Μεγιστοποίηση πρασίνου

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση πρασίνου.png (74.64 KiB) Προβλήθηκε 580 φορές

Επιλέξτε σημείο

του κύκλου με εξίσωση : x^2+(y-3)^2=9

, τέτοιο ώστε το εμβαδόν

του τριγώνου TOS

να λάβει τη μέγιστη τιμή του και δείξτε ότι : $(TOS)_{max}=6(1+\sqrt{2})$ .

Εννοείται ότι λύση χωρίς χρήση λογισμού ή λογισμικού , λογίζεται ως υπέρτερη

#2

Καλημέρα σε όλους! Θανάση, για κάποιο λόγο έχει στραφεί το σχήμα σου 45 ^0

αριστερά. Το διορθώνω.

: 25-4-2019 Γεωμετρία.png (63.19 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές

Στρέφω δεξιά 45 ^0

το σχήμα. Τότε $\displaystyle S΄\left( {4\sqrt 2 ,0} \right),\;\;K΄\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2},\;\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)$ και $\displaystyle C΄:\;{\left( {x - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 9$ .

Το τρίγωνο T΄OS΄

έχει σταθερή βάση την OS΄

, το

είναι σημείο του κύκλου, Οπότε το μέγιστο εμβαδό προκύπτει για τη μέγιστη τιμή του μήκους T΄M

, όπου

η προβολή του

στην

.

Θέλουμε λοιπόν το υψηλότερο σημείο του κύκλου

.

Ο

τέμνει τον xx΄

στο $\displaystyle N\left( {3\sqrt 2 ,\;0} \right)$ , οπότε το υψηλότερο σημείο του, βρίσκεται στην κατακόρυφη διάμετρό του, άρα έχει τετμημένη $\displaystyle \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$ και τεταγμένη $\displaystyle \frac{{6 + 3\sqrt 2 }}{2}$ , το οποίο είναι και το μέγιστο του T΄M

, οπότε $\displaystyle {\left( {T΄OS΄} \right)_{\max }} = \frac{{\frac{{6 + 3\sqrt 2 }}{2} \cdot 4\sqrt 2 }}{2} = 6\left( {\sqrt 2 + 1} \right)$ .

Αυτό είναι και το μέγιστο του αρχικού, αφού η περιστροφή σχήματος κατά γωνία γύρω από σταθερό σημείο, αφήνει αναλλοίωτο το εμβαδό του.

#3

: Μεγιστοποιήση πρασίνου.png (18.45 KiB) Προβλήθηκε 523 φορές

Αφού η απόσταση $OS = \sqrt {{4^2} + {4^2}} = 4\sqrt 2$ είναι σταθερή , το

θα είναι το σημείο επαφής του κύκλου με την παράλληλη προς την

, εφαπτομένη αυτού .

Αν KA = d

το απόστημα του κέντρου από την

θα είναι

$2{d^2} = {3^2} \Rightarrow 4{d^2} = 2 \cdot {3^2} \Rightarrow \boxed{d = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}$ , οπότε το ύψος TA = 3 + d

και

$\boxed{{{(TOS)}_{\max }} = \frac{1}{2}OS \cdot TA = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt 2 \left( {3 + \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right) = 6(1 + \sqrt 2 )}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 25, 2019 11:43 am
Μεγιστοποίηση πρασίνου.pngΕπιλέξτε σημείο του κύκλου με εξίσωση : , τέτοιο ώστε το εμβαδόν

του τριγώνου να λάβει τη μέγιστη τιμή του και δείξτε ότι : $(TOS)_{max}=6(1+\sqrt{2})$ .

Εννοείται ότι λύση χωρίς χρήση λογισμού ή λογισμικού , λογίζεται ως υπέρτερη

Καλησπέρα σε όλους!

Θέτω $\displaystyle T\left( { - \sqrt {6t - {t^2}} ,t} \right),t > 0$

: Μεγιστοποίηση.png (43.87 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

$\displaystyle (TOS) = \frac{1}{2}|\det (\overrightarrow {OT} ,\overrightarrow {OS} )| = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sqrt {6t - {t^2}} }&t\\ 4&4 \end{array}} \right|| = 2\left| { - \sqrt {6t - {t^2}} - t} \right| = 2\left( {t + \sqrt {6t - {t^2}} } \right)$

Έστω $\displaystyle y = 2\left( {t + \sqrt {6t - {t^2}} } \right) \Leftrightarrow 8{t^2} - 4(y + 6)t + {y^2} = 0$ Για να έχει η δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς

πραγματικές λύσεις θα πρέπει $\displaystyle \Delta \ge 0 \Leftrightarrow {y^2} - 12y - 36 \le 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{y > 0} 0 < y \le 6\left( {\sqrt 2 + 1} \right)$

Άρα, $\boxed{{(TOS)_{\max }} = 6\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}$ για $\boxed{T\left( { - \frac{{3\sqrt 2 }}{2},3 + \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)}$

KARKAR · #5

Εκ παραδρομής η άσκηση τοποθετήθηκε στον φάκελο των juniors αντί των seniors . Ας μετακινηθεί

#6

: Μεγιστοποιήση πρασίνου_ok.png (24.39 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές

Αν

το σημείο τομής της

με την εφαπτομένη του κύκλου στο

και

η προβολή του

στο οριζόντιο άξονα :

Θα είναι $OD = 3 + 3\sqrt 2$

$(TOS) = (DOS) = (DHO) = \dfrac{1}{2}OH \cdot OD = 6(1 + \sqrt 2 )$

Μεγιστοποίηση πρασίνου

Μεγιστοποίηση πρασίνου

Re: Μεγιστοποίηση πρασίνου

Re: Μεγιστοποίηση πρασίνου

Re: Μεγιστοποίηση πρασίνου

Re: Μεγιστοποίηση πρασίνου

Re: Μεγιστοποίηση πρασίνου

Μέλη σε σύνδεση