Απορία σε κλασματικό εκθέτη

mathstudent03 · #1

Καλησπέρα
Έχω μια απορία: Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f(x)=x^{\frac{2}{6}}$ ;
Πιστεύω ότι είναι μόνο οι μη αρνητικοί και όχι όλοι οι πραγματικοί. Υπάρχει κάπου γραμμένο στο σχολικό βιβλίο;

bokalos · #2

Θα προσπαθήσω να σου απαντήσω γενικά για την συνάρτηση $f(x)=x^{a}$

Αν το α είναι φυσικός αριθμός, τότε το πεδίο ορισμού είναι το $A=\mathbb{R}$ ( Για παράδειγμα η $f(x)=x^{5}$ )
Αν το α είναι αρνητικός ακέραιος, τότε το πεδίο ορισμού είναι το $A=\mathbb{R^{*}}$ ( Για παράδειγμα η $f(x)=x^{-5}$ )
Αν το α είναι θετικός ρητός ή άρρητος, τότε το πεδίο ορισμού είναι το $A=[0,+\infty )$ ( Για παράδειγμα η $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ και η $f(x)=x^{\sqrt{2}}$ )
Αν το α είναι αρνητικός ρητός ή άρρητος, τότε το πεδίο ορισμού είναι το $A=(0,+\infty )$ ( Για παράδειγμα η $f(x)=x^{-\frac{2}{3}}$ και η $f(x)=x^{-\sqrt{2}}$ )

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

bokalos έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 29, 2018 4:31 pm
Θα προσπαθήσω να σου απαντήσω γενικά για την συνάρτηση $f(x)=x^{a}$

Αν το α είναι φυσικός αριθμός, τότε το πεδίο ορισμού είναι το $A=\mathbb{R}$ ( Για παράδειγμα η $f(x)=x^{5}$ )
Αν το α είναι αρνητικός ακέραιος, τότε το πεδίο ορισμού είναι το $A=\mathbb{R^{*}}$ ( Για παράδειγμα η $f(x)=x^{-5}$ )
Αν το α είναι θετικός ρητός ή άρρητος, τότε το πεδίο ορισμού είναι το $A=[0,+\infty )$ ( Για παράδειγμα η $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ και η $f(x)=x^{\sqrt{2}}$ )
Αν το α είναι αρνητικός ρητός ή άρρητος, τότε το πεδίο ορισμού είναι το $A=(0,+\infty )$ ( Για παράδειγμα η $f(x)=x^{-\frac{2}{3}}$ και η $f(x)=x^{-\sqrt{2}}$ )

Τα παραπάνω είναι πολύ σωστά στα πλαίσια της σχολικής ύλης.

Εκτός σχολικής ύλης (δηλαδή στο Πανεπιστήμιο) κάποιο ορίζουν π.χ. το

$x^{\frac{1}{3}}$
και για
x< 0

bokalos · #4

Επειδή ρωτούσε αν υπάρχει πουθενά γραμμένο το πεδίο ορισμού της στο σχολικό βιβλίο θεώρησα ότι το ερώτημα προέρχεται από μαθητή και ανάλογα απάντησα...

Λάμπρος Κατσάπας · #5

bokalos έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 29, 2018 4:31 pm
Θα προσπαθήσω να σου απαντήσω γενικά για την συνάρτηση $f(x)=x^{a}$

Αν το α είναι θετικός ρητός ή άρρητος, τότε το πεδίο ορισμού είναι το $A=[0,+\infty )$ ( Για παράδειγμα η $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ και η $f(x)=x^{\sqrt{2}}$ )
Αν το α είναι αρνητικός ρητός ή άρρητος, τότε το πεδίο ορισμού είναι το $A=(0,+\infty )$ ( Για παράδειγμα η $f(x)=x^{-\frac{2}{3}}$ και η $f(x)=x^{-\sqrt{2}}$ )

Οι διατυπώσεις στα bold είναι προβληματικές. Για παράδειγμα ο

είναι θετικός ρητός και η

x^3

έχει πεδίο ορισμού όλο το

. O

είναι αρνητικός ρητός και η $x^{-3}$

έχει πεδίο ορισμού όλο το

πλην του μηδενός. Θα μου πείτε αυτές τις περιπτώσεις τις είπατε από πάνω.

Όπως και να έχει κατά τη γνώμη μου χρειάζεται περισσότερη αυστηρότητα στη διατύπωση. Οι περιπτώσεις θα πρέπει να

περιέχουν διαμερισμένο το

σε ξένα μεταξύ τους υποσύνολα στα οποία θα βρίσκεται ο

αλλιώς

υπάρχει επικάλυψη και δημιουργούνται ασάφειες.

bokalos · #6

Έχετε απόλυτο δίκιο ως προς την αυστηρότητα, θα μπορούσα αντί ρητός ή άρρητος να γράψω $A=\mathbb{R}-\mathbb{Z}$ και να λυθεί το πρόβλημα, απλά όπως ανέφερα θεωρούσα ότι το ερώτημα προέρχονταν από μαθητή και προσπάθησα να απαντήσω δίνοντας έμφαση στην ουσία και όχι στην αυστηρότητα.

mathstudent03 · #7

Μέχρι εδώ κατάλαβα, ευχαριστώ. Το ερώτημα τώρα είναι το εξής:
Έχουν νόημα οι παραστάσεις $(-2)^{\tfrac{6}{2}}$ και $(-2)^{\tfrac{2}{6}}$ ;

Christos.N · #8

mathstudent03 έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 03, 2018 1:10 pm
Μέχρι εδώ κατάλαβα, ευχαριστώ. Το ερώτημα τώρα είναι το εξής:
Έχουν νόημα οι παραστάσεις $(-2)^{\tfrac{6}{2}}$ και $(-2)^{\tfrac{2}{6}}$ ;

Όχι καμία από τις δύο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Christos.N έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 03, 2018 6:43 pm

mathstudent03 έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 03, 2018 1:10 pm
Μέχρι εδώ κατάλαβα, ευχαριστώ. Το ερώτημα τώρα είναι το εξής:
Έχουν νόημα οι παραστάσεις $(-2)^{\tfrac{6}{2}}$ και $(-2)^{\tfrac{2}{6}}$ ;
Όχι καμία από τις δύο.

Καλά για το $(-2)^{\tfrac{2}{6}}$ .

Αλλά αν ένας μαθητής η οποιοσδήποτε γράψει

$(-2)^{\tfrac{6}{2}}=(-2)^{3}=-8$

θα είναι ΛΑΘΟΣ;

Είναι δυνατόν να συζητάμε τέτοια πράγματα;

Christos.N · #10

#11

Christos.N έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 03, 2018 10:16 pm
$-8=(-2)^3=(-2)^{\frac{6}{2}}=[(-2)^6]^{\frac{1}{2}}=(2^6)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{6}{2}}=2^3=8$

Άλλο είναι να γράψουμε $\displaystyle{(-2)^{\frac{6}{2}}}$ και άλλο να εφαρμόσουμε ιδιότητες δυνάμεων με αυτό.

Συμφωνώ με τον Σταύρο. Δεν είναι δυνατόν να μην επιτρέπεται να γράψουμε $\displaystyle{(-2)^{\frac{6}{2}}}$ .

Δηλαδή τι θα απαντούσαμε στην ερώτηση: Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\displaystyle{x^{\frac{6}{2}}}$ ; Το $\displaystyle{[0,+\infty)}$ ; Δε νομίζω.

kkala · #12

Για να μην προκύπτει σφάλμα, νομίζω ότι πρέπει να γίνει συμβατικά αποδεκτο ότι $-2^{6/2}=-2^{\left ( 6/2 \right )}$ , και όχι
$\left ( \left ( -2 \right )^{6} \right )^{1/2}$ . Οι πράξεις στην παράσταση του εκθέτη είναι ανάγκη να έχουν προτεραιότητα, όταν η βάση της δυνάμεως είναι αρνητική.
Επίσης $-8^{2/6}=-8^{1/3}=-2$ (χρησιμοποιείται για ευκολία το

αντί του

).
Χρησιμοποιώντας σύγχρονο κομπουτεράκι (π.χ. ΤΙ30ΧΑ) εξάγεται ότι $-2^{6/2}=-8$ και $-8^{2/6}=-2$ , ενώ το παλιό κομπουτεράκι ΤΕΧΕΤ Τ-581 ΒΝ (με χρήση του κουμπιού $y^{x}$ ) δίνει E (δηλαδή Error) και στις δύο περιπτώσεις . Πρόχειρες δοκιμές δίνουν ένδειξη ότι το σύγχρονο κομπουτεράκι υπολογίζει ρίζες περιτής τάξεως αρνητικών αριθμών (που είναι βέβαια αρνητικές), ενώ βγάζει "error" σε εκθέτες δεκαδικούς που δεν αντιστοιχούν σε τέτοιες ρίζες. Αυτά φαίνονται "φυσιολογικά" ( συμβατά με τους μαθηματικούς κανόνες των δυνάμεων / ριζών).

Σημείωση: το TEXET T-581 BN 'εχει και κουμπί κυβικής ρίζας, το οποίο δίνει -2 (όχι Error) σαν κυβική ρίζα του -8

mathstudent03 · #13

matha έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 03, 2018 10:34 pm

Christos.N έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 03, 2018 10:16 pm
$-8=(-2)^3=(-2)^{\frac{6}{2}}=[(-2)^6]^{\frac{1}{2}}=(2^6)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{6}{2}}=2^3=8$

Άλλο είναι να γράψουμε $\displaystyle{(-2)^{\frac{6}{2}}}$ και άλλο να εφαρμόσουμε ιδιότητες δυνάμεων με αυτό.

Συμφωνώ με τον Σταύρο. Δεν είναι δυνατόν να μην επιτρέπεται να γράψουμε $\displaystyle{(-2)^{\frac{6}{2}}}$ .

Δηλαδή τι θα απαντούσαμε στην ερώτηση: Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\displaystyle{x^{\frac{6}{2}}}$ ; Το $\displaystyle{[0,+\infty)}$ ; Δε νομίζω.

Το θέμα λοιπόν είναι το εξής: απαγορεύεται να γράψεις αρνητικό σε κλασματικό εκθέτη (έστω και αν αυτός είναι φυσικός σε κλασματική μορφή) ή επιτρέπεται αλλά μετά απαγορεύεται να εφαρμόσεις ιδιότητες δυνάμεων; Με άλλα λόγια το λάθος είναι στο δεύτερο ίσον ή στο τρίτο;

Christos.N · #14

To ερώτημα νομίζω είναι το εξής: $x^\frac{3}{2}$ είναι ο συμβολισμός του $\sqrt{x^3}$ ναι ή όχι;
Αν δεχτούμε ότι αυτό παριστάνει θα πρέπει να ισχύουν και οι ιδιότητες των δυνάμεων, αν πάλι δεν έχει σχέση με αυτόν τον συμβολισμό και εννοεί κάτι άλλο καλό θα ήταν όσοι το υποστηρίζουν να διατυπώσουν ακριβώς ποιες είναι οι ιδιότητες του για το πεδίο ορισμού του. Στον φάκελο στον οποίο βρισκόμαστε έχει δοθεί απάντηση. Τώρα γενικά το να πούμε :

$x^\frac{m}{n}=\left\{\begin{matrix} \\\sqrt[n]{x^m},x>0 ,(n,m)\in\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z} \\0,x=0,(n,m)\in\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+ \\ \sqrt[n]{|x|^m},x<0 ,(n,m)\in\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}\wedge m\equiv 0mod2 \end{matrix}\right.$

και δεν ορίζεται οπουδήποτε αλλού , εύκολο είναι , είναι σωστό; Εγώ το θεωρώ λάθος σε αυτήν την τάξη, αν θέλει κάποιος να εξετάσει το πεδίο ορισμού της $\sqrt[3]{x^6}$ καλό θα ήταν να το κάνει έτσι όπως γράφεται χωρίς να καταφύγει σε συμβολισμούς δυνάμεων.

Δηλαδή σαν άσκηση μπορεί να ζητήσει το "Δείξτε ότι: $\sqrt[3]{x^6}=\left\{\begin{matrix} x^2,x>0\\0,x=0\\ |x|^2,x<0 \end{matrix}\right.$ "

kkala · #15

mathstudent03 έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 04, 2018 12:49 pm
Το θέμα λοιπόν είναι το εξής: απαγορεύεται να γράψεις αρνητικό σε κλασματικό εκθέτη (έστω και αν αυτός είναι φυσικός σε κλασματική μορφή) ή επιτρέπεται αλλά μετά απαγορεύεται να εφαρμόσεις ιδιότητες δυνάμεων; Με άλλα λόγια το λάθος είναι στο δεύτερο ίσον ή στο τρίτο;

Σύμφωνα με τις απόψεις του σημειώματος Νο 12, το "λάθος" είναι στο τρίτο ίσον, δηλαδή στο $\left ( -2 \right )^{6/2} {\color{Red} =}$ $\left [ \left ( -2 \right )^{6} \right ]^{1/2}$ . Αυτό αλλάζει το πρόσημο, με συνέπεια το αντιφατικό -8=8

. Δεν σημαίνει βέβαια κατάργηση των ιδιοτήτων των δυνάμεων, απλά χρειάζεται προσοχή όταν η βάση είναι αριθμός αρνητικός .

Τα παρακάτω αφορούν το σημείωμα Νο 14 και γίνεται προσπάθεια διεκρίνησης σύμφωνα με το πνεύμα του 12 :
α. $x^{3/2}$ = sqrt( $x^{3})$ . Και οι δύο εκφράσεις έχουν νόημα για χ μη αρνητικό. Ομοίως η $x^{6/4}$ είναι ίση με αυτές.
β. curt( $x^{6}$ ) = $x^{2}$ για κάθε χ (ακόμα και αρνητικό), διότι $\left | x \right |^{2}=x^{2}$ .
Αλλά sqrt ( $x^{6}$ )

$\left | x \right |^{3}$ για κάθε πραγματικό χ, καθόσον επιβάλλεται να έχουν προτεραιότητα οι πράξεις μέσα στο υπόρριζο. Για x αρνητικό, το αποτέλεσμα είναι διαφορετικό από του $x^{6/2}$ κατά τα παραπάνω.
Αυτό νομίζω συμφωνεί με " αν θέλει κάποιος να εξετάσει το πεδίο ορισμού της curt( $x^{6}$ ) καλό θα ήταν να το κάνει έτσι όπως γράφεται χωρίς να καταφύγει σε συμβολισμούς δυνάμεων".

Σημείωση : sqrt=τετρ ρίζα, curt=κυβική ρίζα (δεν μπόρεσα να τα εκφράσω με τον EqEditor).
Βλέπετε και "Δύναμη με ρητό εκθέτη", <https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 60&t=60144>

kkala · #16

To "viewtopic.php?f=60&t=632" που κυκλοφόρησε πρ'οσφατα, δίνει κάποιες συγκεκριμένες απαντήσεις σε θέματα που συζητήθηκαν.

Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Re: Απορία σε κλασματικό εκθέτη

Μέλη σε σύνδεση