Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

#1

Ισχυρισμός: Αν $f:{\mathbb{C}}\longrightarrow{\mathbb{C}}$ είναι ${\mathbb{C}}$ -παραγωγίσιμη στο $z_0=a+bi\in{\mathbb{C}}$ και οι $\frac{\partial f}{\partial x}$ , $\frac{\partial f}{\partial y}$ είναι συνεχείς σε μια περιοχή του z_0

(*), τότε

$\displaystyle \frac{d }{dz}f(z)\Big|_{z=z_0}=\mathop{\lim}\limits_{y\to b}\bigg(\mathop{\lim}\limits_{x\to a}\frac{f(x+yi)-f(a+bi)}{x+yi-(a+bi)}\bigg)=\mathop{\lim}\limits_{x\to a}\bigg(\mathop{\lim}\limits_{y\to b}\frac{f(x+yi)-f(a+bi)}{x+yi-(a+bi)}\bigg)\,.$

(*) Η συνθήκη για την συνέχεια των μερικών παραγώγων μπορεί να μην είναι απαραίτητη.

Σχόλιο: Οι επιφυλάξεις μου, όσον αφορά την εγκυρότητα του παραπάνω ισχυρισμού, έγκεινται στο ότι δεν γνωρίζουμε κάτι για την παραγωγισιμότητα της

σε μια περιοχή του z_0

. Κάποια ιδέα;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 02, 2018 10:19 am
Ισχυρισμός: Αν $f:{\mathbb{C}}\longrightarrow{\mathbb{C}}$ είναι ${\mathbb{C}}$ -παραγωγίσιμη στο $z_0=a+bi\in{\mathbb{C}}$ και οι $\frac{\partial f}{\partial x}$ , $\frac{\partial f}{\partial y}$ είναι συνεχείς σε μια περιοχή του (*), τότε

$\displaystyle \frac{d }{dz}f(z)\Big|_{z=z_0}=\mathop{\lim}\limits_{y\to b}\bigg(\mathop{\lim}\limits_{x\to a}\frac{f(x+yi)-f(a+bi)}{x+yi-(a+bi)}\bigg)=\mathop{\lim}\limits_{x\to a}\bigg(\mathop{\lim}\limits_{y\to b}\frac{f(x+yi)-f(a+bi)}{x+yi-(a+bi)}\bigg)\,.$

(*) Η συνθήκη για την συνέχεια των μερικών παραγώγων μπορεί να μην είναι απαραίτητη.

Σχόλιο: Οι επιφυλάξεις μου, όσον αφορά την εγκυρότητα του παραπάνω ισχυρισμού, έγκεινται στο ότι δεν γνωρίζουμε κάτι για την παραγωγισιμότητα της σε μια περιοχή του . Κάποια ιδέα;

Αν δεν κάνω λάθος ο ισχυρισμός είναι σωστός και η προυπόθεση είναι να είναι συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή
η συνάρτηση.

Ας το δούμε.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι a+ib=0

καθώς και

.

Αφού το f'(0)

υπάρχει ισχύουν οι Cauchy-Riemman στο

.

Δηλαδή αν f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)

τότε $u_{x}(0,0)=v_{y}(0,0),u_{y}(0,0)=-v_{x}(0,0)$

Εχουμε $\lim_{x\rightarrow 0}\lim_{y\rightarrow 0}\frac{u(x,y)}{x+iy}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{u(x,0)}{x}=u_{x}(0,0)$

όμοια και για τα άλλα όρια.

Η ισότητα προκύπτει λόγω των συνθηκών Cauchy-Riemman

Σημείωση.Εγινε διόρθωση τυπογραφικού.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 8:29 pm
...Αφού το υπάρχει ισχύουν οι Cauchy-Riemman στο .

Δηλαδή αν

τότε $u_{x}(0,0)=v_{y}(0,0),u_{y}(0,0)=-v_{x}(0,0)$

Εχουμε $\lim_{x\rightarrow 0}\lim_{y\rightarrow 0}\frac{u(x,y)}{x+iy}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{u(x,0)}{x}=u_{x}(0,0)$

όμοια και για τα άλλα όρια.

Η ισότητα προκύπτει λόγω των συνθηκών Cauchy-Riemman.

Σταύρο,

πολύ ωραία! Το ερώτημα-ισχυρισμός προέκυψε από την αναζήτηση της παραγώγου της συνάρτησης $f(z)=2\,\overline{z}-z\,{\overline{z}}^2$ , εκεί όπου αυτή υπάρχει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 9:12 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 8:29 pm
...Αφού το υπάρχει ισχύουν οι Cauchy-Riemman στο .

Δηλαδή αν

τότε $u_{x}(0,0)=v_{y}(0,0),u_{y}(0,0)=-v_{x}(0,0)$

Εχουμε $\lim_{x\rightarrow 0}\lim_{y\rightarrow 0}\frac{u(x,y)}{x+iy}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{u(x,0)}{x}=u_{x}(0,0)$

όμοια και για τα άλλα όρια.

Η ισότητα προκύπτει λόγω των συνθηκών Cauchy-Riemman.
Σταύρο,

πολύ ωραία! Το ερώτημα-ισχυρισμός προέκυψε από την αναζήτηση της παραγώγου της συνάρτησης $f(z)=2\,\overline{z}-z\,{\overline{z}}^2$ , εκεί όπου αυτή υπάρχει.

Γρηγόρη γεια.

Την συγκεκριμένη εγώ θα την έλυνα ως εξής:

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=2-2z\bar{z}$

Αφού ως προς $z,\bar{z}$ η συνάρτηση είναι συνεχής ,έχει μιγαδική παράγωγο ακριβώς

στα σημεία που είναι $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$ .

Δηλαδή στα $\left | z \right |=1$

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 9:52 pm
...Την συγκεκριμένη εγώ θα την έλυνα ως εξής:

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=2-2z\bar{z}$

Αφού ως προς $z,\bar{z}$ η συνάρτηση είναι συνεχής ,έχει μιγαδική παράγωγο ακριβώς

στα σημεία που είναι $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$ .

Δηλαδή στα $\left | z \right |=1$

Σταύρο,

το ζητούμενο είναι η εύρεση της παραγώγου (εκεί όπου υπάρχει). Το που είναι παραγωγίσιμη -σωστό το |z|=1

- είναι τυπικό.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 10:05 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 04, 2018 9:52 pm
...Την συγκεκριμένη εγώ θα την έλυνα ως εξής:

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=2-2z\bar{z}$

Αφού ως προς $z,\bar{z}$ η συνάρτηση είναι συνεχής ,έχει μιγαδική παράγωγο ακριβώς

στα σημεία που είναι $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$ .

Δηλαδή στα $\left | z \right |=1$
Σταύρο,

το ζητούμενο είναι η εύρεση της παραγώγου (εκεί όπου υπάρχει). Το που είναι παραγωγίσιμη -σωστό το - είναι τυπικό.

Εκεί που υπάρχει είναι $\frac{\partial f}{\partial z}$ .

Δηλαδή η απάντηση είναι ότι

$f'(z)=-(\bar{z})^{2}$ όταν $\left | z \right |=1$

Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

Re: Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

Re: Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

Re: Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

Re: Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

Re: Εναλλαγή ορίων μιγαδικής συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση