Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8497
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Δεκ 26, 2018 6:33 pm

Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα.png
Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα.png (15.46 KiB) Προβλήθηκε 474 φορές
Το τετράπλευρο ABCD είναι εγγράψιμο και H, E είναι τα ορθόκεντρα των τριγώνων ABC, BDC αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι το ADEH είναι παραλληλόγραμμο.

Δίνεται προτεραιότητα ενός 24ωρου στους μαθητές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1495
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Δεκ 26, 2018 8:31 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Δεκ 26, 2018 6:33 pm
Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα.png
Το τετράπλευρο ABCD είναι εγγράψιμο και H, E είναι τα ορθόκεντρα των τριγώνων ABC, BDC αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι το ADEH είναι παραλληλόγραμμο.

Δίνεται προτεραιότητα ενός 24ωρου στους μαθητές.
Έστω O το περίκεντρο του ABCD, το οποίο είναι ταυτόχρονα και περίκεντρο του ABC, αλλά και του BCD.

Τότε, αν M η προβολή του O στην BC, από γνωστό Θεώρημα, AH=2OM, DE=2OM, οπότε AH=DE (1).

Επίσης, AH \perp BC, DE \perp BC \Rightarrow AH \parallel DE, οπότε σε συνδυασμό με την (1), παίρνουμε το ζητούμενο.

Γιώργο, σε παρακαλώ, αν μπορείς να βάλεις το σχήμα. :)


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1495
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Δεκ 26, 2018 8:37 pm

Αλλιώς.

Έστω R η ακτίνα του κύκλου (A,B,C,D) και \angle BAC=\angle BDC=\phi.

Από γνωστό Λήμμα, DE=2R\cos \angle BDC=2R \cos \phi και AH=2R \cos \angle BAC=2R \cos \phi, συνεπώς AH=DE και η απόδειξη κυλάει όπως πιο πάνω.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8497
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 27, 2018 12:36 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Τετ Δεκ 26, 2018 8:31 pm
george visvikis έγραψε:
Τετ Δεκ 26, 2018 6:33 pm
Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα.png
Το τετράπλευρο ABCD είναι εγγράψιμο και H, E είναι τα ορθόκεντρα των τριγώνων ABC, BDC αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι το ADEH είναι παραλληλόγραμμο.

Δίνεται προτεραιότητα ενός 24ωρου στους μαθητές.
Έστω O το περίκεντρο του ABCD, το οποίο είναι ταυτόχρονα και περίκεντρο του ABC, αλλά και του BCD.

Τότε, αν M η προβολή του O στην BC, από γνωστό Θεώρημα, AH=2OM, DE=2OM, οπότε AH=DE (1).

Επίσης, AH \perp BC, DE \perp BC \Rightarrow AH \parallel DE, οπότε σε συνδυασμό με την (1), παίρνουμε το ζητούμενο.

Γιώργο, σε παρακαλώ, αν μπορείς να βάλεις το σχήμα. :)
Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα.β.png
Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα.β.png (15.09 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές
Το σχήμα στην πολύ ωραία λύση του Ορέστη!


Άβαταρ μέλους
spege
Δημοσιεύσεις: 257
Εγγραφή: Δευ Απρ 27, 2009 10:24 pm

Re: Παραλληλόγραμμο από δύο ορθόκεντρα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spege » Πέμ Δεκ 27, 2018 7:56 am

Να την γενικεύσω λίγο; Υπάρχουν λοιπόν 4 παραλληλόγραμμα με κοινό κέντρο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες