Ύπαρξη συνάρτησης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δείξτε ότι υπάρχει μοναδική συνάρτηση

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

ώστε να ισχύουν

1) f(0)=a> 0

2) $f'(x)+f(x)=\sin f(x)$

κατόπιν βρείτε αν υπάρχουν τα όρια

$\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x),\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)$

μέχρι 10-4-2019

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

επαναφορά για όλους.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Ξεχάσθηκε.
Τελευταία επαναφορά πριν γράψω λύση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Η ύπαρξη της συνάρτησης μπορεί να προκύψει επεκτείνοντας συνέχεια το πεδίο
ορισμού της λύσης.
Δεν ήθελα όμως αυτό.
Η ύπαρξη προκύπτει κάνοντας χρήση του παρακάτω θεωρήματος
η κάποιου παραπλήσιου.

Εστω
$g:(t_{0}-a,t_{0}+a)\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
οπου a>0

συνεχής συνάρτηση με την ιδιότητα
$|g(t,y_{1})-g(t,y_{1})|\leq L|y_{1}-y_{2}|$
Το πρόβλημα

$y'(t)=g(t,y(t)),y(t_{0})=y_{0}$

έχει μοναδική λύση που ορίζεται για όλα τα

στο $(t_{0}-a,t_{0}+a)$ .

Το θεώρημα δεν υπάρχει σε όλα τα βιβλία Διαφορικών εξισώσεων αν και η απόδειξη του
προκύπτει εύκολα από τα θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης που έχουν.
Υπάρχει π.χ στο
Ordinary Differential Equations
Garrett Birkhoff Gian-Carlo Rota
Θεώρημα 6 σελ 152

Εδώ που είναι $g(t,y)=\sin y-y$
εύκολα βλέπουμε ότι πληρούνται οι προυποθέσεις.

Για τα όρια.
Λόγω του θεωρήματος μοναδικότητας δεν μπορεί η

να μηδενίζεται.
Διατηρεί πρόσημο και λόγω της αρχικής συνθήκης και της
$x> 0\Rightarrow \sin x <x$
είναι φθίνουσα.
Το $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)$ υπάρχει στο $\mathbb{R}$
και επειδή θα είναι $\lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)=0$
αναγκαστικά θα είναι

Το $\lim_{x\rightarrow- \infty }f(x)$ υπάρχει.
Αν ανήκει στο $\mathbb{R}$ θα βγεί

που είναι ΑΤΟΠΟ.
Αρα είναι $\infty$

Γ.-Σ. Σμυρλής · #5

Ἰσχύουν τὰ ἀκόλουθα:

1. Ἂν $g: \mathbb R\to\mathbb R$ συνεχῶς διαφορίσιμη, τότε τὸ ΠΑΤ

$\displaystyle{ \qquad x'=g(x), \quad x(0)=a, }$

ἔχει λύση σὲ κάποιο ἀνοικτὸ διάστημα ποὺ περιέχει τὸ 0, καὶ ἀπολαμβάνει καθολικῆς μοναδικότητος. Δηλαδή, δύο ὁποιεσδήποτε λύσεις του ταυτίζονται στὸ κοινὸ πεδίο ὁρισμοῦ τους.

Ἐπίσης, ἡ λύση εἶναι εἴτε σταθερὰ εἴτε γνησίως μονότονη.

2. Ἂν ἐπὶ πλέον ὑπάρχουν A,B>0

, ὥστε

$\displaystyle{ \qquad |g(x)|\le A|x|+B, \quad x\in\mathbb R, }$

τότε τὸ ἀνωτέρω ΠΑΤ ἔχει καθολικὴ λύση $\varphi$ , δηλαδὴ ὁρισμένη σ᾽ ὅλο τὸ $\mathbb R$ .

3. Ἂν g(a)>0

καὶ ὑπάρχουν $x_1,\,x_2$ , ὥστε x_1<a<x_2

, καὶ

, τότε

$\displaystyle{ \qquad x_1<\varphi(t)<x_2, \quad t\in\mathbb R, }$

καὶ

$\displaystyle{ \lim_{t\to-\infty}\varphi(t)=x_1, \quad \lim_{t\to\infty}\varphi(t)=x_2. }$

4. Ἂν g(a)>0

καὶ ὑπάρχει μοναδικὀ x_1

, ὥστε

, καὶ

, τότε

$\displaystyle{ \qquad x_1<\varphi(t), \quad t\in\mathbb R, }$

καὶ

$\displaystyle{ \lim_{t\to-\infty}\varphi(t)=x_1, \quad \lim_{t\to\infty}\varphi(t)=\infty. }$

Ύπαρξη συνάρτησης

Ύπαρξη συνάρτησης

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση