Ένα άλυτο πρόβλημα

KARKAR · #1

: Ένα αλυτο πρόβλημα.png (7.84 KiB) Προβλήθηκε 942 φορές

Θεωρώ πολύ πιθανό να σας έχει απασχολήσει κάποια στιγμή , το πρόβλημα της διχοτόμησης του εμβαδού

ενός τεταρτοκυκλικού τομέα με τμήμα παράλληλο προς μία ακτίνα του . Ίσως μάλιστα αναρωτηθήκατε

αν η λύση ( το μήκος του

) , είναι ρητός , άρρητος ή υπερβατικός αριθμός .

Λοιπόν , σας έχω ευχάριστα νέα ! Αποφύγαμε τα χειρότερα ( την υπερβατικότητα ) .

Η λύση ( για r=6

) , είναι ο συμπαθέστατος ( άρρητος δυστυχώς ! ) αριθμός $\sqrt{\dfrac{47}{8}}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 28, 2019 8:48 pm
Ένα αλυτο πρόβλημα.pngΘεωρώ πολύ πιθανό να σας έχει απασχολήσει κάποια στιγμή , το πρόβλημα της διχοτόμησης του εμβαδού

ενός τεταρτοκυκλικού τομέα με τμήμα παράλληλο προς μία ακτίνα του . Ίσως μάλιστα αναρωτηθήκατε

αν η λύση ( το μήκος του ) , είναι ρητός , άρρητος ή υπερβατικός αριθμός .

Λοιπόν , σας έχω ευχάριστα νέα ! Αποφύγαμε τα χειρότερα ( την υπερβατικότητα ) .

Η λύση ( για ) , είναι ο συμπαθέστατος ( άρρητος δυστυχώς ! ) αριθμός $\sqrt{\dfrac{47}{8}}$ .

Το πράσινο εμβαδόν, για $a= \sqrt{\dfrac{47}{8}}$ , είναι $\displaystyle{\int _0^a\sqrt{36-x^2}dx= \frac{1}{2}a\sqrt {36-a^2} + 18\arcsin \frac {a}{6}}$ . Το κομπιουτεράκι δίνει τιμή 14.13718565

. Αν η διχοτόμηση ήταν απολύτως σωστή, θα έπρεπε να ισούται $\frac {1}{8}\pi \cdot 6^2$ , που το κομπιουτεράκι μου δίνει ως 14.13716694

.

Συμπέρασμα: Αξιοζήλευτη ακρίβεια της τάξης του 0.00001871

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Αυτό και αν είναι τερματισμός.
Μάλλον έχουμε ξεφύγει.
Δεν πειράζει κάτι είναι και αυτό.

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 29, 2019 1:45 am
Αυτό και αν είναι τερματισμός.
Μάλλον έχουμε ξεφύγει.
Δεν πειράζει κάτι είναι και αυτό.

Καλημέρα σε όλους. Αναρωτιέμαι τι το παράξενο βλέπει ο Σταύρος ;

: 28-12-2019 Γεωμετρία a.png (30.57 KiB) Προβλήθηκε 803 φορές

Έστω κύκλος (O, r)

και το κυκλικό τμήμα BAC

με επίκεντρη γωνία $\displaystyle \widehat {BOC} = a$ σε ακτίνια, $\displaystyle 0 \le a \le \pi$ .

Οπότε $\displaystyle \left( {BAC} \right) = \frac{{{r^2}\left( {a - \eta \mu a} \right)}}{2}$ .

Έστω $\displaystyle \left( {BAC} \right) = \frac{1}{4}\pi {r^2}$ , οπότε $\displaystyle \frac{{{r^2}\left( {a - \eta \mu a} \right)}}{2} = \frac{{\pi {r^2}}}{4} \Leftrightarrow \eta \mu a = a - \frac{\pi }{2}$ .

Η εξίσωση έχει μία ρίζα στο $\displaystyle \left( {\frac{\pi }{2},\;\pi } \right)$ . Προσεγγιστικά είναι a = 2,30988146

.

Στο

είναι $\displaystyle OK = x = r\sigma \upsilon \nu \frac{a}{2} \Rightarrow \sigma \upsilon {\nu ^2}\frac{a}{2} = \frac{{{x^2}}}{{{r^2}}} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu a = \frac{{2{x^2} - {r^2}}}{{{r^2}}},\;\;0 < x < \frac{r}{2}$ .

Οπότε $\displaystyle x = \frac{{r\sqrt {\sigma \upsilon \nu a + 1} }}{{\sqrt 2 }}$ , περίπου 2,4238365198247035282395302186936

.

Είναι $\displaystyle \sqrt {\frac{{47}}{8}} \cong {\rm{2}}{\rm{,4238399287081645070372202877113}}$ , οπότε η διαφορά τους είναι

0,0000034088834609787976900690177

Συνημμένο το αρχείο των προσεγγιστικών υπολογισμών.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Το παράξενο είναι ότι πάμε προσεγγιστικά.
Μπορούμε να βρούμε και ρητό με καλύτερη προσέγγιση.
Στην απάντηση εδώ είναι διασκεδαστικά Μαθηματικά έχω τα εξής.
Αν κάνοντας διασκεδαστικά Μαθηματικά παραποιούμαι τα κανονικά τότε
μάλλον είμαστε σε λάθος δρόμο.

Ένα άλυτο πρόβλημα

Ένα άλυτο πρόβλημα

Re: Ένα άλυτο πρόβλημα

Re: Ένα άλυτο πρόβλημα

Re: Ένα άλυτο πρόβλημα

Re: Ένα άλυτο πρόβλημα

Μέλη σε σύνδεση