Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

Συντονιστές: R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου, m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης

saranick
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 16, 2009 11:15 am
Τοποθεσία: Νέα Μάκρη Αττικής
Επικοινωνία:

Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από saranick » Σάβ Απρ 28, 2018 1:35 pm

Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R\rightarrow R, με
με f(x)=e^x-\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx , για κάθε x \in R.
1. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x)=e^x-1, x\in R..

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9670
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 28, 2018 2:13 pm

saranick έγραψε:
Σάβ Απρ 28, 2018 1:35 pm
Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R\rightarrow R, με
με f(x)=e^x-\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx , για κάθε x \in R.
1. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x)=e^x-1, x\in R..

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.
Θέτω \displaystyle \int_0^1 {{e^{1 - x}}f(x)dx = a \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x) = {e^x}}  - a και

\displaystyle a = \int_0^1 {{e^{1 - x}}} ({e^x} - a)dx = \left[ {ex + a{e^{1 - x}}} \right]_0^1 = e + a - ae \Leftrightarrow \boxed{a=1} , απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Απρ 28, 2018 2:23 pm

saranick έγραψε:
Σάβ Απρ 28, 2018 1:35 pm

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.
Εννοείτε ότι θα έπρεπε να δίνεται ως \displaystyle f(x) = {e^x} - \int_0^1 {{e^{1 - t}}} f(t)dt ;


Kαλαθάκης Γιώργης
saranick
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 16, 2009 11:15 am
Τοποθεσία: Νέα Μάκρη Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από saranick » Σάβ Απρ 28, 2018 2:35 pm

Αυτό πιστεύω και εγώ.
Νομίζω οτι δεν στέκει αλλιώς η ασκηση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3225
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Απρ 28, 2018 3:46 pm

exdx έγραψε:
Σάβ Απρ 28, 2018 2:23 pm
saranick έγραψε:
Σάβ Απρ 28, 2018 1:35 pm

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.
Εννοείτε ότι θα έπρεπε να δίνεται ως \displaystyle f(x) = {e^x} - \int_0^1 {{e^{1 - t}}} f(t)dt ;
Όχι. Μια χαρά είναι διατυπωμένη η άσκηση.
Τουλάχιστον για κανονικά Μαθηματικά.


nikkru
Δημοσιεύσεις: 339
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Σάβ Απρ 28, 2018 4:53 pm

saranick έγραψε:
Σάβ Απρ 28, 2018 1:35 pm
Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:R\rightarrow R, με
με f(x)=e^x-\int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx , για κάθε x \in R.
1. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f(x)=e^x-1, x\in R..

Θεωρώ οτι η σχέση με το ολοκλήρωμα δεν είναι σωστά δοσμένη.
Θα ήθελα την άποψή σας και τη λύση της.
Η μεταβλητή ολοκλήρωσης δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα του ολοκληρώματος,

οπότε είτε γράψουμε \int_{0}^{1}e^{1-x}f(x)dx είτε γράψουμε \int_{0}^{1}e^{1-t}f(t)dt είναι το ίδιο πράγμα.

Εξάλλου στη συγκεκριμένη άσκηση δεν μπερδεύονται η μεταβλητή της f (στο αριστερό μέλος της ισότητας) με την μεταβλητή ολοκλήρωσης.

Η λύση της άσκησης είναι βέβαια αυτή που δίνει ο Γιώργος παραπάνω.


saranick
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 16, 2009 11:15 am
Τοποθεσία: Νέα Μάκρη Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από saranick » Σάβ Απρ 28, 2018 5:49 pm

Πράγματι η μεταβλητή στο ολοκληρωμα είναι ναι μεν ελεύθερη, αλλά δεν εξαρτάται από την δική μας επιλογή. Πόσο φανερό είναι όμως στα μάτια των μαθητών; Είναι κάτι που πρέπει να θεωρείται δεδομένο ότι θα το καταλάβουν οι μαθητές;


saranick
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 16, 2009 11:15 am
Τοποθεσία: Νέα Μάκρη Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από saranick » Σάβ Απρ 28, 2018 5:52 pm

Δηλαδή αν αυτό το θέμα έμπαινε σε πανελλήνιες εξετάσεις θα θεωρούσαμε ότι είναι σωστά διατυπωμένο;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9670
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 28, 2018 6:52 pm

saranick έγραψε:
Σάβ Απρ 28, 2018 5:49 pm
Πράγματι η μεταβλητή στο ολοκληρωμα είναι ναι μεν ελεύθερη, αλλά δεν εξαρτάται από την δική μας επιλογή. Πόσο φανερό είναι όμως στα μάτια των μαθητών; Είναι κάτι που πρέπει να θεωρείται δεδομένο ότι θα το καταλάβουν οι μαθητές;
Γιατί να μην το καταλάβουν οι μαθητές; Αντιγράφω από το σχολικό βιβλίο:

Στην έκφραση \displaystyle \int_\alpha ^\beta  {f(x)dx} το γράμμα x είναι μια μεταβλητή και μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμα. Έτσι, για

παράδειγμα, οι εκφράσεις \displaystyle \int_\alpha ^\beta  {f(x)dx}, \displaystyle \int_\alpha ^\beta  {f(t)dt} συμβολίζουν το ίδιο ορισμένο ολοκλήρωμα και είναι πραγματικός αριθμός.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Απρ 29, 2018 12:02 am

Η συζήτηση έχει ξαναγίνει , όμως δεν τη βρίσκω .
Το συμπέρασμα , με το οποίο συμφωνώ , ήταν όπως η δημοσίευση του Γιώργου ακριβώς πάνω .


Kαλαθάκης Γιώργης
saranick
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 16, 2009 11:15 am
Τοποθεσία: Νέα Μάκρη Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Από ΨΕΒ 11ο Διαγώνισμα.

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από saranick » Κυρ Απρ 29, 2018 5:28 am

Ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας.
Πιστεύω ομως οτι Παρόλο που το σχολικό βιβλίο αναφέρει καθαρά τη δυνατότητα αλλαγής της μεταβλητής, οι περισσότεροι μαθητές δεν θα μπορούσαν να διακρίνουν την τοπικότητα της μεταβλητής χ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης