Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018

Al.Koutsouridis · #1

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018.

Μια προσπάθεια που έκανα να μεταφράσω τα τελευταία δυο προβλήματα των φετινών κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά. Ενδεχομένως να υπάρχουν λάθη.

29. Έστω

ο κύκλος που προκύπτει από την τομή της σφαίρας x^2+y^2+z^2=6

με το επίπεδο x+2z-5=0

, στο καρτεσιανό χώρο.

σημείο του

για το οποίο ελαχιστοποιείται η

συντεταγμένη και

η ορθή προβολή του

στο

επίπεδο. Για τυχόν σημείο

που κινείται στο κύκλο

το μέγιστο της παράστασης $\displaystyle \left | \vec{PX} +\vec{QX} \right |^2$ είναι $a+b\sqrt{30}$ . Να βρείτε την τιμή της παράστασης 10(a+b)

(Όπου

ρητοί αριθμοί).

30. Για τυχόν πραγματικό αριθμό

ας είναι

$\displaystyle f(x) =\left\{\begin{matrix} 1- \left | x-t \right | , \quad \left ( \left | x-t \right | \leq 1 \right) \\ 0, \quad \quad \quad \quad \quad \left ( \left | x-t \right | > 1 \right) \end{matrix}\right.$

και για κάποιο περιττό

είναι

$\displaystyle g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)\cos (\pi x) dx$

ώστε να ικανοποιούνται τα εξής: Έστω $\displaystyle a_{1}, a_{2}, ..., a_{m}$ (

φυσικός) το σύνολο των αριθμών

(κατά αύξουσα σειρά), για τους οποίους η g(t)

στο σημείο t=a

έχει ελάχιστο (τοπικό;) με g(a) < 0

. Ισχύει $\displaystyle \sum_{i=1}^{m} a_{i} = 45$ .

Να υπολογίσετε την παράσταση $\displaystyle k-\pi^2 \sum_{i=1}^{m} g(a_{i})$ .

Πηγή.

#2

Για την 30 ίσως κάτι να έχει ξεφύγει στην μετάφραση. Για το 29 η απάντηση παίζει να είναι a=-1, b = 2/5

;

Έχω ακούσει πολλά ενδιαφέροντα για τις εξετάσεις στην Κορέα. Επειδή π.χ. η επιτυχία σε αυτές οδηγούσε στην ... DAEWOO (δεν γνωρίζω αν αυτό γίνεται και σήμερα) ο ανταγωνισμός ήταν τεράστιος και η προετοιμασία γινόταν σε εξαντλητικούς ρυθμούς. Τα φροντιστήρια δούλευαν απίστευτες ώρες και οι πετυχημένοι φροντιστές ήταν κάτι σαν σταρς!!

Τσιαλας Νικολαος · #3

Σε κάποιο άλλο θέμα είχε αναφέρει και ο κύριος Λάμπρου τι γίνεται. Για την daewoo δεν γνωρίζω, αλλά τα υπόλοιπα ισχύουν σε υπερθετικό βαθμό!! Μάλιστα είχα διαβάσει σε άρθρο ότι υπάρχουν επιτροπές ελέγχου για τα φροντιστήρια καθώς και συγκεκριμένες ώρες λειτουργίας, καθως τα πράγματα είχαν ξεφύγει τελείως κάποια στιγμή!!

Al.Koutsouridis · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 14, 2018 11:54 pm
Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018.

29. Έστω ο κύκλος που προκύπτει από την τομή της σφαίρας με το επίπεδο , στο καρτεσιανό χώρο. σημείο του για το οποίο ελαχιστοποιείται η συντεταγμένη και η ορθή προβολή του στο επίπεδο. Για τυχόν σημείο που κινείται στο κύκλο το μέγιστο της παράστασης $\displaystyle \left | \vec{PX} +\vec{QX} \right |^2$ είναι $a+b\sqrt{30}$ . Να βρείτε την τιμή της παράστασης (Όπου ρητοί αριθμοί).

Μια προσπάθεια για το 29. Παρατηρούμε ότι το δεδομένο επίπεδο τομής είναι παράλληλο προς τον άξονα των

και λόγο της συμμετρίας της σφαίρας ο κύκλος που προκύπτει από την τομή θα είναι συμμετρικός ως προς το επίπεδο y=0

, δηλαδή το επίπεδο

. Άρα το κέντρο του, έστω

θα έχει μηδενική

συντεταγμένη. Αν

το σημείο τομής του επιπέδου τομής με τον άξονα των

, τότε θα έχει συντεταγμένες $R=(0,0,\frac{5}{2})$ .

: korea_2018_29.png (221.85 KiB) Προβλήθηκε 2461 φορές

Έιναι όμως $\vec{OK} \perp \vec{KR} \Rightarrow (x,0,z) \cdot (x,0,z-\frac{5}{2} =0 \Rightarrow x^2+z(z-\frac{5}{2})=0$

Όπου K=(x,0,z)

. Αντικαθιστώντας το

με

το παραπάνω εσωτερικό γινόμενο γίνεται

$(2z-5)^2+z(z-\frac{5}{2} )= 0 \Rightarrow z=2$ ή $z=\frac{5}{2}$ . Η λύση z=5/2

απορρίπτεται γιατί σε αυτή την περίπτωση το
$\vec{TK}$ θα ήταν παράλληλο στο επίπεδο

.

Αρα το κέντρο του κύκλου

έχει συντεταγμένες K=(1,0,2)

. Λόγω της παραπάνω συμμετρίας του κύκλου το σημείο

με την ελάχιστη

συντεταγμένη θα βρίσκεται στο σημείο τομής της ευθείας παράλληλης προς τον άξονα των

που διέρχεται από το

. Έφοσον αυτό το σημείο είναι και σημείο της σφαίρας θα ικανοποιεί την εξίσωσή της $1^2+y^2+2^2=6 \Rightarrow y=\pm 1$

Επομένως τα σημεία P,Q

έχουν συντεταγμένες P=(1,-1,2)

και

αντίστοιχα.

Η προς μεγιστοποίηση έκφραση μπορεί να γραφεί $\displaystyle \left | \vec{PX} +\vec{QX} \right |^2= \left | 2\vec{MX} \right |^2=4\left | \vec{MX} \right |^2$ . Όπου M=(1,-1,1)

το μέσο του τμήματος

.

Έστω

η προβολή του σημείου

στο επίπεδο x+2z=5

, τότε θα έχουμε

$MX^2=MT^2+TX^2 \leq MT^2 +(TK+KX)^2$

Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουμε τις παραπάνω αποστάσεις. Έχουμε από απόσταση σημείου από επίπεδο

$MT= \dfrac{\left | 1 \cdot 1 +0 \cdot 0 +2 \cdot 1 -5 \right |}{\sqrt{1^2+0^2+2^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$

MK^2 = (1-1)^2+(-1-0)^2+(1-2)^2 = 2

$TK=\sqrt{MK^2-MT^2} = \sqrt{2-\frac{4}{5}}= \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$

KX=1

(η ακτίνα του κύκλου

).

Άρα $MX^2 \leq \left ( \dfrac{2}{\sqrt{5}} \right )^2+\left ( \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} +1\right )^2=\dfrac{4}{5} +\dfrac{6}{5}+2\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}+1=3+\dfrac{2}{5}\sqrt{30}$

Οπότε $\displaystyle max{\left | \vec{PX} +\vec{QX} \right |^2} = 4 \left ( 3+\dfrac{2}{5}\sqrt{30} \right )=12+\dfrac{8}{5}\sqrt{30} =a+b\sqrt{30} \Rightarrow$

$a=12, b=\dfrac{8}{5}$

και εν τέλη

$10\left ( a+b) = 136$

Al.Koutsouridis · #5

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 16, 2018 1:53 pm
Για την 30 ίσως κάτι να έχει ξεφύγει στην μετάφραση.

Καλημέρα κ.Κώστα! Υπάρχει κάποιος συγκεκριμένος ενδοιασμός σε αυτό το θέμα; Το πρόβλημα πρέπει να μιλάει για τοπικά ελάχιστα, έτσι όπως το καταλαβαίνω από τις γραφικές παραστάσεις που προκύπτουν.

#6

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 10:26 am

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 16, 2018 1:53 pm
Για την 30 ίσως κάτι να έχει ξεφύγει στην μετάφραση.
Καλημέρα κ.Κώστα! Υπάρχει κάποιος συγκεκριμένος ενδοιασμός σε αυτό το θέμα; Το πρόβλημα πρέπει να μιλάει για τοπικά ελάχιστα, έτσι όπως το καταλαβαίνω από τις γραφικές παραστάσεις που προκύπτουν.

H g είναι σταθερή.

Al.Koutsouridis · #7

rek2 έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 12:08 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 10:26 am

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 16, 2018 1:53 pm
Για την 30 ίσως κάτι να έχει ξεφύγει στην μετάφραση.
Καλημέρα κ.Κώστα! Υπάρχει κάποιος συγκεκριμένος ενδοιασμός σε αυτό το θέμα; Το πρόβλημα πρέπει να μιλάει για τοπικά ελάχιστα, έτσι όπως το καταλαβαίνω από τις γραφικές παραστάσεις που προκύπτουν.
H g είναι σταθερή.

Το ολοκλήρωμα είναι σταθερό ως προς το

, αλλά ως προς το

μεταβάλλεται, αφού η f(x)

είναι παραμετρική με παράμετρο το

.

Για παράδειγμα άλλη τιμή έχει η g(t)

για

πολύ μικρότερο ή μεγαλύτερο των οριών

και

, και άλλη π.χ. αν t=k+2

.

#8

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 14, 2018 11:54 pm
Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018.

29. Έστω ο κύκλος που προκύπτει από την τομή της σφαίρας με το επίπεδο , στο καρτεσιανό χώρο. σημείο του για το οποίο ελαχιστοποιείται η συντεταγμένη και η ορθή προβολή του στο επίπεδο. Για τυχόν σημείο που κινείται στο κύκλο το μέγιστο της παράστασης $\displaystyle \left | \vec{PX} +\vec{QX} \right |^2$ είναι $a+b\sqrt{30}$ . Να βρείτε την τιμή της παράστασης (Όπου ρητοί αριθμοί).

Πηγή.

Ας δούμε μία ακόμη διαπραγμάτευση! Είναι

$x^2+y^2+z^2=6,\,\,\,(1),\,\,\,\,\,\,\,\,x+2z=5,\,\,(2)$

Λύνουμε την δεύτερη ως προς

, αντικαθιστούμε στην πρώτη και έχουμε 5(z-2)^2+y^2=1

Αυτό δείχνει ότι η μικρότερη δυνατή τιμή του

είναι

, $(y^2\leq 1)$ , που πιάνεται για $z=2,\,\,x=1$ .

Άρα έχουμε ελάχιστο y=-1

και

, οπότε

Αν

, τότε:

$\vec{PX}+\vec{QX}=(x-1,y+1,z-2)+(x-1,y-1,0)=2(x-1,y+1,z-1)$ , οπότε:

$|\vec{PX}+\vec{QX}|^2=4[(x-1)^2+(y+1)^2+(z-1)^2]$

=4(x^2+y^2+z^2-x-2z-x+2y+3)=4(6-5-x+2y+3)

Επομένως ζητάμε το μέγιστο του -x+2y

. Λύνουμε την (2) ως προς

, αντικαθιστούμε στην (1) και παίρνουμε

5x^2+4y^2-10x+1=0

Αν

είναι το μέγιστο του -x+2y

, ζητάμε η ευθεία -x+2y=m

να εφάπτεται στη κωνική 5x^2+4y^2-10x+1=0

.

Κατά τα γνωστά λύνουμε την -x+2y=m

ως προς

αντικαθιστούμε στη κωνική και παίρνουμε:

24y^2-20y(m+1)+5m^2+10m+1=0

με διακρίνουσα 16(-5m^2-10m+19)

Αυτή είναι μηδέν όταν $m=-1\pm \dfrac{2}{5}\sqrt{30}$ , έτσι $m=-1+ \dfrac{2}{5}\sqrt{30}$ . (Η τιμή αυτή "πιάνεται")

(αυτό είχα κατά νου όταν ρώτησα αν α=-1,β=2/5 )

Έτσι το μέγιστο είναι $4(4-x+2y)=4(4+m)=12+\dfrac{8}{5}\sqrt{30}$ κ.λπ.

Με τις ευχαριστίες μου στον Αλέξανδρο για τις μεταφράσεις του! Αλέξανδρε να είσαι πάντα καλά!

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2018

Μέλη σε σύνδεση