Ακέραια μήκη πλευρών

#1

: Απο Γκακόπουλο 1.png (9.83 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

Σε τρίγωνο ABC

φέρνω το ύψος $AD\,\,$ και τη διχοτόμος

που τέμνονται στο

.

Αν $2BC = AB + AC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{AP}}{{PD}} = 2\dfrac{{EP}}{{PB}}$ να βρείτε το τρίγωνο με αυτές

τις προδιαγραφές που να έχει ακέραια μήκη πλευρών, τα μικρότερα δυνατά.

Μου προτάθηκε από τον αγαπητό Θανάση Γκακόπουλο. Έχω λύση και τη δική του.

#2

Doloros έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 30, 2018 6:01 pm
Απο Γκακόπουλο 1.png

Σε τρίγωνο φέρνω το ύψος $AD\,\,$ και τη διχοτόμος που τέμνονται στο .

Αν $2BC = AB + AC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{AP}}{{PD}} = 2\dfrac{{EP}}{{PB}}$ να βρείτε το τρίγωνο με αυτές

τις προδιαγραφές που να έχει ακέραια μήκη πλευρών, τα μικρότερα δυνατά.

Μου προτάθηκε από τον αγαπητό Θανάση Γκακόπουλο. Έχω λύση και τη δική του.

: Ακέραια μήκη πλευρών..png (7.91 KiB) Προβλήθηκε 634 φορές

Από θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου:
$\displaystyle \frac{{AP}}{{PD}} = \frac{c}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{2EP}}{{PB}} = \frac{c}{{BD}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{EP}}{{PB}} = \frac{c}{{2BD}}}$ (1)

και $\displaystyle \frac{{EC}}{{AE}} = \frac{a}{c} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{b}{{AE}} = \frac{{a + c}}{c}}$ (2)

Θεώρημα Μενελάου στο BEC

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {APD} :$ $\displaystyle \frac{{EP}}{{PB}} \cdot \frac{{BD}}{{DC}} \cdot \frac{b}{{AE}} = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1),(2)}$ $\displaystyle DC = \frac{{a + c}}{2},BD = \frac{{a - c}}{2}$

$\displaystyle {b^2} - {c^2} = D{C^2} - B{D^2} \Leftrightarrow (b + c)(b - c) = (DC + DB)(DC - BD) \Leftrightarrow 2a(b - c) = ac,$ απ' όπου

παίρνουμε $c, a=\dfrac{5c}{4}, b=\dfrac{3c}{2}.$ Επειδή όμως είναι ακέραιες με τα μικρότερα δυνατά μήκη, θα είναι $\boxed{c=4, a=5, b=6}$

Ακέραια μήκη πλευρών

Ακέραια μήκη πλευρών

Re: Ακέραια μήκη πλευρών

Μέλη σε σύνδεση