Συναρτησιακή!

JimNt. · #1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:Z^{+} \rightarrow Z^{+}$ ,ώστε xf(x)+f(y)|yf(x)^2+f(y)^2

για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων (x,y)

.

Xriiiiistos · #2

JimNt. έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 19, 2019 11:39 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:Z^{+} \rightarrow Z^{+}$ ,ώστε για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων .

Έχει λάθος
Θα δημιουργήσουμε διαφορά τετραγώνων ώστε να εμφανιστεί το "κάτω" μέλος.

Θέτω όπου y το $g(x)-x^{2}$ με g(x) τέτοιο ώστε να επαληθεύει τους περιοριμούς (θα το διώξουμε μετά όταν φτάσουμε στο σημείο που θα δούμε τη βολεύει). Οπότε

$xf(x)+f(g(x)-x^{2})\mid g(x)f^{2}(x)+(xf(x)+f(g(x)-x^{2}))(-xf(x)+f(g(x)-x^{2}))$

Δηλαδή $xf(x)+f(g(x)-x^{2})\mid g(x)f^{2}(x)$ (a)

Αν στην αρχική βάλουμε όπου y το 1 τότε έχουμε $xf(x)+f(1)\mid f^{2}(x)+f^{2}(1)\mid x^{2}f^{2}(x)+x^{2}f^{2}(1)$ (b)

Θέτω g(x)

το $x^{2}+1$ στην (α) (όταν έλυσα την άσκηση πρώτα έκανα αυτό και μετά το (b))

$xf(x)+f(1)/x^{2}f^{2}(x)+1$ (c)

Aπό την (b) αφαιρώ την (c) και έχουμε $xf(x)+f(1)\mid x^{2}f^{2}(1)-1$ (d) Αυτό ισχύει για κάθε x θετικό ακέραιο

Στην (d) θέτω όπου x το 1 $2f(1)\mid (f(1)-1)(f(1)+1)$ το οποίο ισχύει αν και μόνο αν f(1)=1

(απλή απόδειξη)

η (d) γίνεται $xf(x)+1\mid x^{2}-1$ και τώρα όπου x το 3 έχουμε $3f(3)+1\mid 8$ άτοπο αφού f(3) ακέραιος άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση

miltosk · #3

Η ταυτοτική δεν ικανοποιεί τα δεδομένα της άσκησης;

min## · #4

Έστω ,

άνω φραγμένη.Επειδή είναι κάτω φραγμένη,το xf(x)+f(y)

είναι μη φραγμένο για μεταβλητό

και

σταθερό,ενώ το $yf(x)^{2}+f(y)^{2}$ είναι φραγμένο-άτοπο.
Άρα

μη φραγμένη.
Ισχύει πως $xf(x)+f(y)/xyf(x)^{2}+yf(x)f(y),xf(x)+f(y)/xyf(x)^{2}+xf(y)^{2}$ δηλαδή και xf(x)+f(y)/f(y)(xf(y)-yf(x))

.
Ξανακρατάω σταθερό το

.
Αφού η

είναι μη φραγμένη,είναι απλό πως xf(x)+f(y)> f(y)(xf(y)-yf(x)), xf(x)+f(y)> f(y)(-xf(y)+yf(x))

για μεγάλα

και συνεπώς η διαιρετότητα δεν μπορεί να ισχύει εκτός αν f(x)/x=f(y)/y

.Έτσι,για κάθε

υπάρχει αρκετά μεγάλο

ώστε

οπότε τελικά f(y)=cy

που επαληθεύει.
Αν πρόκειται για ιδιοκατασκευή

JimNt. · #5

Η λύση μου είχε μια πιο αριθμοθεωρητική προσέγγιση, αλλά και η δική σου καλή είναι.

Συναρτησιακή!

Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Μέλη σε σύνδεση