Τρίγωνο-112.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (7.75 KiB) Προβλήθηκε 1727 φορές

Στο τρίγωνο ABC

του παραπάνω σχήματος ισχύει ότι: BD=AC

.

Βρείτε τις μοίρες της γωνίας $\theta$ .

#2

: τρίγωνο112.png (33.89 KiB) Προβλήθηκε 1675 φορές

Θεωρούμε σημείο

στην

ώστε $B\hat{C}E=40^o$ και τη διχοτόμο

της $\hat{B}.$ Το τρίγωνο BDF

είναι ισοσκελές αφού BD=AC=BF.

Το τετράπλευρο EFDB

είναι εγγράψιμο αφού $F\hat{D}B=80^o$ και $B\hat{E}C=100^o.$ Άρα $F\hat{E}D=20^o.$
Θεωρούμε σημείο

της

ώστε το τρίγωνο FDG

να είναι ισοσκελές με FG=FD.

Τα τρίγωνα BEF,BFG

είναι ίσα οπότε EF=FG.

Επομένως ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου FDG

διέρχεται από το σημείο

οπότε $G\hat{E}D=10^o.$
Είναι εύκολο να δούμε ότι το σημείο

είναι παράκεντρο του τριγώνου ECD.

Άρα $A\hat{D}B=30^o$ και τελικά $D\hat{A}C=10^o.$

#3

: τρίγωνο 112.png (45.21 KiB) Προβλήθηκε 1624 φορές

Ο κύκλος

τέμνει ακόμη τη

στο

και το $\vartriangle DBK \to (40^\circ ,\,\,100^\circ ,\,\,40^\circ )$ .

Ας είναι: BE// = AC

οπότε : $\vartriangle BDE \to (20^\circ ,\,\,80^\circ ,\,\,80^\circ )$ και $\vartriangle DEC \to (100^\circ ,\,\,40^\circ ,\,\,40^\circ )$ .

Το τετράπλευρο θα είναι ισοσκελές τραπέζιο και το τρίγωνο KBC

ισόπλευρο άρα :

$\boxed{\widehat \theta = \frac{1}{2}\widehat \omega = 10^\circ }$

Φανης Θεοφανιδης · #4

: 1.png (24.51 KiB) Προβλήθηκε 1605 φορές

Καλησπέρα.

Γράφω τον κύκλο (C, CB)

, ο οποίος τέμνει την

στο

, κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο CBE

και

φέρνω τα τμήματα ED, BP

.

Προφανώς $\angle CPB=80^{0}\Rightarrow \angle ABP=40^{0}\Rightarrow AP=PB (1)$ .

Όμως $AD=BC\Rightarrow AD=PC\Rightarrow AP+PD=PD+DC\Rightarrow AP=DC\Rightarrow PB=DC(2)$ (λόγω της (1)

).

Αλλά $CB=CE\Rightarrow CP=CE (3)$ .

Από τις σχέσεις (2), (3)

και επειδή $\angle CPB=\angle ECD=80^{0}$ , έπεται ότι

τα τρίγωνα CPB, ECD

είναι ίσα.

Οπότε $\angle DEC=20^{0}\Rightarrow CE=ED$ .

Άρα το

είναι το περίκεντρο του τριγώνου CDB

.

Συνεπώς $\theta =10^{0}$ .

cool geometry · #5

Χωρίς πείραγμα του σχήματος...
Εύκολα παίρνουμε $\boldsymbol{\frac{BD }{AB}=\frac{AC}{AB}=\frac{\eta \mu 40^{0}}{\eta \mu 20^{0}}=\frac{\eta \mu 70^{0}}{\eta \mu 30^{0}}=\frac{\eta \mu \left ( 60^{0}+\vartheta \right )}{\eta \mu \left ( \vartheta +20^{0} \right )},}$ θέτουμε $\boldsymbol{\vartheta +20^{0}=\phi }$ κι έχουμε $\boldsymbol{\frac{\eta \mu 70^{0}}{\eta \mu 30^{0}}=\frac{\eta \mu \left ( \phi +40^{0} \right )}{\eta \mu \phi }\Leftrightarrow \varepsilon \phi \phi =\varepsilon \phi 30^{0}\Leftrightarrow\phi =30^{0} =\vartheta +20^{0}\Leftrightarrow \vartheta =10^{0}.}$

#6

cool geometry έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 30, 2022 10:18 am
Χωρίς πείραγμα του σχήματος...

... και εκτός φακέλου.

Τρίγωνο-112.

Τρίγωνο-112.

Re: Τρίγωνο-112.

Re: Τρίγωνο-112.

Re: Τρίγωνο-112.

Re: Τρίγωνο-112.

Re: Τρίγωνο-112.

Μέλη σε σύνδεση