Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Τρί Απρ 16, 2019 2:53 pm

Υπολογίστε το όριο  \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x-\sin(x)+y}{x^{3}+6y} (αν υπάρχει)

Η απορία μου είναι η εξής.
Είδα μια λύση με πολικές συντεταγμένες
\displaystyle{ \lim_{r\rightarrow 0}\frac{r\cos\theta  - \sin(r\cos\theta) +r\sin\theta}{r^{3}\cos^{3}\theta +6r\sin\theta} } .
Μετά διαίρεσαν αριθμητή παρονομαστή με r και βρήκαν μεμονωμένα τα όρια
\displaystyle{\lim_{r \rightarrow 0}\frac{\cos\theta  }{r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta} = \frac{\cos\theta}{6\sin\theta}}

\displaystyle{ \lim_{r\rightarrow 0}\frac{ - \frac{\sin(r\cos\theta)}{r} }{r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta} }
Για αυτό πήραν \lim_{r\rightarrow 0} - \frac{\sin(r\cos\theta)}{r} , πολλαπλασίασαν αριθμητή παρονομαστή με \cos\theta και έδειξαν ότι \lim_{r\rightarrow 0} - \frac{\sin(r\cos\theta)}{r} = - \cos\theta . Έπειτα πήραν ότι  \lim_{r\rightarrow 0}(r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta) = 6\sin\theta . Άρα  \lim_{r\rightarrow 0}\frac{ - \frac{\sin(r\cos\theta)}{r} }{r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta} = \frac{-\cos\theta}{6\sin\theta}

και \displaystyle{\lim_{r \rightarrow 0}\frac{\sin\theta  }{r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{6\sin\theta}= \frac{1}{6}  }
και από αυτά τα 3 όρια προκύπτει, άμα τα αθροίσουμε, ότι το αρχικό όριο κάνει  \frac{1}{6} .

Εγώ πιστεύω πως δεν είναι σωστή λύση. Ποια είναι η γνώμη σας; Αν υπάρχουν λάθη, μπορείτε να μου δείξετε που; Η διαδικασία που ακολούθησε δεν πιστεύω πως ανταποκρίνεται στις ιδιότητες των ορίων.

Στην προσπάθειά μου να την λύσω έκανα το εξής:
Καθώς  x \rightarrow 0, \sin(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!} + o(x^{5}) και δοκίμασα το μονοπάτι  y=\frac{−x^{3}}{6}+ax^{5}, a\neq 0 .
Το όριο εξαρτιόταν από το a.

Ευχαριστώ!



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8390
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Απρ 16, 2019 3:14 pm

Έχεις απόλυτο δίκαιο ότι η λύση δεν είναι σωστή.

Με τον μετασχηματισμό x=r\cos{\vartheta},y=r\sin{\vartheta} προσεγγίζουμε την αρχή των αξόνων σε ευθείες γραμμές. Όπως βλέπουμε σε αυτό το παράδειγμα, τα όρια σε όλες τις ευθείες γραμμές μπορεί να υπάρχουν και να είναι ίσα, αλλά γενικά το όριο μπορεί να μην υπάρχει.

Ένα άλλο κλασικό παράδειγμα είναι το όριο: \displaystyle  \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}

Σε κάθε ευθεία το όριο ισούται με 0 αλλά στην παραβολή y=x^2 το όριο ισούται με 1/2.


lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Τρί Απρ 16, 2019 4:27 pm

Δηλαδή αν εγώ χρησιμοποιήσω πολικές συντεταγμένες για να βρω ένα όριο και αυτό ισούται με έναν αριθμό, δεν μπορώ να πω ότι το όριο της συνάρτησης είναι ο αριθμός αυτός; Είναι απλά σαν να έχω πάρει μονοπάτια;

Άρα η επίλυση του ορίου είναι σωστή αλλά δεν είναι αρκετή για να δεχτούμε αν το \frac{1}{6} είναι λύση;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3014
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 16, 2019 5:55 pm

lefsk έγραψε:
Τρί Απρ 16, 2019 4:27 pm
Δηλαδή αν εγώ χρησιμοποιήσω πολικές συντεταγμένες για να βρω ένα όριο και αυτό ισούται με έναν αριθμό, δεν μπορώ να πω ότι το όριο της συνάρτησης είναι ο αριθμός αυτός; Είναι απλά σαν να έχω πάρει μονοπάτια;

Άρα η επίλυση του ορίου είναι σωστή αλλά δεν είναι αρκετή για να δεχτούμε αν το \frac{1}{6} είναι λύση;
Δηλαδή αν εγώ χρησιμοποιήσω πολικές συντεταγμένες για να βρω ένα όριο και αυτό ισούται με έναν αριθμό, δεν μπορώ να πω ότι το όριο της συνάρτησης είναι ο αριθμός αυτός;

Δεν μπορείς να πεις τίποτα ως προς την ύπαρξη του ορίου. Μπορεί να υπάρχει μπορεί και όχι. Αν υπάρχει τότε είναι αυτός ο αριθμός

Άρα η επίλυση του ορίου είναι σωστή αλλά δεν είναι αρκετή για να δεχτούμε αν το \frac{1}{6} είναι λύση;

Όχι η επίλυση είναι ΛΑΘΟΣ γιατί το όριο δεν υπάρχει.

Για να δούμε ότι δεν υπάρχει ο απλούστερος τρόπος είναι:

Να πάρουμε το όριο πάνω στην y=x^3 και μετά στην y=0


lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Τρί Απρ 16, 2019 8:26 pm

Δηλαδή τις πολικές τις χρησιμοποιούμε μόνο για να δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει;
Αν π.χ. έχω \displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} } με πολικές θα γίνει  r\cos^{2}\theta \rightarrow 0  , αφού  r\rightarrow 0^{+} και  \cos^{2}\theta φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει 0;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει 0;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3014
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 16, 2019 8:52 pm

lefsk έγραψε:
Τρί Απρ 16, 2019 8:26 pm
Δηλαδή τις πολικές τις χρησιμοποιούμε μόνο για να δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει;
Αν π.χ. έχω \displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} } με πολικές θα γίνει  r\cos^{2}\theta \rightarrow 0  , αφού  r\rightarrow 0^{+} και  \cos^{2}\theta φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει 0;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει 0;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!
Βγάζεις αυθαίρετα συμπεράσματα.
Στο προηγούμενο οι πολικές δεν λένε τίποτα για την ύπαρξη η μη του ορίου
ενω σε αυτό αποδεικνύουν ότι το όριο υπάρχει.
Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις.


lefsk
Δημοσιεύσεις: 131
Εγγραφή: Τετ Μαρ 02, 2016 9:17 pm

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lefsk » Τρί Απρ 16, 2019 9:07 pm

Ναι ναι τα κατάλαβα! Ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σας, καλό βράδυ! :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες