Διαιρετότητα

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Number
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Τρί Απρ 24, 2018 7:53 pm

Διαιρετότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Number » Σάβ Μάιος 12, 2018 7:46 pm

Αν a,b,c ακέραιοι να δείξετε ότι (a-b)(b-c)(c-a)+4\not\equiv 0 (mod 7) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6171
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Διαιρετότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Μάιος 13, 2018 6:24 pm

Υποθέτουμε ότι υπάρχουν ακέραιοι \displaystyle{a,b,c} ώστε \displaystyle{(a-b)(b-c)(c-a)\equiv -4\mod 7}.

Αν \displaystyle{a-b=x,b-c=y,} είναι \displaystyle{c-a=-(x+y)} και η προηγούμενη σχέση γράφεται διαδοχικά

\displaystyle{-xy(x+y)\equiv 4\mod 7\implies 3xy(x+y)\equiv -12\mod 7\implies 3xy(x+y)\equiv 2\mod 7\implies }

\displaystyle{\implies (x+y)^3-x^3-y^3\equiv 2\mod 7.}

Εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει \displaystyle{n^3\equiv 0,1,-1\mod 7} για κάθε \displaystyle{n}.

Άρα η μόνη περίπτωση να είναι μια παράσταση της μορφής \displaystyle{A^3-B^3-C^3\equiv 2\mod 7} είναι να είναι ένας τουλάχιστον \displaystyle{\equiv 0\mod 7}.
Τότε όμως αυτό αντικρούει την \displaystyle{xy(x+y)\equiv -4\mod 7.}


Μάγκος Θάνος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2621
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Διαιρετότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 13, 2018 8:09 pm

Λίγο διαφορετικά.
Οπως παραπάνω στην απόδειξη του Θάνου αρκεί να δείξουμε ότι η

\displaystyle{-xy(x+y)\equiv 4\mod 7
δεν έχει λύσεις.

Στο \mathbb{Z}_{7} γράφεται

yx^{2}+y^{2}x-4=0(1)

Προφανώς y\neq 0

οπότε η (1) είναι ένα τριώνυμο ως προς x στο σώμα \mathbb{Z}_{7} .

Για να έχει λύση πρέπει η διακρίνουσα y^{4}+16y=y^{4}+2y

να είναι τέλειο τετράγωνο.

Τα τέλεια τετράγωνα είναι εκτός του 0 τα 1,4,2.

Η τιμή της διακρίνουσας είναι 3,6,6,5,3,5 για τις μη μηδενικές τιμές του y.

Αφου η διακρίνουσα δεν είναι τέλειο τετράγωνο στο \mathbb{Z}_{7}

δεν υπάρχει λύση


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8238
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διαιρετότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Μάιος 13, 2018 8:41 pm

Σχετίζεται άμεσα με το πρόβλημα 3 της JBMO του 2016. Δείτε το π.χ. εδώ. (Ήταν κατασκευή του Σιλουανού.)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11477
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαιρετότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μάιος 14, 2018 8:02 am

Number έγραψε:
Σάβ Μάιος 12, 2018 7:46 pm
Αν a,b,c ακέραιοι να δείξετε ότι (a-b)(b-c)(c-a)+4\not\equiv 0 (mod 7) .
H άσκηση μπορεί να λυθεί χωρίς καθόλου φαντασία αλλά με τίμημα τις πολλές περιπτώσεις, οι οποίες όμως με
τετριμμένα τεχνάσματα δεν είναι τόσο πολλές όσο δείχνουν. Συγκεκριμένα, θέτοντας x=a-b, y=b-c οπότε
x+y=a-c έχουμε να λύσουμε την xy(x+y)=4 \mod 7. Εργαζόμενοι \mod 7 μπορούμε να εξετάσουμε τα
υπόλοιπα δια 7 σαρώνοντας όλες τις περιπτώσεις των x,y. Λόγω συμμετρίας είναι, χωρίς βλάβη, 6\ge x \ge y \ge 0
δηλαδή έχουμε τις 28 περιπτώσεις (x,y)= (0,0), \, (1,0), \, (1,1), \, (2,0), \, (2,1) , \, (2,2), \, ... \, , (6,6).

Μπορούμε αμέσως αμέσως να διώξουμε όλα τα 0 που εμφανίζονται είτε ως x είτε ως y είτε ως x+y. Έτσι
φεύγουν τα (x,y)= (0,0), \, (1,0), \,  (2,0), \, ... \, , (6,0) αλλά και τα (x,y)= (4,3), \, (5,2), \,  (6,1). Μένουν
18 περιπτώσεις, Μου πήρε ούτε δύο λεπτά για την σάρωση. Δείγμα

1) Για (x,y)=(1,1) δίνει xy(x+y) =1\cdot 1 \cdot 2 = 2 (απορρίπτεται),
2) Για (x,y)=(2,1) δίνει xy(x+y) =2\cdot 1 \cdot 3 = 6 (απορρίπτεται),
3) Για (x,y)=(2,2) δίνει xy(x+y) =2\cdot 2 \cdot 4 = 16 \equiv 2 (απορρίπτεται),
...
18) Για (x,y)=(6,6) δίνει xy(x+y) =6\cdot 6 \cdot 12 \equiv (-1)(-1)5=5 (απορρίπτεται).

Ως δώρο βγήκε ότι ούτε η xy(x+y)=3 \mod 7 έχει λύση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες