Περιγεγραμμένος

[TasosBat]

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και το ύψος του . Η μεσοκάθετος της τέμνει το στο . Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο . Να αποδείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου βρίσκεται πάνω στην .

[george visvikis]

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και το ύψος του . Η μεσοκάθετος της τέμνει το στο . Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο . Να αποδείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου βρίσκεται πάνω στην .

Έστω ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος τέμνει την στο

Περιγεγραμμένος..png (16.33 KiB) Προβλήθηκε 1292 φορές

To είναι ισοσκελές τραπέζιο, οπότε Αλλά λόγω του εγγεγραμμένου και του

ισοσκελούς τριγώνου οι πράσινες γωνίες θα είναι ίσες μεταξύ τους, οπότε το είναι παραλληλόγραμμο,

άρα η είναι κάθετη στη η είναι διάμετρος του κύκλου και το ζητούμενο έπεται.

[Doloros]

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και το ύψος του . Η μεσοκάθετος της τέμνει το στο . Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο . Να αποδείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου βρίσκεται πάνω στην .

Αν η μεσοκάθετος στο κόψει τη , τότε το είναι ορθόκεντρο στο τρίγωνο

του οποίου ο περιγεγραμμένος κύκλος θα διέρχεται από το , συμμετρικό

του ως προς τη . Έστω το σημείο τομής των .

Αβίαστα προκύπτει ότι οι με ίδιο χρώμα γωνίες (στο σχήμα) είναι ίσες μεταξύ τους .

Περιγεγραμμενος.png (45.1 KiB) Προβλήθηκε 1269 φορές

Επειδή η , το σημείο ανήκει στη

μεσοκάθετό του . Αλλά από το εγγράψιμο τετράπλευρο

( γιατί τα βλέπουν υπό ίσες γωνίες την ) έχω :

, άρα το είναι το περίκεντρο του τριγώνου .

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και το ύψος του . Η μεσοκάθετος της τέμνει το στο . Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο . Να αποδείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου βρίσκεται πάνω στην .

είναι διάμετρος του κύκλου και οι σημειωμένες πράσινες γωνίες είναι ίσες

Έτσι, μεσοκάθετος της άρα επί της ανήκει το κέντρο του κύκλου

περιγεγραμμένος.png (12.7 KiB) Προβλήθηκε 1250 φορές

[TasosBat]

Εξαιρετικές και οι τρεις λύσεις. Εγώ είχα κατά νου την λύση του κ. Μιχάλη ( Μιχάλης Τσουρακάκης). Bonus ερώτημα: Ισχύει το ζητούμενο αν το είναι αμβλυγώνιο;

[Doloros]

Εξαιρετικές και οι τρεις λύσεις. Εγώ είχα κατά νου την λύση του κ. Μιχάλη ( Μιχάλης Τσουρακάκης). Bonus ερώτημα: Ισχύει το ζητούμενο αν το είναι αμβλυγώνιο;

Ναι ισχύει . το περίκεντρο είναι εν γένει σημείο της ευθείας