Ένα ελάχιστο και ένα μέγιστο

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{e^x-1}{xe^x+1}$

α) Δείξτε ότι το πεδίο ορισμού της

είναι ολόκληρο το $\mathbb{R}$ .

β) Δείξτε ότι η

έχει δύο ακριβώς ακρότατα , ένα ελάχιστο και ένα μέγιστο .

γ) Δείξτε ότι η συνάρτηση : $F(x)=\ell n(x+e^{-x})$ είναι μία παράγουσα της

και ότι : $\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx<0$ .

Ερώτημα εκτός άσκησης : Βρίσκεται με σχολικό τρόπο η παραπάνω παράγουσα ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 02, 2019 1:38 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{e^x-1}{xe^x+1}$

α) Δείξτε ότι το πεδίο ορισμού της είναι ολόκληρο το $\mathbb{R}$ .

β) Δείξτε ότι η έχει δύο ακριβώς ακρότατα , ένα ελάχιστο και ένα μέγιστο .

γ) Δείξτε ότι η συνάρτηση : $F(x)=\ell n(x+e^{-x})$ είναι μία παράγουσα της

και ότι : $\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx<0$ .

Ερώτημα εκτός άσκησης : Βρίσκεται με σχολικό τρόπο η παραπάνω παράγουσα ;

Το παρακάτω είναι ΛΑΘΟΣ

Φυσικά και η $F(x)=\ell n(x+e^{-x})$ δεν είναι παράγουσα της

αφού από ότι

λέει το α) η

έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$

ενώ

η σχέση είναι ΛΑΘΟΣ

$F(-5)=\ell n(-5+e^{-5})=\ln (5-e^{-5})+(2k+1)\pi i$

Για το ερώτημα αρκεί να παρατηρήσουμε ότι

$\dfrac{e^x-1}{xe^x+1}=\dfrac{-e^{-x}+1}{x+e^{-x}}=\dfrac{(x+e^{-x})'}{x+e^{-x}}$

Βέβαια αν αυτός είναι σχολικός τρόπος τότε ............................

Συμπλήρωμα.Κάνοντας ένα λαθάκι οδηγήθηκα σε λάθος συμπέρασμα.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 02, 2019 3:15 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 02, 2019 1:38 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{e^x-1}{xe^x+1}$

α) Δείξτε ότι το πεδίο ορισμού της είναι ολόκληρο το $\mathbb{R}$ .

β) Δείξτε ότι η έχει δύο ακριβώς ακρότατα , ένα ελάχιστο και ένα μέγιστο .

γ) Δείξτε ότι η συνάρτηση : $F(x)=\ell n(x+e^{-x})$ είναι μία παράγουσα της

και ότι : $\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)dx<0$ .

Ερώτημα εκτός άσκησης : Βρίσκεται με σχολικό τρόπο η παραπάνω παράγουσα ;
Φυσικά και η $F(x)=\ell n(x+e^{-x})$ δεν είναι παράγουσα της αφού από ότι

λέει το α) η έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$

ενώ $F(-5)=\ell n(-5+e^{-5})=\ln (5-e^{-5})+(2k+1)\pi i$

Ένα λαθάκι στην αντικατάσταση. $\displaystyle F( - 5) = \ln ( - 5 + {e^5})$

#4

Μια απάντηση στα (α) , (β)

α) $\displaystyle {{e}^{-x}}\ge -x+1>-x\Rightarrow 1>-x{{e}^{x}}\Rightarrow 1+x{{e}^{x}}>0$

β) Είναι : $\displaystyle {f}'(x)=\frac{{{e}^{x}}(x+2-{{e}^{x}})}{{{(x{{e}^{x}}+1)}^{2}}},x\in R$ . Έστω $\displaystyle t(x)=x+2-{{e}^{x}},x\in R$
Επειδή $\displaystyle t(-2)=-{{e}^{-2}}<0,t(0)=1>0,t(3)=5-{{e}^{3}}<5-{{2}^{3}}=-3<0$ ,
από θ. Bolzano έχει τουλάχιστον δυο ρίζες $\displaystyle {x_1} \in ( - 2,0),{x_2} \in (0,3)$
Επιπλέον $\displaystyle {t}'(x)=1-{{e}^{x}}$ και $\displaystyle {t}'(x)>0$ αν $\displaystyle x<0$ ενώ $\displaystyle {t}'(x)<0$ αν $\displaystyle x>0$ οπότε η $\displaystyle t$ είναι γνησίως μονότονη
στα διαστήματα $\displaystyle [0,+\infty )$ , $\displaystyle (-\infty ,0]$ , άρα οι ρίζες είναι δυο ακριβώς .
Συγχρόνως η $\displaystyle {t}'$ άρα και η $\displaystyle {f}'$ αλλάζει πρόσημο στα $\displaystyle {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ , άρα είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων .

Ένα ελάχιστο και ένα μέγιστο

Ένα ελάχιστο και ένα μέγιστο

Re: Ένα ελάχιστο και ένα μέγιστο

Re: Ένα ελάχιστο και ένα μέγιστο

Re: Ένα ελάχιστο και ένα μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση