Ελάχιστη Περίμετρος

Ορέστης Λιγνός · #1

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ , με ακέραιες πλευρές. Ισχύουν ότι :

$\bullet$ $\widehat{C}>90^\circ$ .

$\bullet$ $\widehat{A}=2\widehat{B}$ .

Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή περίμετρος του τριγώνου.

AIAS · #2

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 14, 2018 11:46 pm
Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ , με ακέραιες πλευρές. Ισχύουν ότι :

$\bullet$ $\widehat{C}>90^\circ$ .

$\bullet$ $\widehat{A}=2\widehat{B}$ .

Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή περίμετρος του τριγώνου.

Η τριάδα ( θα εξετάσω αν είναι η ζητούμενη)

$a = 28\,\,\,,\,\,\,b = 16\,\,\,,\,\,c = 33$ με περίμετρο $2\tau = 77$

Τελικά ναι αφού ,

Η συνθήκη είναι ${a^2} - {b^2} = bc \Leftrightarrow {b^2} + cb - {a^2} = 0\,\,$ . Με διακρίνουσα

$\Delta = {c^2} + {(2a)^2}$ . Πρέπει χωρίς όμως να είναι αρκετό τα c,2a

( με

)

αποτελούν κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου από Πυθαγόρειες τριάδες .

Επειδή $C > {90^0}$ προκύπτει $k > m\sqrt 3$ . Επιλέγω $k \geqslant [m\sqrt 3 + \dfrac{1}{2}]$

Το σύμβολο $[\,x]$ παριστάνει το ακέραιο μέρος του

$b = {m^2},c = {k^2} - {m^2}\,\,\,,\,\,a = km$

Με $m = 1,m = 2\,\,,m = 3$ δεν προκύπτουν αμβλυγώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές

με μια γωνία διπλάσια της άλλης .

Με m = 4

προκύπτει

, έτσι

$a = km = 28\,\,\,,\,\,b = {m^2} = 16\,\,,\,\,c = {k^2} - {m^2} = 33$ που έχει $\widehat C > {90^0}$

Ελάχιστη Περίμετρος

Ελάχιστη Περίμετρος

Re: Ελάχιστη Περίμετρος

Μέλη σε σύνδεση