ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Γιώργος Αλιατήμης · #41

Γεια σας. Είμαι μαθητής της Γ Λυκείου και πήρα χάλκινο μετάλλιο στον Αρχιμήδη.
Η αλήθεια είναι πως με ξάφνιασε κάπως γιατί δεν είχα ασχοληθεί ποτέ ιδιαίτερα με αυτόν τον διαγωνισμό (μόνο τους διαγωνισμούς φυσικής έβλεπα σοβαρά).
Θα ήθελα πολύ να δώσω όλο μου τον εαυτό για τον προκριματικό διαγωνισμό με την ελπίδα ότι θα είμαι αναπληρωματικός ή να πάρω μέρος σε κάποια ολυμπιάδα τέλος πάντων να προκριθώ σε λογικά για εμένα πλαίσια, αλλά υπάρχουν αρκετά εμπόδια στον δρόμο μου : καταρχάς δεν ξέρω ευκλείδεια γεωμετρία (πέρασα λύνοντας τα άλλα τρία προβλήματα , σε κάθε φάση έτσι περνούσα ακόμα και στο Θαλή η γεωμετρία ήταν κάτι ξένο για εμένα). Όμως αυτό είναι πολύ χάλια γιατί άκουσα ότι φέτος η γεωμετρία ήταν σχετικά εύκολη και γενικά δεν μπορώ να συνεχίσω χωρίς να ξέρω καθόλου γεωμετρία. Μακάρι να μπορούσα να μπω στο πνεύμα των θεμάτων γεωμετρίας κατά κάποιο τρόπο (αν μπορείτε να μου συστήσετε κάποιο βιβλίο ίσως).
Αλλά δεν είναι μόνο αυτό : η ύλη του προκριματικού είναι πολύ μεγαλύτερη (ή μπορεί και να είναι η ίδια με του Αρχιμήδη απλά να μην έτυχε να την συναντήσω) : ξέρετε πόσο πονάει να πας να λύσεις ένα πρόβλημα , να παιδεύεσαι τόση ώρα κι εκεί που τα παρατάς και περιμένεις μια έξυπνη απάντηση με νορμάλ μαθηματικά να χρησιμοποιούν μικρό θεώρημα Fermat και Cauchy-Scwarz ανισότητα που δεν τα είχα ξανακούσει στη ζωή μου? Δεν ξέρω πόσα άλλα θεωρήματα υπάρχουν ή ακριβώς την ύλη .
Το θέμα είναι ότι μένω στη Σέρρες και κανείς δεν φαίνεται να είναι διαθέσιμος να με βοηθήσει . Μόνο μου έδωσε ένας τα θέματα παλιών ετών σε βιβλίο και κάτι ηλεκτρονικές σημειώσεις . Έχω και να διαβάσω πόσα άλλα άκυρα με τα μαθηματικά πράγματα οπότε αμφιβάλλω αν θα καταφέρω τίποτα μέσα σε τρεις εβδομάδες .
Αν μπορείτε να με βοηθήσετε με οποιονδήποτε τρόπο θα ήταν

υποθέτω.

Κώστας Παππέλης · #42

Γιώργο μου φαίνεται απίστευτο που χωρίς ουσιαστικά να γνωρίζεις βασικά πράγματα από την ύλη των διαγωνισμών και χωρίς να λύσεις τη φετινή γεωμετρία κατάφερες να βραβευτείς!! Φαίνεται πως είσαι άτομο με πολύ ταλέντο στα μαθηματικά και σου αξίζουν συγχαρητήρια. Ωστόσο είναι κρίμα που δεν αποφάσισες να καλλιεργήσεις νωρίτερα την έφεσή σου αυτή!! Όπως σίγουρα φαντάζεσαι, τα περισσότερα παιδιά που βραβεύτηκαν μαζί σου είναι ταλαντούχα σαν εσένα αλλά και πολύ διαβασμένα και είναι αδύνατο να καταφέρεις μέσα σε 20 μέρες να αναπληρώσεις διάβασμα που στην πραγματικότητα γίνεται σε βάθος μηνών και ετών. Για ένα 'πασάλειμα' αυτές τις 20 μέρες ώστε να μπορέσεις τουλάχιστον να αντιμετωπίσεις με αξιώσεις τα θέματα (πρόσεξε, όπως σου εξήγησα αυτό δεν αποτελεί εγγύηση για κάποια καλή κατάταξη, καθώς όλοι είναι άκρως ανταγωνιστικοί) θα σου πρότεινα να ασχοληθείς ενδελεxώς με τα ΘΕΜΑΤΑ και τις λύσεις του προκριματικού και του Αρχιμήδη και να δεις ακριβώς ποια είναι τα όπλα θεωρίας που σου λείπουν. Στη συνέχεια, για Ανισότητες το καλύτερο κατ' εμέ για αρχαρίους είναι το Αλγεβρικές Ανισότητες (εκδ. Σαββάλας). Για Συναρτησιακές Εξισώσεις θα διάβαζα το κεφάλαιο από το βιβλίο Ολυμπιάδες Μαθηματικών (εκδ. Σαββάλας) για την Α Λυκείου ΚΑΙ extra τη συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy την οποία θα 'παπαγάλιζα'. Για Θεωρία Αριθμών, Συνδυαστική και Πολυώνυμα, οι σημειώσεις στο site της ΕΜΕ είναι καλές για το 20ήμερο. Για Γεωμετρία το μόνο γιατρικό είναι το να λύσεις 1.000.000 ασκήσεις και μια επανάληψη στα σχολικά θεωρήματα (συνήθως δε χρειάζεται κάτι άλλο). Δώσε βάση στα εγγράψιμα και στο λεγόμενο 'κυνήγι' γωνιών. Αν διάβαζα κάτι extra αυτό θα ήταν ομοιοθεσία, ριζικούς άξονες, ευθεία Simpson. Η σειρά Γεωμετρία για Ολυμπιάδες (πάλι εκδόσεις Σαββάλας) είναι ένα καλό εργαλείο για αρχή αλλά πρέπει να ασχοληθείς επιλεκτικά, δεν έχεις χρόνο. Σε κάθε περίπτωση δώσε βάση στις Σημειώσεις της ΕΜΕ στην κατηγορία 'Διαγωνισμοί'. Καλή τύχη!

christodoulos703 · #43

Τα προταθεντα βιβλία είναι

Για αυτό πρέπει όλοι πιστεύω να προτείνουν κάτι που τους άρεσε.

Teh · #44

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 27, 2016 1:58 pm
Πρόβλημα 2

Αν $Q(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0, \ n\geq 1,$ τότε ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου

$\displaystyle{Q\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)-Q\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)}$ είναι $\displaystyle{\frac{4n}{2^n}}$

Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει γιατί ο συντελεστής βγαίνει $\displaystyle{\frac{4n}{2^n}}$ ? Δεν μπορώ να δω πως προκύπτει από το $\displaystyle{\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)^n-\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)^n}$ .

#45

Teh έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 22, 2018 8:03 pm

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 27, 2016 1:58 pm
Πρόβλημα 2

Αν $Q(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0, \ n\geq 1,$ τότε ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου

$\displaystyle{Q\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)-Q\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)}$ είναι $\displaystyle{\frac{4n}{2^n}}$
Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει γιατί ο συντελεστής βγαίνει $\displaystyle{\frac{4n}{2^n}}$ ? Δεν μπορώ να δω πως προκύπτει από το $\displaystyle{\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)^n-\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)^n}$ .

Έχουμε

$\displaystyle \left( \frac{(x+1)^2}{2}\right)^n - \left( \frac{(x-1)^2}{2}\right)^n = \frac{(x+1)^{2n} - (x-1)^{2n}}{2^n}$

Τώρα χρησιμοποιούμε το διωνυμικό θεώρημα για να πάρουμε

$\displaystyle (x+1)^{2n} = x^{2n} + \binom{2n}{1}x^{2n-1} + \binom{2n}{2}x^{2n-2} + \cdots$

και

$\displaystyle (x-1)^{2n} = x^{2n} - \binom{2n}{1}x^{2n-1} + \binom{2n}{2}x^{2n-2} + \cdots$

Οπότε ο μεγιστοβάθμιος όρος του

$\displaystyle \left( \frac{(x+1)^2}{2}\right)^n - \left( \frac{(x-1)^2}{2}\right)^n$

είναι ο $\frac{4n}{2^n} x^{2n-1}$

Αυτά προκύπτουν από τον όρο x^n

του

. Αλλά από όλους τους υπόλοιπους όρους ο μεγαλύτερος βαθμός που μπορούμε να πάρουμε είναι 2(n-1) < 2n-1

. Άρα ο $\frac{4n}{2^n} x^{2n-1}$ είναι και ο μεγιστοβάθμιος όρος του

$\displaystyle Q\left( \frac{(x+1)^2}{2}\right) - Q\left( \frac{(x-1)^2}{2}\right)$

#46

Teh έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 22, 2018 8:03 pm

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 27, 2016 1:58 pm
Πρόβλημα 2

Αν $Q(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0, \ n\geq 1,$ τότε ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου

$\displaystyle{Q\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)-Q\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)}$ είναι $\displaystyle{\frac{4n}{2^n}}$
Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει γιατί ο συντελεστής βγαίνει $\displaystyle{\frac{4n}{2^n}}$ ? Δεν μπορώ να δω πως προκύπτει από το $\displaystyle{\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)^n-\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)^n}$ .

Υπόδειξη: Η μεγαλύτερη δύναμη του

στο ανάπτυγμα που ψάχνεις προκύπτει από τον δεύτερο όρο του $(x+1)^{2n}$ και τον αντίστοιχο του $(x-1)^{2n}$ . Ο πρώτος όρος, που δίνει $x^{2n}$ , απλοποιείται.

Edit: Με πρόλαβε ο Δημήτρης, και πληρέστερα. Το αφήνω.

Teh · #47

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 22, 2018 8:35 pm

Teh έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 22, 2018 8:03 pm

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 27, 2016 1:58 pm
Πρόβλημα 2

Αν $Q(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0, \ n\geq 1,$ τότε ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου

$\displaystyle{Q\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)-Q\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)}$ είναι $\displaystyle{\frac{4n}{2^n}}$
Μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει γιατί ο συντελεστής βγαίνει $\displaystyle{\frac{4n}{2^n}}$ ? Δεν μπορώ να δω πως προκύπτει από το $\displaystyle{\left(\frac{(x+1)^2}{2}\right)^n-\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)^n}$ .
Έχουμε

$\displaystyle \left( \frac{(x+1)^2}{2}\right)^n - \left( \frac{(x-1)^2}{2}\right)^n = \frac{(x+1)^{2n} - (x-1)^{2n}}{2^n}$

Τώρα χρησιμοποιούμε το διωνυμικό θεώρημα για να πάρουμε

$\displaystyle (x+1)^{2n} = x^{2n} + \binom{2n}{1}x^{2n-1} + \binom{2n}{2}x^{2n-2} + \cdots$

και

$\displaystyle (x-1)^{2n} = x^{2n} - \binom{2n}{1}x^{2n-1} + \binom{2n}{2}x^{2n-2} + \cdots$

Οπότε ο μεγιστοβάθμιος όρος του

$\displaystyle \left( \frac{(x+1)^2}{2}\right)^n - \left( \frac{(x-1)^2}{2}\right)^n$

είναι ο $\frac{4n}{2^n} x^{2n-1}$

Αυτά προκύπτουν από τον όρο του . Αλλά από όλους τους υπόλοιπους όρους ο μεγαλύτερος βαθμός που μπορούμε να πάρουμε είναι . Άρα ο $\frac{4n}{2^n} x^{2n-1}$ είναι και ο μεγιστοβάθμιος όρος του

$\displaystyle Q\left( \frac{(x+1)^2}{2}\right) - Q\left( \frac{(x-1)^2}{2}\right)$

Σας ευχαριστώ πολύ

! Είχα μπλοκάρει και δεν σκέφτηκα καν το διωνυμικό θεώρημα και προσπαθούσα να το παραγοντοποιήσω.

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΓΑΛΩΝ

Μέλη σε σύνδεση