Επαναληπτική

#1

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}}{|x|-1}$
Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $\displaystyle f$
Β. Να βρείτε τα σημεία τομής της $\displaystyle {{C}_{f}}$ με τους άξονες
Γ. Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle x$ για τις οποίες η $\displaystyle {{C}_{f}}$ είναι πάνω απ΄τον άξονα $\displaystyle {x}'x$
Δ. Να εξετάσετε αν η $\displaystyle f$ μπορεί να πάρει την τιμή $\displaystyle 1$ .

Tolaso J Kos · #2

exdx έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 15, 2018 8:35 pm
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}}{|x|-1}$
Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της $\displaystyle f$
Β. Να βρείτε τα σημεία τομής της $\displaystyle {{C}_{f}}$ με τους άξονες
Γ. Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle x$ για τις οποίες η $\displaystyle {{C}_{f}}$ είναι πάνω απ΄τον άξονα $\displaystyle {x}'x$
Δ. Να εξετάσετε αν η $\displaystyle f$ μπορεί να πάρει την τιμή $\displaystyle 1$ .

Γεια σου Γιώργη,

(α) Πρέπει $x^2 -4x+3 \geq 0$ για να ορίζεται η ρίζα, δηλ. $x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$ και επιπλέον πρέπει $|x| \neq 1$ δηλ. $x \neq \pm 1$ . Συνεπώς το πεδίο ορισμού της

είναι το $\displaystyle{\mathcal{A}_f = \left ( -\infty, -1 \right )\cup (-1, 1) \cup [3, +\infty)}$ .

(β) Η $\mathcal{C}_f$ τέμνει τον άξονα y'y

στο σημείο $\mathrm{A} \left( 0, - \sqrt{3} \right)$ αφού $f(0)=-\sqrt{3}$ ενώ τον άξονα x'x

στο σημείο $\mathrm{B} \left( 3, 0 \right)$ , διότι:

$\displaystyle{\begin{aligned} f(x) =0 &\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x^2-4x+3}}{\left | x \right |-1} =0 \\ &\Leftrightarrow \sqrt{x^2-4x+3} =0 \\ &\Leftrightarrow x^2-4x+3 =0 \\ &\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )\left ( x-3 \right ) =0 \\ &\!\overset{x \neq 1}{\Leftrightarrow } x =3 \end{aligned}}$
(γ) Η

γράφεται ως $\displaystyle{f(x) = \frac{\sqrt{x^2-4x+3}}{\left | x \right |-1} = \frac{\sqrt{(x-1)(x-3)}}{\left | x \right |-1}}$ . Είναι προφανές ότι για x>3

είναι

. Για $x \in (-1, 1)$ ο αριθμητής είναι θετικός ενώ ο παρανομαστής αρνητικός. Για x<-1

τόσο ο παρανομαστής όσο και ο αριθμητής είναι θετικοί. Συνεπώς η $\mathcal{C}_f$ είναι πάνω από τον άξονα x'x

στα διαστήματα $(3, +\infty)$ και $(-\infty, -1)$ .

(δ) Αρκεί να λυθεί η εξίσωση f(x)=1

. Όμως,

$\displaystyle{\begin{aligned} f(x)=1 &\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x^2-4x+3}}{\left | x \right |-1} =1 \\ &\Leftrightarrow \sqrt{x^2-4x+3} = \left | x \right |-1 \\ &\Leftrightarrow x^2-4x+3= x^2 -2|x| + 1 \\ &\Leftrightarrow 2|x| - 4x +2 =0 \\ &\Leftrightarrow |x|-2x+1 =0 \end{aligned}}$
Για $x \geq 0$ η τελευταία εξίσωση γίνεται $x-2x+1 =0 \Leftrightarrow x=1$ η οποία απορρίπτεται αφού δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της

. Για

η τελευταία εξίσωση γίνεται $-x-2x+1=0 \Leftrightarrow x =\frac{1}{3}$ η οποία επίσης απορρίπτεται αφού x<0

. Συνεπώς δεν υπάρχει

τέτοιο ώστε f(x)=1

.

Πολύ ωραίο θέμα για εξετάσεις αλλά και για επανάληψη. Έχει αρκετές παγίδες.

Επαναληπτική

Επαναληπτική

Re: Επαναληπτική

Μέλη σε σύνδεση