e-3+(2-a)ln\frac{e+a}{1+a}=g(a)$ .

Η

είναι συνεχής , με : g(2)=e-3<0

και : $g(1)=ln\dfrac{e+1}{2}+e-3>0$ , από i) .

Δίνω και μιαν "επαγγελματική" απόδειξη για την i) . Θα εφαρμόσω το Θ.Μ.Τ. για την h(x)=ln(x+1)

, στο

Υπάρχει λοιπόν $\xi\in (1,e) : \dfrac{1}{\xi+1}=\dfrac{ln(e+1)-ln2}{e-1}$ . Αλλά : $\dfrac{1}{e+1}< \dfrac{1}{\xi+1}$ ,

δηλαδή : $\dfrac{e-1}{e+1}<ln\dfrac{e+1}{2}$ . Αρκεί λοιπόν : $3-e<\dfrac{e-1}{e+1}\Leftrightarrow e^2-e-2>0$ ,

το οποίο ισχύει αφού το τριώνυμο x^2-x-2

, είναι θετικό για κάθε x>2

.

KARKAR · #125

Άσκηση 43

Δείξτε ότι υπάρχει θετικός

,

, τέτοιος ώστε : $\displaystyle \int_{0}^{k}\frac{e^x-1}{xe^x+1}dx=1$

#126

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 04, 2020 3:16 pm
Άσκηση 43
Δείξτε ότι υπάρχει θετικός , , τέτοιος ώστε : $\displaystyle \int_{0}^{k}\frac{e^x-1}{xe^x+1}dx=1$

$\displaystyle \int_0^k {\frac{{{e^x} - 1}}{{x{e^x} + 1}}dx = } \int_0^k {\left( {\frac{{x{e^x} + {e^x}}}{{x{e^x} + 1}} - 1} \right)dx} = \int_0^k {\frac{{(x{e^x} + 1)'}}{{x{e^x} + 1}}dx - \int_0^k {dx} } = \ln (k{e^k} + 1) - k$

$\displaystyle \ln (k{e^k} + 1) - k = 1 \Leftrightarrow {e^{k + 1}} = k{e^k} + 1.$ Η συνάρτηση $\displaystyle f(k) = {e^{k + 1}} - k{e^k} - 1$ είναι συνεχής και

$\displaystyle f(0)f(e) = (e - 1)( - 1) < 0,$ οπότε υπάρχει $\displaystyle k \in (0,e)$ ώστε $\displaystyle \int_0^k {\frac{{{e^x} - 1}}{{x{e^x} + 1}}dx = 1}$

#127

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 03, 2020 7:22 pm
Άσκηση 42

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \left (x+1 - \dfrac{1}{x}\right ) e^ {x+ \frac{1}{x}} \,dx} }$

(Ίσως παιδέψει νεαρούς λύτες, αλλά κατά βάθος είναι στρωτή).
(Η Άσκηση 40 μένει αναπάντητη).

$\displaystyle \int {\left( {x + 1 - \frac{1}{x}} \right)} {e^{x + \frac{1}{x}}}dx = \int {\left[ {{e^{x + \frac{1}{x}}} + \left( {x - \frac{1}{x}} \right){e^{x + \frac{1}{x}}}} \right]} dx = \int {\left( {x'{e^{x + \frac{1}{x}}} + x({e^{x + \frac{1}{x}}})'} \right)dx }$

$\displaystyle \int {\left( {x + 1 - \frac{1}{x}} \right)} {e^{x + \frac{1}{x}}}dx = x{e^{x + \frac{1}{x}}} + c$

#128

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 04, 2020 3:16 pm
Άσκηση 43

Δείξτε ότι υπάρχει θετικός , , τέτοιος ώστε : $\displaystyle \int_{0}^{k}\frac{e^x-1}{xe^x+1}dx=1$

λιγο διαφορετικά
$\displaystyle{f(k)=\int_{0}^{k}{\frac{e^x-1}{xe^x+1}dx}-1}$

$\displaystyle{f(0)=-1<0}$

$\displaystyle{f(e)=\int_{0}^{e}{\frac{e^x-1}{xe^x+1}dx}-1=ln(1+e^{e+1})-(e+1)>e+1-e-1=0}$

από ΘΒ για την συνεχή $\displaystyle{f}$ εχουμε το ζητούμενο

$\displaystyle{\int\frac{e^x-1}{xe^x+1}dx=\int\frac{e^x-1}{y+1}dx=\int\frac{y'-y-1}{y+1}dx=ln(1+y)-x=ln(1+xe^x)-x}$

για την ευρεση της $\displaystyle{f}$

KARKAR · #129

Άσκηση 44

Υπολογίστε ( με ακρίβεια χιλιοστού ! ) το : $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{2\sin2x}{3+\cos2x}dx$

Tolaso J Kos · #130

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 04, 2020 9:16 pm
Άσκηση 44

Υπολογίστε ( με ακρίβεια χιλιοστού ! ) το : $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{2\sin2x}{3+\cos2x}dx$

Με την αλλαγή μεταβλητής $u=\cos 2x$ το ολοκληρώμα υπολογίζεται άμεσα σε $\ln \frac{8}{5}$ το οποίο ισούται περίπου 0.470

.

#131

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 04, 2020 9:16 pm
Άσκηση 44

Υπολογίστε ( με ακρίβεια χιλιοστού ! ) το : $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{2\sin2x}{3+\cos2x}dx$

Ίδιο, αλλά χωρίς αντικατάσταση.

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2\sin 2x}}{{3 + \cos 2x}}dx = - } \int_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{(3 + \cos 2x)'}}{{3 + \cos 2x}}dx = } \left[ { - \ln (3 + \cos 2x)} \right]_0^{\pi /3} = \[\ln \frac{8}{5} \simeq 0,470$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #132

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 05, 2020 8:55 am

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 04, 2020 9:16 pm
Άσκηση 44

Υπολογίστε ( με ακρίβεια χιλιοστού ! ) το : $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{2\sin2x}{3+\cos2x}dx$
Ίδιο, αλλά χωρίς αντικατάσταση.

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2\sin 2x}}{{3 + \cos 2x}}dx = - } \int_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{(3 + \cos 2x)'}}{{3 + \cos 2x}}dx = } \left[ { - \ln (3 + \cos 2x)} \right]_0^{\pi /3} = \[\ln \frac{8}{5} \simeq 0,470$

Καλή Χρονιά Γιώργο
Δεν καταλαβαίνω.
Το ολοκλήρωμα υπολογίσθηκε ακριβώς.
Τι νόημα έχει να το προσεγγίσουμε από ρητό.
Δεν ρώτησε ο Θανάσης να προσεγγισθεί από ρητό με ακρίβεια κλπ

KARKAR · #133

Σταύρο είναι : $\ell n(\dfrac{8}{5})\simeq 0.47000363$ και απλά σκέφτηκα να αξιοποιήσω την "ευκαιρία" .

Έμμεσα είναι μια υπόδειξη προς τον λύτη για έλεγχο του αποτελέσματος . Όλα αυτά δεν αφορούν

την λύση που θα έγραφε ένας μαθητής αλλά ούτε κι εγώ θα έβαζα ποτέ τέτοιο ερώτημα ...

#134

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 04, 2020 9:16 pm
Άσκηση 44

Υπολογίστε ( με ακρίβεια χιλιοστού ! ) το : $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{2\sin2x}{3+\cos2x}dx$

Ας προσθέσω ότι την τεχνική που μας βγάζει τέτοια ολοκληρώματα την σκιαγράφησα στο ποστ #

, παραπάνω, δηλαδή εδώ.

KARKAR · #135

Άσκηση 45

Βρείτε όλους τους μη αρνητικούς αριθμούς

, για τους οποίους

ισχύει : $\displaystyle\int_{0}^{k}\frac{x^2+kx+1}{x^2+2x+1}dx=k$

#136

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 05, 2020 8:59 pm
Άσκηση 45

Βρείτε όλους τους μη αρνητικούς αριθμούς , για τους οποίους

ισχύει : $\displaystyle\int_{0}^{k}\frac{x^2+kx+1}{x^2+2x+1}dx=k$

$\displaystyle k= \int_{0}^{k}\frac{x^2+kx+1}{x^2+2x+1}dx= \int_{0}^{k}\left ( 1+ \frac{(k-2)x}{(x+1)^2}\right ) \dx = k+(k-2) \left ( \ln (k+1)+ \dfrac {1}{k+1}-1\right )$

Άρα $(k-2) \left ( \ln (k+1)+ \dfrac {1}{k+1}-1\right ) =0$ .

Μία λύση η k=2

. Η παράσταση στην μεγάλη παρένθεση είναι γνήσια αύξουσα για $k\ge 0$ (άμεσο με παραγώγιση) και μηδενίζεται (μόνο) στο k=0

.

#137

Άσκηση 46

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{ \displaystyle\int \frac{\cos ( 2018 x)}{\sin ^{2020}x }dx }$

(Πρέπει να φρεσκάρετε τους τύπους ημιτόνου/συνημιτόνου αθροίσματος γωνιών).
(H Άσκηση

μένει αναπάντητη).

Edit: Διόρθωσα το 2018

από

που είχα γράψει. Συγνώμη αν σας ταλαιπώρησα.

#138

Άσκηση 47

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int e^{e^{x^2}+x^2+\ln x }\,dx}$

(H παράσταση $\displaystyle{e^{x^2}+x^2+\ln x}$ είναι όλη εκθέτης στο

. Για να δούμε, ξέρεις πραγματικά τι θα πει ολοκλήρωμα; Αμ παίζουμε. Η άσκηση είναι χαριτωμένη, με λύση της μιάς γραμμής. Απευθύνεται σε εκείνους που ... διασκεδάζουν με τα Μαθηματικά).

mick7 · #139

Αρκεί να παρατηρήσει κανείς ότι

$\displaystyle \left(\frac{de^{e^{x^2}}}{dx}\right)=2(e^{e^{x^2}+x^2+lnx})$

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 06, 2020 12:06 am
Άσκηση 47

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int e^{e^{x^2}+x^2+\ln x }\,dx}$

(H παράσταση $\displaystyle{e^{x^2}+x^2+\ln x}$ είναι όλη εκθέτης στο . Για να δούμε, ξέρεις πραγματικά τι θα πει ολοκλήρωμα; Αμ παίζουμε. Η άσκηση είναι χαριτωμένη, με λύση της μιάς γραμμής. Απευθύνεται σε εκείνους που ... διασκεδάζουν με τα Μαθηματικά).

#140

mick7 έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 06, 2020 2:05 am
Αρκεί να παρατηρήσει κανείς ότι

$\displaystyle \left(\frac{de^{e^{x^2}}}{dx}\right)=2(e^{e^{x^2}+x^2+lnx})$

Σωστά αλλά ας το κάνουμε λίγο πιο λιανιά γιατί μας διαβάζουν μαθητές:

Η παράσταση μέσα στο ολοκλήρωμα γράφεται $\displaystyle{ e^{e^{x^2}}e^{x^2}e^{\ln x }= x e^{x^2} e^{e^{x^2}}}$ το οποίο από τον κανόνα της αλυσίδας (δύο φορές) ισούται $\displaystyle{\dfrac {1}{2}\dfrac{d}{dx} e^{e^{x^2}}}$ . Έχουμε λοιπόν έτοιμη αντιπαράγωγο, και λοιπά.

Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση