Εισαγωγικές Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής Μόσχα 1991

Al.Koutsouridis · #1

Γραπτές εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Mαθηματικών & Κυβερνητικής του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 1991.

1. Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle \sqrt{x-1}+x-3=0$ .

2. Να βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης

$\displaystyle \cot \left ( -\dfrac{3 \pi}{2} +\dfrac{\pi \sqrt{3}}{9} \cos x \right )=- \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ .

3. Να λύσετε την ανίσωση

$\displaystyle 5^{\log_{x} 3} +25^{\log_{x} 3}-6 >0$ .

4. Τρεις κύκλοι με κέντρα τα σημεία A,B

και

ανά δυο εφάπτονται εξωτερικά στα σημεία K,L,

και

. Είναι γνωστό, ότι το μέτρο της γωνίας ABC

είναι ίσο με $\displaystyle 2 \arcsin \left ( \frac{1}{5}\right )$ και το εμβαδόν του τριγώνου ABC

ίσο με $\displaystyle12 \sqrt{6}$ . Να προσδιορίσετε, ποιο είναι το μέγιστο δυνατό μήκος που μπορεί να έχει ο κύκλος, που διέρχεται από τα σημεία K,L

και

.

5. Εξετάστε το αληθές ή ψευδές της ανισότητας $y \leq 6,09$ , όπου

η ελάχιστη, του διαστήματος $\left (0,1 \right )$ , τιμή της συνάρτησης

$\displaystyle f(x)= \dfrac{1}{2} \cdot \left ( \dfrac{6}{\left ( x+0,002 \right )^{0,48}}+\dfrac{1}{\left ( 1-x \right )^{0,49}} \right )+ \dfrac{1}{2} \cdot \left | \dfrac{6}{\left ( x+0,002 \right )^{0,48}} - \dfrac{1}{\left ( 1-x \right )^{0,49}} \right |$ .

6. Σφαίρα ακτίνας $\displaystyle R$ εφάπτεται όλων των εδρών ενός οχτάεδρου. Δυο έδρες, οι βάσεις, βρίσκονται στα επίπεδα $\displaystyle \beta$ και $\displaystyle \gamma$ και οι υπόλοιπες έξι έδρες, παράπλευρες, αποτελούνται είτε από ίσα μεταξύ τους τραπέζια, είτε ίσα μεταξύ τους ισοσκελή τρίγωνα. Οι παράπλευρες έδρες είναι τέτοιες, ώστε κάθε παράπλευρη πλευρά τριγώνου να αποτελεί παράπλευρη πλευρά τραπεζίου και κάθε παράπλευρη πλευρά τραπεζίου να αποτελεί, είτε παράπλευρη πλευρά ενός άλλου τραπεζίου, είτε παράπλευρη πλευρά ενός εκ των τριγώνων. Οι βάσεις όλων των τραπεζίων, που έχουν μήκος $\displaystyle \sqrt{29}$ , βρίσκονται στο επίπεδο $\beta$ και σχηματίζουν πολύγωνο εμβαδού $\displaystyle 20$ . Όλες οι υπόλοιπες βάσεις των τραπεζίων και όλες οι βάσεις των τριγώνων βρίσκονται στο επίπεδο $\gamma$ . Ο λόγος της επιφάνειας της σφαίρας προς το συνολική επιφάνεια των παράπλευρων εδρών είναι, ίσος με το λόγο του $\displaystyle \pi$ προς το $\displaystyle 6$ . Είναι γνωστό, ότι $\displaystyle \frac{3}{2} < R < 2$ . Να βρείτε το

.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 27, 2018 4:39 pm
Γραπτές εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Mαθηματικών & Κυβερνητικής του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 1991.

1. Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle \sqrt{x-1}+x-3=0$ .

Φυσικά η εξίσωση ορίζεται για $x\geq 1$

H δοθείσα γράφεται ισοδύναμα ως εξής:

$\displaystyle \sqrt{x-1}=3-x$

και αν θέλω να υψώσω στο τετράγωνο , κρατώντας την ισοδυναμία , οφείλω να θέσω και $x\leq 3$

Έτσι λοιπόν , με την συνθήκη ότι $1 \leq x\leq 3$ , ισοδύναμα έχω ότι

$x-1=\left ( 3-x \right )^{2}$ που ισοδύναμα γράφεται $x^{2}-7x+10=0$

H τελευταία δίνει x=2

ή

Μόνο ο ένας αριθμός, το

, ικανοποιεί τον περιορισμό $1 \leq x\leq 3$

Το

απορρίπτεται.

Το

αποτελεί την μοναδική λύση της εξίσωσης στους πραγματικούς αριθμούς.

KARKAR · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 27, 2018 4:39 pm

4. Τρεις κύκλοι με κέντρα τα σημεία και ανά δυο εφάπτονται εξωτερικά στα σημεία και .

Είναι γνωστό, ότι το μέτρο της γωνίας είναι ίσο με $\displaystyle 2 \arcsin \left ( \frac{1}{5}\right )$ και το εμβαδόν του τριγώνου

ίσο με $\displaystyle12 \sqrt{6}$ . Να προσδιορίσετε, ποιο είναι το μέγιστο δυνατό μήκος που μπορεί να έχει

ο κύκλος, που διέρχεται από τα σημεία και .

: Μοσχοβίτικη πρόταση.png (29.02 KiB) Προβλήθηκε 2002 φορές

Δεν ισχυρίζομαι ότι τα παραπάνω συγκροτούν πλήρη λύση , δίνουν όμως μιαν ώθηση στο θέμα ...

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 27, 2018 4:39 pm
Γραπτές εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Mαθηματικών & Κυβερνητικής του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 1991.

3. Να λύσετε την ανίσωση

$\displaystyle 5^{\log_{x} 3} +25^{\log_{x} 3}-6 >0$ .

Για $\displaystyle y = {\log _x}3 = \frac{{\ln 3}}{{\ln x}},0 < x \ne 1$ η ανίσωση γράφεται:

$\displaystyle {5^{2y}} + {5^y} - 6 > 0 \Leftrightarrow ({5^y} + 3)({5^y} - 2) > 0 \Leftrightarrow {5^y} > 2 \Leftrightarrow y > \frac{{\ln 2}}{{\ln 5}}$

Άρα, $\displaystyle \frac{{\ln 3}}{{\ln x}} > \frac{{\ln 2}}{{\ln 5}} \Leftrightarrow 0 < \ln x < \frac{{\ln 3 \cdot \ln 5}}{{\ln 2}} \Leftrightarrow$ $\boxed{1 < x < {e^{\frac{{\ln 3 \cdot \ln 5}}{{\ln 2}}}}}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 28, 2018 10:51 am

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 27, 2018 4:39 pm

4. Τρεις κύκλοι με κέντρα τα σημεία και ανά δυο εφάπτονται εξωτερικά στα σημεία και .

Είναι γνωστό, ότι το μέτρο της γωνίας είναι ίσο με $\displaystyle 2 \arcsin \left ( \frac{1}{5}\right )$ και το εμβαδόν του τριγώνου

ίσο με $\displaystyle12 \sqrt{6}$ . Να προσδιορίσετε, ποιο είναι το μέγιστο δυνατό μήκος που μπορεί να έχει

ο κύκλος, που διέρχεται από τα σημεία και .
Μοσχοβίτικη πρόταση.png
Δεν ισχυρίζομαι ότι τα παραπάνω συγκροτούν πλήρη λύση , δίνουν όμως μιαν ώθηση στο θέμα ...

Ας το συνεχίσω...

$E=\dfrac{1}{2}acsinB\Rightarrow ac=150$

$b^2=a^2+c^2-2ac\,cosB\Rightarrow b^2=a^2+c^2-12\cdot 23\Rightarrow b^2=(a+c)^2-300-12\cdot 23$

Είναι απλό να δούμε ότι ο κύκλος (K,L,M)

είναι ο έγκυκλος. Tο μήκος του μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιηθεί η ακτίνα του, και επειδή $E=\tau \rho$ , αυτό γίνεται όταν ελαχιστοποιηθεί η περίμετρος του τριγώνου ABC

.

Επειδή ac=150

, σταθερό, το a+c

ελαχιστοποιείται όταν a=c

. Επειδή $b^2=(a+c)^2-300-12\cdot 23$ το

ελαχιστοποιείται μαζί με το a+c

, άρα κ.λπ.

$a=c=\sqrt{150}=5\sqrt{6},\,\,\,b=...=2\sqrt{6},\,\,\, \tau =6\sqrt{6},\,\,\,\rho =2,\,\,\,max=4\pi$

#6

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 27, 2018 4:39 pm
Γραπτές εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Mαθηματικών & Κυβερνητικής του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 1991.

2. Να βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης

$\displaystyle \cot \left ( -\dfrac{3 \pi}{2} +\dfrac{\pi \sqrt{3}}{9} \cos x \right )=- \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ .

Η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle \cot \left ( -\dfrac{3 \pi}{2} +\dfrac{\pi \sqrt{3}}{9} \cos x \right )=\cot \dfrac{2\pi}{3},$ απ' όπου παίρνουμε

$\displaystyle \frac{{\pi \sqrt 3 }}{9}\cos x - \frac{{3\pi }}{2} = k\pi + \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}(6k + 13), k\in \mathbb{Z}$ με $\displaystyle \left| {\frac{{\sqrt 3 }}{2}(6k + 13)} \right| \le 1$

Άρα, k=-2

και $\displaystyle \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = 2n\pi \pm \frac{\pi }{6}, n\in \mathbb{Z}}$

#7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 27, 2018 4:39 pm
Γραπτές εισαγωγικές εξετάσεις τμήματος Υπολογιστικών Mαθηματικών & Κυβερνητικής του Κρατικού Πανεπιστημίου Μόσχας, 1991.

5. Εξετάστε το αληθές ή ψευδές της ανισότητας $y \leq 6,09$ , όπου η ελάχιστη, του διαστήματος $\left (0,1 \right )$ , τιμή της συνάρτησης

$\displaystyle f(x)= \dfrac{1}{2} \cdot \left ( \dfrac{6}{\left ( x+0,002 \right )^{0,48}}+\dfrac{1}{\left ( 1-x \right )^{0,49}} \right )+ \dfrac{1}{2} \cdot \left | \dfrac{6}{\left ( x+0,002 \right )^{0,48}} - \dfrac{1}{\left ( 1-x \right )^{0,49}} \right |$ .

Λοιπόν ισχύει ή όχι το επόμενο;;

$min\left \{ max\left \{ a(x),b(x)) \right \} \right \} \leq min\left \{ {maxa(x)} , { maxb(x)} \right \}$

ή μήπως δεν ξέρω τι έγραψα;

Εισαγωγικές Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής Μόσχα 1991

Εισαγωγικές Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής Μόσχα 1991

Re: Εισαγωγικές Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής Μόσχα 1991

Re: Εισαγωγικές Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής Μόσχα 1991

Re: Εισαγωγικές Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής Μόσχα 1991

Re: Εισαγωγικές Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής Μόσχα 1991

Re: Εισαγωγικές Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής Μόσχα 1991

Re: Εισαγωγικές Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής Μόσχα 1991

Μέλη σε σύνδεση