Εύρεση γωνιών

Γιώργος Μήτσιος · #1

Γεια σας.
Για το τρίγωνο ABC

ισχύουν : $a^{2}-c^{2}=ab$ και $cosB=2cosA+\sqrt{3}sinB$ .
Nα βρεθούν οι γωνίες του.
Β' Λυκείου... ώρες για τους μαθητές.
Ευχαριστώ Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος · #2

Επαναφορά... στην διάθεση όλων!

: 26-4-18 Εύρεση γωνιών PNG.PNG (6.36 KiB) Προβλήθηκε 1042 φορές

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 14, 2018 12:49 pm
Γεια σας.
Για το τρίγωνο ισχύουν : $a^{2}-c^{2}=ab$ και $cosB=2cosA+\sqrt{3}sinB$ .
Nα βρεθούν οι γωνίες του.
Β' Λυκείου... ώρες για τους μαθητές.
Ευχαριστώ Γιώργος.

: Γωνίες.png (8.74 KiB) Προβλήθηκε 1033 φορές

$\displaystyle \frac{1}{2}\cos B - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin B = \cos A \Leftrightarrow \cos (B + {60^0}) = \cos A,$ κι επειδή είναι γωνίες τριγώνου, $\boxed{\widehat A=\widehat B+60^0}$ (1)

Από νόμο ημιτόνων: $\displaystyle \frac{{{a^2}}}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{{{b^2}}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{{c^2}}}{{{{\sin }^2}C}} = \frac{{{a^2} - {c^2}}}{{{{\sin }^2}A - {{\sin }^2}C}} \Rightarrow \frac{{{a^2} - {c^2}}}{{{{\sin }^2}A - {{\sin }^2}C}} = \frac{{ab}}{{\sin A\sin B}}$

Άρα: $\displaystyle {\sin ^2}A - {\sin ^2}C = \sin A\sin B \Leftrightarrow (\sin A - \sin C)(\sin A + \sin C) = \sin A\sin B \Leftrightarrow$

$\displaystyle 4\sin \frac{{A - C}}{2}\cos \frac{{A + C}}{2}\sin \frac{{A + C}}{2}\cos \frac{{A - C}}{2} = \sin A\sin B \Leftrightarrow \sin (A - C)\sin (A + C) = \sin A\sin B$

κι επειδή $\displaystyle \sin (A + C) = \sin B \ne 0,$ θα είναι $\displaystyle \widehat A + \widehat C = {180^0} - \widehat A \Leftrightarrow$ $\boxed{\widehat A=90^0+\frac{\widehat C}{2}}$ (2)

Από

προκύπτουν οι γωνίες που φαίνονται στο σχήμα.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Γιώργο σ' ευχαριστώ για την ανταπόκριση και επί του παρόντος !
Στην ουσία ο Γιώργος με χρήση και της τριγ. ταυτότητας $\eta \mu ^{2}x -\eta \mu ^{2}y=\eta \mu \left ( x-y \right )\cdot \eta \mu \left ( x+y \right )$
μας πρόσφερε μια ακόμη απόδειξη

της πρότασης στο τέλος του θέματος αυτού.
Η τελευταία αυτή πρόταση μπορεί να φανεί χρήσιμη σε δύο άλλα θέματα που έχω θέσει
και παραμένουν -για την ώρα- ατακτοποίητα..
Φιλικά Γιώργος.

Εύρεση γωνιών

Εύρεση γωνιών

Re: Εύρεση γωνιών

Re: Εύρεση γωνιών

Re: Εύρεση γωνιών

Μέλη σε σύνδεση