Γεωτριγονωμετρία!

glinos · #1

: Ορθογώνιο.png (20.04 KiB) Προβλήθηκε 1570 φορές

Έστω ορθογώνιο $AB\Gamma \Delta$ με $A\Delta =a, AB =b$ .

Να βρεθεί η $tan \omega$ συναρτήσει των πλευρών a,b

AIAS · #2

Φανης Θεοφανιδης · #3

Tolaso J Kos · #4

Δουλεύω στο επόμενο σχήμα:

$\displaystyle{\begin{tikzpicture}[scale=1.5] \draw [shift={(0,0)},color=green,fill=green,fill opacity=0.1] (0,0) -- (153.43:0.6) arc (153.43:206.57:0.6) -- cycle; \draw [shift={(0,0)},color=gray,fill=gray,fill opacity=0.1] (0,0) -- (26.57:0.6) arc (26.57:153.43:0.6) -- cycle; \draw (-2,1)-- (-2,-1); \draw (-2,-1)-- (2,-1); \draw (2,-1)-- (2,1); \draw (-2,1)-- (2,1); \draw (-2,1)-- (2,-1); \draw (-2,-1)-- (2,1); \draw (-2,1)-- (0,0); \draw (0,0)-- (2,-1); \draw (-2,-1)-- (0,0); \draw (0,0)-- (2,1); \begin{scriptsize} \fill (-2,1) circle (1.5pt); \draw (-2,1) node[above] {A}; \fill (-2,-1) circle (1.5pt); \draw (-2,-1) node[below] {B}; \fill (2,-1) circle (1.5pt); \draw (2,-1) node[below]{\text{\gr Γ}}; \fill (2,1) circle (1.5pt); \draw (2,1) node[above] {\text{\gr Δ}}; \fill (0,0) circle (1.5pt); \draw (0, -0.2) node {E}; \draw (0, 1) node[above]{\text{\gr α}}; \draw (-2, 0) node[left]{\text{\gr β}}; \end{scriptsize} \end{tikzpicture}}$

Ας δηλώσουμε με $\omega$ τη πράσινη γωνία. Τότε η γκρίζα γωνία είναι παραπληρωματική αυτής. Συμφέρει να δουλέψουμε με τη γκρίζα γωνία. Το $\mathrm{E}$ είναι το μέσο των διαγωνίων του παραλληλογράμμου. Από Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι $\mathrm{A \Gamma} = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ . Οπότε επειδή το $\mathrm{AE \Delta}$ είναι ισοσκελές τρίγωνο θα είναι

$\displaystyle{\mathrm{AE} = \mathrm{A \Delta} = \frac{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}{2}}$

Από νόμο συνημιτόνων θα είναι

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathrm{A \Delta}^2 = \mathrm{AE}^2 + \mathrm{E \Delta}^2 -2 \mathrm{AE} \cdot \mathrm{E \Delta} \cdot \cos \left ( 180^\circ - \omega \right ) &\Leftrightarrow \beta^2 = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{2} + \frac{ \sqrt{\alpha^2+\beta}^2 \cos \omega}{2}\\ &\Leftrightarrow \beta^2 = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{2} + \frac{ \left ( \alpha^2 + \beta^2 \right ) \cos \omega}{2} \\ &\Leftrightarrow \frac{\beta^2-\alpha^2}{ \alpha^2 + \beta^2} = \cos \omega \end{aligned}}$

Από τη βασική σχέση $\sin^2 \omega + \cos^2 \omega =1$ θα είναι

$\displaystyle{\begin{aligned} \sin \omega &= \sqrt{1 - \cos^2 \omega} \\ &=\sqrt{1 - \frac{\left (\beta^2-\alpha^2 \right )^2}{\left ( \alpha^2+\beta^2 \right )^2}} \\ &= \sqrt{\frac{\left ( \alpha^2+\beta^2 \right )^2 - \left ( \beta^2-\alpha^2 \right )^2}{\left ( \alpha^2+\beta^2 \right )^2}} \\ &= \frac{2 \alpha \beta}{\alpha^2 + \beta^2} \end{aligned}}$

Τέλος,

$\displaystyle{\tan \omega = \frac{\sin \omega}{\cos \omega} = \frac{\frac{2\alpha \beta}{\alpha^2+\beta^2}}{\frac{\beta^2-\alpha^2}{\alpha^2+\beta^2}} = \frac{2\alpha \beta}{\beta^2-\alpha^2}}$

που συμφωνεί με τους φίλους επάνω.

Έκανα τα εύκολα δύσκολα ε ; Δε χρειάζεται καν η γκρίζα γωνία. Δε πειράζει...

glinos · #5

Αλλιώς...

Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τετραπλεύρου με βάση τις διαγωνίους του.

Έστω D_1,D_2

οι διαγώνιοι του. Τότε

$E(AB\Gamma \Delta )=ab=\dfrac{1}{2}D_1D_2\cdot sin\omega$

Προφανώς $D_1=D_2=\sqrt{a^2+b^2}$ , και άρα

$\dfrac{1}{2}D_1^2\cdot sin\omega=ab \Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2}{2}\cdot sin\omega=ab \Leftrightarrow sin\omega=\dfrac{2ab}{a^2+b^2}$ .

Από την ταυτότητα $sin^2\omega+cos^2\omega=1$

βρίσκουμε το $cos\omega=\dfrac{| a^2-b^2|}{a^2+b^2}$

άρα $tan\omega=\dfrac{2ab}{| a^2-b^2 |}$

εφόσον το $AB\Gamma \Delta$ δεν είναι τετράγωνο.

#6

glinos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 21, 2018 10:55 pm
Ορθογώνιο.pngΈστω ορθογώνιο $AB\Gamma \Delta$ με $A\Delta =a, AB =b$ .

Να βρεθεί η $tan \omega$ συναρτήσει των πλευρών

: Γεωτριγωνομετρία.png (10.76 KiB) Προβλήθηκε 1392 φορές

Έστω

Είναι $\displaystyle ab = AH \cdot DB \Leftrightarrow AH = \frac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

$\displaystyle O{H^2} = A{O^2} - A{H^2} \Leftrightarrow O{H^2} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{4} - \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \Leftrightarrow OH = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

$\displaystyle \tan \omega = \frac{{AH}}{{OH}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \omega = \frac{{2ab}}{{{b^2} - {a^2}}}}$

Γεωτριγονωμετρία!

Γεωτριγονωμετρία!

Re: Γεωτριγονωμετρία!

Re: Γεωτριγονωμετρία!

Re: Γεωτριγονωμετρία!

Re: Γεωτριγονωμετρία!

Re: Γεωτριγονωμετρία!

Μέλη σε σύνδεση