Κατασκευή, λόγος και γωνία

#1

: Κατασκευή, λόγος και γωνία.png (10.72 KiB) Προβλήθηκε 803 φορές

Δίνεται τετράγωνο ABCD

και το ημικύκλιο διαμέτρου

εντός του τετραγώνου.

α) Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται της

στο

και εξωτερικά στο ημικύκλιο.

β) Αν

είναι το σημείο επαφής του ημικυκλίου με τον κύκλο, να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{MB}}{{MD}}$ και το μέτρο της γωνίας $B\widehat MD.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

α)
Τα σημεία O,M,K

είναι συνευθειακά και $r=\dfrac{a-x}{2}$

$\left\{\begin{matrix} & OK=r+\dfrac{a}{2}=\dfrac{a-x}{2}+\dfrac{a}{2}=a-\dfrac{x}{2} & \\\\ & OK^{2}=\dfrac{a^{2}}{4}+\left ( \dfrac{a-x}{2}+x \right )^{2} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 4a^2-4ax+x^2=2a^{2}+2ax+x^2\Leftrightarrow a=3x\Leftrightarrow ...OD=\dfrac{1}{3}a$

Πρέπει το κέντρο του ζητούμενου κύκλου να ανήκει στη

(προφανώς),να απέχει από το

απόσταση $\dfrac{1}{3}a$ και να έχει ακτίνα πάλι $\dfrac{1}{3}a$ .

β)
Nόμος συνημιτόνων στο MKB

.

$MB^2=\left ( \dfrac{a}{2} \right )^{2}+\left ( \dfrac{a}{2} \right )^{2}+2\cdot \cos \theta \cdot\dfrac{a^{2}}{4}=\dfrac{a^{2}}{2}+ \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{3}+\dfrac{a}{2}}\cdot \dfrac{a^2}{2}=\dfrac{a^{2}}{2}\cdot \left ( \dfrac{3}{5}+1 \right )=\dfrac{a^{2}}{2}\cdot\dfrac{8}{5}=\dfrac{4a^2}{5}$

Nόμος συνημιτόνων στο ODM

.

$DM^2=\left ( \dfrac{a}{3} \right )^{2}+\left ( \dfrac{a}{3} \right )^{2}+2\cdot \cos \varphi \cdot \dfrac{a^{2}}{9}=\dfrac{2a^{2}}{9}\left ( 1+\dfrac{\dfrac{2}{3}a}{\dfrac{5}{6}a} \right )=\dfrac{2a^2}{9}\cdot \dfrac{9}{5}=\dfrac{2a^{2}}{5}$

Από τα παραπάνω έχουμε

$\left (\dfrac{BM}{DM} \right )^2=\dfrac{BM^2}{DM^2}=\dfrac{\dfrac{4}{5}a^{2}}{\dfrac{2}{5}a^{2}}=\dfrac{20}{10}\Leftrightarrow \dfrac{BM}{DM}=\sqrt2$

Με νόμο συνημιτόνων στα ίδια τρίγωνα υπολογίζουμε τα $\cos \widehat{KMB},\cos\widehat{OMD}$ .Έτσι βρίσκουμε ότι $\widehat{DMB}=135^{\circ}$

#3

Ο ομόκεντρος, κέντρου

, του ζητουμένου κύκλου που θα διέρχεται από το κέντρο

του ημικυκλίου θα διέρχεται και από άλλα δύο σταθερά σημεία :

Το

συμμετρικό του

ως προς το

και το

στη προέκταση του

με $DE = a\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\boxed{2a = AB}$ .

Κατασκευή

Γράφω το κύκλο (L,E,Z)

και βρίσκω το κέντρο του

: κατασκευή λόγος γωνία.png (32.33 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

Επειδή από το

άγονται ίσες εφαπτόμενες μήκους

προς τους κύκλους το

ανήκει στο ριζικό τους άξονα δηλαδή τη κοινή τους εφαπτομένη στο

.

Αν

το μέσο του

και

το τετράπλευρο KNZC

είναι εγγράψιμο και άρα :

$EK \cdot EC = EN \cdot EZ \Rightarrow (a + x)3a = \dfrac{1}{2}a\sqrt {10} \cdot a\sqrt {10} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{2a}}{3}}$ . Έτσι:

$\boxed{\dfrac{{MB}}{{MD}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}MB}}{{\dfrac{1}{2}MD}} = \dfrac{{BS}}{{DT}} = \dfrac{{\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}}}{{\dfrac{{2a}}{{\sqrt {10} }}}} = \sqrt 2 }$ και $\widehat \theta + 45^\circ = 180^\circ \Rightarrow \widehat \theta = 135^\circ$ .

Τα $DT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BS$ είναι ύψη ορθογωνίων τριγώνων με κάθετες πλευρές :

$\left\{ \begin{gathered} 2a\,,\,\,\,a \hfill \\ 2a\,\,,\,\,\frac{{2a}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Και με βάση τα εμβαδά τους προκύπτουν εύκολα τα ύψη τους $BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT$ .

Altrian · #4

Η γωνία:
$\large O,M,K$ συνευθειακά. $\large 2u+2f=90\Rightarrow u+f=45\Rightarrow \angle DMB=135$

Η κατασκευή:
$\large \angle BPD+\angle DMB=180\Rightarrow PDMB$ εγγράψιμο. Το κέντρο του κύκλου αυτού είναι το σημείο τομής μεσοκαθέτων δύο πλευρών δηλ. το $\large A$ .
Αρα το $\large M=\left ( K,\frac{a}{2} \right ) \cap \left ( A,a \right )$ . To $\large O$ είναι η τομή της μεσοκαθέτου του $\large DM$ με την $\large DC$ .

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

Κατασκευή, λόγος και γωνία

Κατασκευή, λόγος και γωνία

Re: Κατασκευή, λόγος και γωνία

Re: Κατασκευή, λόγος και γωνία

Re: Κατασκευή, λόγος και γωνία

Μέλη σε σύνδεση