Ακροτατο συναρτησης

μαθητηςθετικης · #1

καλησπερα, εχω μια απορια σε ενα θεμα που τεθηκε απο τον καθηγητη μου.

Εστω μια συναρτηση f ορισμενη στο $\mathbb{R}$ οπου και ειναι συνεχης.
Αν $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)= +\infty$ και $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty$
να δειξετε οτι η συναρτηση παρουσιαζει ολικο ελαχιστο...
Υπαρχει και η πιθανοτητα να μην υφισταται η ασκηση αλλα αν καποιος γνωριζει ας μου απαντησει.
Ευχαριστω!!

Λάμπρος Κατσάπας · #2

μαθητηςθετικης έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 25, 2019 5:23 pm
καλησπερα, εχω μια απορια σε ενα θεμα που τεθηκε απο τον καθηγητη μου.

Εστω μια συναρτηση f ορισμενη στο $\mathbb{R}$ οπου και ειναι συνεχης.
Αν $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)= +\infty$ και $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty$
να δειξετε οτι η συναρτηση παρουσιαζει ολικο ελαχιστο...
Υπαρχει και η πιθανοτητα να μην υφισταται η ασκηση αλλα αν καποιος γνωριζει ας μου απαντησει.
Ευχαριστω!!

Είναι σωστή η άσκηση.

Υπόδειξη: Φτιάξε σχήμα. Φέρε μια οριζόντια ευθεία να τέμνει τη γραφική παράσταση.

Οι τετμημένες των σημείων τομής διαμερίζουν το

σε τρία διαστήματα. Συνέχισε μόνος σου.

Γράψε τη λύση σου εδώ και αν συναντήσεις κάπου δυσκολία ξαναρώτα.

Προσπάθησέ την όμως αρκετά πριν ξαναρωτήσεις.

#3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 25, 2019 5:33 pm

Γράψε τη λύση σου εδώ

Εννοείται, με σωστά Ελληνικά. Συγκεκριμένα με τονισμό στις λέξεις.

Ευκαιρία να σε βοηθήσουμε τόσο στα Μαθηματικά, αλλά άλλο τόσο στην σωστή γραφή, που θα σου είναι απαραίτητο εφόδιο αύριο στην ζωή.

#4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 25, 2019 5:33 pm
Γράψε τη λύση σου εδώ και αν συναντήσεις κάπου δυσκολία ξαναρώτα.

μαθητηςθετικης χάθηκες. Καμιά πρόοδος εδώ;

μαθητηςθετικης · #5

καλησπερα, ασχοληθηκα περισσοτερο με την εν λογω ασκηση και μαλλον δεν γινεται με βεβαιοτητα να σχεδιασουμε την γραφικη παρασταση της συναρτησης οπως εσεις μου προτεινατε. σκεφτηκα το εξης:
Εστω οτι η συναρτηση δεν παρουσιαζει ελαχιστο στο ( $-\infty$ , $+\infty$ )
Τοτε θα ισχυει $\forall x_{0}\in (-\infty ,+\infty ) \lim_{x\to x_{0}}f(x)=+\infty$ ατοπο

αφου η f ειναι συνεχης και λογω συνεχειας θα ειναι : $\forall x_{0}\ni \left ( -\infty ,+\infty \right ): \lim_{x_{0}\to +\infty}f(x)= f(x_{0}) < +\infty$
Αρα η f παρουσιαζει ελαχιστο δηλάδη $\exists x_{M}\in \left ( -\infty ,+\infty \right )$ τετοιο ωστε :
$f(x_{M})\leq f(x)$ για καθε x

#6

Βάλε τονισμό στις λέξεις όπως απαιτούν τα σωστά ελληνικά (και οι κανονισμοί μας) και θα σου απαντήσω.

Αν ο ίδιος αγνοείς αυτά που σου γράφουμε, μην περιμένεις πολλά από εμάς. Όπως έγραφα παραπάνω:

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 25, 2019 8:01 pm

Εννοείται, με σωστά Ελληνικά. Συγκεκριμένα με τονισμό στις λέξεις.

Ευκαιρία να σε βοηθήσουμε τόσο στα Μαθηματικά, αλλά άλλο τόσο στην σωστή γραφή, που θα σου είναι απαραίτητο εφόδιο αύριο στην ζωή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Για να κλείνει θα γράψω δύο λύσεις.
Κατά την γνώμη μου ακατάλληλη άσκηση για την πλειονότητα των μαθητών της Γ λυκείου.

1 Λύση.(εκτός σχολικής ύλης αλλά φυσιολογική)

Θεωρούμε το f(0)

Από τον ορισμό του ορίου υπάρχει $x_{1}> 0$

ώστε $x> x_{1}\Rightarrow f(x)> f(0)$

όμοια υπάρχει $x_{2}< 0$

ώστε $x< x_{2}\Rightarrow f(x)> f(0)$

Στο $[x_{2},x_{1}]$ η

είναι συνεχής.

Αρα υπάρχει $x_{0}\in [x_{2},x_{1}]$

με $x\in [x_{2},x_{1}]\Rightarrow f(x)\geq f(x_{0})$

Επειδή $x_{2}<0<x_{1}$ και $f(x_{0})\leq f(0)$

προκύπτει ότι $x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)\geq f(x_{0})$

2 Λύση (στην ύλη του λυκείου) αλλά με ακροβατικό.

θεωρούμε την $\displaystyle g(x)=e^{-f(\tan x)}$

$\displaystyle g:(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\rightarrow \mathbb{R}$

είναι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\frac{\pi }{2}}g(x)=0$

και $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}g(x)=0$

αν θέσουμε $g(\frac{\pi }{2})=0=g(-\frac{\pi }{2})$

τότε η $\displaystyle g:[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\rightarrow \mathbb{R}$

είναι συνεχής οπότε παίρνει μέγιστη τιμή.

Δηλαδή υπάρχει $c\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

με $g(x)\leq g(c)$

Αρα για $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\Rightarrow f(\tan x)\geq f(\tan c)$

θέτοντας $x_{0}=\tan c$

έχουμε $t\in \mathbb{R}\Rightarrow t=\tan x,x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\Rightarrow f(t)\geq f(x_{0})$

που είναι το ζητούμενο.

μαθητηςθετικης · #8

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τις απαντήσεις σας. Κάτι τελευταίο. Όσοι μου απάντησαν είναι διορθωτές στις πανελλήνιες? Αν επιθυμείτε απαντάτε

Ορέστης Λιγνός · #9

μαθητηςθετικης έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 25, 2019 5:23 pm
καλησπερα, εχω μια απορια σε ενα θεμα που τεθηκε απο τον καθηγητη μου.

Εστω μια συναρτηση f ορισμενη στο $\mathbb{R}$ οπου και ειναι συνεχης.
Αν $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)= +\infty$ και $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty$
να δειξετε οτι η συναρτηση παρουσιαζει ολικο ελαχιστο...
Υπαρχει και η πιθανοτητα να μην υφισταται η ασκηση αλλα αν καποιος γνωριζει ας μου απαντησει.
Ευχαριστω!!

Καλησπέρα σε όλους.

Θα ήθελα να μου απαντήσετε αν είναι σωστός ο συλλογισμός μου.

Το σύνολο τιμών R_f

της συνάρτησης, μπορεί να έχει δύο μορφές : είτε $(-\infty,+\infty)$ είτε $[k,+\infty)$ , για κάποιο $k \in \mathbb{R}$ .

Αν το R_f

είναι το $\mathbb{R}$ , τότε υπάρχει $\xi$ , έτσι ώστε για κάθε $x< \xi$ , να ισχύει f(x)<0

.
Αυτό όμως είναι προφανώς άτοπο, γιατί έχουμε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty$ .

Συνεπώς, το R_f

είναι της μορφής $[k,+\infty)$ , $k \in \mathbb{R}$ , οπότε η συνάρτηση έχει ολικό ελάχιστο.

Η συνάρτηση επομένως θα έχει τη μορφή αυτή :

: orestis.png (7.37 KiB) Προβλήθηκε 2732 φορές

Λάμπρος Κατσάπας · #10

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 06, 2019 11:11 pm

μαθητηςθετικης έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 25, 2019 5:23 pm
καλησπερα, εχω μια απορια σε ενα θεμα που τεθηκε απο τον καθηγητη μου.

Εστω μια συναρτηση f ορισμενη στο $\mathbb{R}$ οπου και ειναι συνεχης.
Αν $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)= +\infty$ και $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty$
να δειξετε οτι η συναρτηση παρουσιαζει ολικο ελαχιστο...
Υπαρχει και η πιθανοτητα να μην υφισταται η ασκηση αλλα αν καποιος γνωριζει ας μου απαντησει.
Ευχαριστω!!
Αν το είναι το $\mathbb{R}$ , τότε υπάρχει $\xi$ , έτσι ώστε για κάθε $x< \xi$ , να ισχύει .

Γεια χαρά Ορέστη. Για δες την $x^2\sin x$ και μετά δες αυτό που κράτησα από αυτό που έγραψες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 06, 2019 11:11 pm

μαθητηςθετικης έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 25, 2019 5:23 pm
καλησπερα, εχω μια απορια σε ενα θεμα που τεθηκε απο τον καθηγητη μου.

Εστω μια συναρτηση f ορισμενη στο $\mathbb{R}$ οπου και ειναι συνεχης.
Αν $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)= +\infty$ και $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty$
να δειξετε οτι η συναρτηση παρουσιαζει ολικο ελαχιστο...
Υπαρχει και η πιθανοτητα να μην υφισταται η ασκηση αλλα αν καποιος γνωριζει ας μου απαντησει.
Ευχαριστω!!
Καλησπέρα σε όλους.

Θα ήθελα να μου απαντήσετε αν είναι σωστός ο συλλογισμός μου.

Το σύνολο τιμών της συνάρτησης, μπορεί να έχει δύο μορφές : είτε $(-\infty,+\infty)$ είτε $[k,+\infty)$ , για κάποιο $k \in \mathbb{R}$ .

Αν το είναι το $\mathbb{R}$ , τότε υπάρχει $\xi$ , έτσι ώστε για κάθε $x< \xi$ , να ισχύει .
Αυτό όμως είναι προφανώς άτοπο, γιατί έχουμε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty$ .

Συνεπώς, το είναι της μορφής $[k,+\infty)$ , $k \in \mathbb{R}$ , οπότε η συνάρτηση έχει ολικό ελάχιστο.

Η συνάρτηση επομένως θα έχει τη μορφή αυτή :

orestis.png

γεια σου Ορέστη.
Ο συλλογισμός δεν είναι σωστός.

Είναι γνωστό (οχι σχολικό ) ότι αν
$f:I\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής με

διάστημα τότε το f(I)

είναι διάστημα.

το μόνο συμπέρασμα εδώ είναι ότι το R_f

είναι διάστημα.
Λόγω των ορίων μπορούμε να πούμε ότι είναι μη πεπερασμένο διάστημα.
Τίποτα παραπάνω.

Οτιδήποτε άλλο θέλει απόδειξη.
Εδω να σημειώσω ότι παρόμοιες ασκήσεις υπάρχουν στις σημειώσεις Απειροστικού του
Γιαννόπουλου.Πιστεύω θα έχει και ο Παπαδημητράκης.

Λάμπρος Κατσάπας · #12

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 06, 2019 11:11 pm

μαθητηςθετικης έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 25, 2019 5:23 pm
καλησπερα, εχω μια απορια σε ενα θεμα που τεθηκε απο τον καθηγητη μου.

Εστω μια συναρτηση f ορισμενη στο $\mathbb{R}$ οπου και ειναι συνεχης.
Αν $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)= +\infty$ και $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty$
να δειξετε οτι η συναρτηση παρουσιαζει ολικο ελαχιστο...
Υπαρχει και η πιθανοτητα να μην υφισταται η ασκηση αλλα αν καποιος γνωριζει ας μου απαντησει.
Ευχαριστω!!
Καλησπέρα σε όλους.

Θα ήθελα να μου απαντήσετε αν είναι σωστός ο συλλογισμός μου.

Το σύνολο τιμών της συνάρτησης, μπορεί να έχει δύο μορφές : είτε $(-\infty,+\infty)$ είτε $[k,+\infty)$ , για κάποιο $k \in \mathbb{R}$ .

Αν το είναι το $\mathbb{R}$ , τότε υπάρχει $\xi$ , έτσι ώστε για κάθε $x< \xi$ , να ισχύει .
Αυτό όμως είναι προφανώς άτοπο, γιατί έχουμε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=+\infty$ .

Συνεπώς, το είναι της μορφής $[k,+\infty)$ , $k \in \mathbb{R}$ , οπότε η συνάρτηση έχει ολικό ελάχιστο.

Η συνάρτηση επομένως θα έχει τη μορφή αυτή :

orestis.png

Ορέστη σου γράφω μια λύση βασισμένη στο σκεπτικό σου, δηλαδή ότι η εικόνα διαστήματος μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης

είναι διάστημα (συμπεριλαμβάνω και τα μονοσύνολα στα διαστήματα στη περίπτωση που η συνάρτηση είναι σταθερή). Η

λύση όμως είναι εντελώς εκτός ύλης. Ξέρουμε ότι f(R)

είναι διάστημα. Αναγκαστικά από δεξιά θα έχουμε

$+\infty )$ αφού και τα δύο όρια είναι $+\infty .$

Τώρα το αριστερό άκρο θα είναι $(-\infty$ ή

ή

Περίπτωση 1: αριστερό άκρο $(-\infty$

Θα υπάρχει ακολουθία (a_n)

ώστε $f(a_n)\rightarrow -\infty$ . Αν (a_n)

φραγμένη τότε θα

έχει συγκλίνουσα υπακολουθία $(a_{k_{n}})$ με $a_{k_{n}}\rightarrow l \in R$ οπότε από συνέχεια

$f(l)=-\infty$ (άτοπο). Αν η (a_n)

είναι μη φραγμένη τότε θα έχει υπακολουθία $(a_{m_{n}})$ που τείνει στο $-\infty$ ή στο $+\infty$ ώστε $f(a_{m_{n}})\rightarrow -\infty$ .

Από την άλλη όμως $f(a_{m_{n}})\rightarrow +\infty$ από τα δοσμένα όρια (άτοπο).

Περίπτωση 2: αριστερό άκρο

Το

είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου τιμών και επομένως υπάρχει ακολουθία (a_n)

ώστε

$f(a_n)\rightarrow k$ . Η απόδειξη είναι ακριβώς όμοια όπως στην περίπτωση 1.

Τελικά μια περίπτωση μας έμεινε να ισχύει, η $f(R)=[k,+\infty )$ .

Γιώργος Μήτσιος · #13

Καλημέρα σε όλους. Ας διατυπώσω τη γνώμη μου με αφετηρία-αφορμή τον συλλογισμό του αγαπητού Ορέστη .

Η συνάρτηση

είναι συνεχής στο

και προφανώς μη σταθερή, άρα το σύνολο τιμών της είναι διάστημα με κάποια από τις μορφές:

α) $R_{f}=\left ( -\infty , +\infty \right )$ ή β) $R_{f}=\left (k, +\infty \right )..k \in R$ ή γ) $R_{f}=\left [ k , +\infty \right )..k \in R$ . Ας αποκλείσουμε τις δύο πρώτες.

Για την α) πρέπει να υπάρχει $x_{1}\in D_{f}$ ώστε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{1} }f(x)=-\infty.$ ΑΤΟΠΟ αφού $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{1} }f(x)=f(x_{1} ) \in R$

και για την β) πρέπει να υπάρχει $x_{2}\in D_{f}$ ώστε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{2} }f(x)=k$ αλλά το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{2} }f(x)=f(x_{2}) \in R_{f}$ δηλ $k \in R_{f}$

άρα μας μένει $R_{f}=\left [ k , +\infty \right )..k \in R$ με το

ολικό ελάχιστο της

.
Φιλικά, Γιώργος.

Λάμπρος Κατσάπας · #14

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2019 12:58 am
Καλημέρα σε όλους. Ας διατυπώσω τη γνώμη μου με αφετηρία-αφορμή τον συλλογισμό του αγαπητού Ορέστη .

Η συνάρτηση είναι συνεχής στο και προφανώς μη σταθερή, άρα το σύνολο τιμών της είναι διάστημα με κάποια από τις μορφές:

α) $R_{f}=\left ( -\infty , +\infty \right )$ ή β) $R_{f}=\left (k, +\infty \right )..k \in R$ ή γ) $R_{f}=\left [ k , +\infty \right )..k \in R$ . Ας αποκλείσουμε τις δύο πρώτες.

Για την α) πρέπει να υπάρχει $x_{1}\in D_{f}$ ώστε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{1} }f(x)=-\infty.$ ΑΤΟΠΟ αφού $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{1} }f(x)=f(x_{1} ) \in R$

και για την β) πρέπει να υπάρχει $x_{2}\in D_{f}$ ώστε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{2} }f(x)=k$ αλλά το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{2} }f(x)=f(x_{2}) \in R_{f}$ δηλ $k \in R_{f}$

άρα μας μένει $R_{f}=\left [ k , +\infty \right )..k \in R$ με το ολικό ελάχιστο της .
Φιλικά, Γιώργος.

Καλημέρα κ. Μήτσιο. Δείτε το παράδειγμα συνάρτησης που έδωσα παραπάνω στον Ορέστη. Τα επιχειρήματα που χρησιμοποιείται στη λύση δεν είναι σωστά. Για παράδειγμα η συνάρτηση που ανέφερα έχει σύνολο τιμών τους πραγματικούς αλλά δεν υπάρχει x_1

ωστε το όριο να είναι $-\infty$ . Ούτε στα όρια στο +- άπειρο συμβαίνει αυτό, αφού αυτά δεν υπάρχουν. Νομίζω τις ακολουθίες δεν μπορούμε να τις αποφύγουμε εδώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #15

μαθητηςθετικης έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 06, 2019 10:53 pm
Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τις απαντήσεις σας. Κάτι τελευταίο. Όσοι μου απάντησαν είναι διορθωτές στις πανελλήνιες? Αν επιθυμείτε απαντάτε

Από όσο γνωρίζω κανένας δεν είναι διορθωτής εκτός ίσως του Γιώργου Μήτσιου.

#16

Η απόδειξη που δίνω μοιάζει με του Σταύρου

Αφου $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty}$ υπαρχει $\displaystyle{x_1>0:f(x)\ge f(x_1),\forall x>x_1}$

ανιστοιχα υπαρχει $\displaystyle{x_2<0:f(x)\ge f(x_2),\forall x<x_2}$

εστω $\displaystyle{f(x_3)}$ το ΜΙΝ της συνεχούς $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{[x_2,x_1]}$

Αν $\displaystyle{f(x_0)}$ ο μικρότερος από τα $\displaystyle{f(x_1),f(x_2),f(x_3),}$ τότε $\displaystyle{f(x)\ge f(x_0),x\in R}$

Γιώργος Μήτσιος · #17

Καλημέρα σε όλους.

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2019 2:11 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 07, 2019 12:58 am
Καλημέρα σε όλους. Ας διατυπώσω τη γνώμη μου με αφετηρία-αφορμή τον συλλογισμό του αγαπητού Ορέστη .

Η συνάρτηση είναι συνεχής στο και προφανώς μη σταθερή, άρα το σύνολο τιμών της είναι διάστημα με κάποια από τις μορφές:

α) $R_{f}=\left ( -\infty , +\infty \right )$ ή β) $R_{f}=\left (k, +\infty \right )..k \in R$ ή γ) $R_{f}=\left [ k , +\infty \right )..k \in R$ . Ας αποκλείσουμε τις δύο πρώτες.

Για την α) πρέπει να υπάρχει $x_{1}\in D_{f}$ ώστε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{1} }f(x)=-\infty.$ ΑΤΟΠΟ αφού $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{1} }f(x)=f(x_{1} ) \in R$

και για την β) πρέπει να υπάρχει $x_{2}\in D_{f}$ ώστε $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{2} }f(x)=k$ αλλά το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{2} }f(x)=f(x_{2}) \in R_{f}$ δηλ $k \in R_{f}$
άρα μας μένει $R_{f}=\left [ k , +\infty \right )..k \in R$ με το ολικό ελάχιστο της .
Φιλικά, Γιώργος.
Καλημέρα κ. Μήτσιο. Δείτε το παράδειγμα συνάρτησης που έδωσα παραπάνω στον Ορέστη. Τα επιχειρήματα που χρησιμοποιείται στη λύση δεν είναι σωστά. Για παράδειγμα η συνάρτηση που ανέφερα έχει σύνολο τιμών τους πραγματικούς αλλά δεν υπάρχει ωστε το όριο να είναι $-\infty$ . Ούτε στα όρια στο +- άπειρο συμβαίνει αυτό, αφού αυτά δεν υπάρχουν. Νομίζω τις ακολουθίες δεν μπορούμε να τις αποφύγουμε εδώ.

Πράγματι συνάδελφε Λάμπρο η συνάρτηση $x^{2}sinx$ έχει σύνολο τιμών τους πραγματικούς και δεν έχει όριο το $-\infty$ σε κανένα x_1

..

Όμως τα επιχειρήματα που γράφω αφορούν διαφορετικές συναρτήσεις , όσες έχουν $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{f(x)}=+\infty}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}{f(x)}=+\infty}$ .

Για την $x^{2}sinx$ , όπως γράφεις δεν υπάρχουν όρια όταν $x\rightarrow \pm \infty$ (ανεβοκατεβαίνει-σχεδόν παλλινδρομεί- διαρκώς με όλο και μεγαλύτερο εύρος)
άρα ως παράδειγμα δεν αναιρεί από μόνο του (ούτε θα επιβεβαίωνε ) την ορθότητα των εν λόγω επιχειρημάτων αφού δεν ικανοποιεί την αρχική υπόθεση.

Για κάθε συνάρτηση

λοιπόν που στα άκρα η γραφική παράσταση '' βρίσκεται ανεπιστρεπτί όλο και πιο ψηλά" θεωρώ (πάντοτε με την επιφύλαξη για λάθος στο σκεπτικό)
ότι για να εμφανιστεί το $-\infty$ ως άκρο στο σύνολο τιμών της πρέπει να υπάρχει $x_{1}\in D_{f}$ ώστε τουλάχιστον ένα πλευρικό όριό της να είναι το $-\infty$ .

Η συνάρτηση όμως είναι συνεχής άρα το πλευρικό ισούται με το ..αμφίπλευρο και ίσο βεβαίως με την τιμή της

στο $x_{1}$
δηλ. πρέπει $f\left (x_{1} \right )=\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_{1} }f(x)=-\infty$ , προφανώς άτοπο..

Ας δούμε για την συνάρτηση $f(x)=x^{2}sinx$ που ανέφερε ο Λάμπρος κάτι ακόμη που μου τράβηξε το ενδιαφέρον:
Αν δει κανείς τη γρ. παράσταση καθώς το

οδηγείται στα άκρα έχει την εντύπωση
πως βλέπει σχεδόν κατακόρυφες ευθείες όλο και πιο πυκνές που ''κρύβουν'' όλο και πιο πολύ το καρτεσιανό επίπεδο!Γεννήθηκε λοιπόν το ερώτημα
Αν επιλεγεί ,όχι από μας αλλά τυχαία σημείο του επιπέδου
ποια είναι πιθανότητα να ανήκει στη γρ. παράσταση της εν λόγω συνάρτησης; Κατά την γνώμη μου

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Φιλικά, Γιώργος.

Ακροτατο συναρτησης

Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Re: Ακροτατο συναρτησης

Μέλη σε σύνδεση