Πεδίο κλίσεων

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f\in \mathcal{C}^2 \left(\mathbb{R} \right)$ με ${\rm div} \left( {\rm grad} f \right)=0$ και $\mathbb{D} \subseteq \mathbb{R}^2$ ένα $\mathcal{C}^1$ κανονικό χωρίο. Δείξατε ότι:

$\displaystyle{\int \limits_{\mathbb{D}} \left ( \frac{\partial f}{\partial y} , -\frac{\partial f}{\partial x} \right ) \cdot {\rm d}(x, y) =0}$
Εξετάσατε αν το $\bar{f}(x, y)=(2x\cos y , -x^2 \sin y )$ είναι πεδίο κλίσεων και αν είναι βρείτε ένα δυναμικό του.

Θέμα εξετάσεων Απειροστικού IV σε μαθηματικό τμήμα.

#2

(i) Από το θεώρημα του Green είναι

$\displaystyle \displaystyle{\int \limits_{\mathbb{D}} \left ( \frac{\partial f}{\partial y} , -\frac{\partial f}{\partial x} \right ) \cdot {\rm d}(x, y) = \int_{\mathbb{D}} \left(-\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} -\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right) \, {\mathrm d}x \, {\mathrm d}y = \int_{\mathbb{D}} \left(-\nabla^2 f\right) \, {\mathrm d}x \, {\mathrm d}y = 0$

(Το ζητούμενο ολοκλήρωμα θα έπρεπε να είναι γύρω από την καμπύλη

που περικλείει το χωρίο $\mathbb{D}$ . Ίσως όμως να χρησιμοποιήθηκαν διαφορετικοί συμβολισμοί στο μάθημα.)

(ii) Υποψιάζομαι ότι πεδίο κλίσεων είναι το "conservative field".

Έστω $\varphi = x^2 \cos{y}$ . Τότε $\nabla \varphi = 2x \cos{y} \, \mathbf{i} - x^2 \sin{y}\, \mathbf{j} = \bar{f}$ , οπότε το $\bar{f}$ είναι πεδίο κλίσεων και ένα δυναμικό του είναι το $\varphi = x^2 \cos{y}$ .

Φαντάζομαι ο εξεταστής θα ήθελε επιπλέον και την πράξη

$\displaystyle \nabla \curl \bar{f} = \left(\frac{\partial f}{\partial x}(-x^2 \sin{y}) - \frac{\partial f}{\partial y}(2x \cos{y}) \right)\mathbf{k} = (-2x\sin{y}+2x\sin{y})\mathbf{k} = \mathbf{0}$

οπότε το $\bar{f}$ είναι πεδίο κλίσεων.

Tolaso J Kos · #3

Ουπς... από τη βιασύνη μου να το γράψω το θέμα έκανα τυπογραφικό. Είναι:

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 17, 2018 10:54 am

Έστω $f\in \mathcal{C}^2 \left(\mathbb{R} \right)$ με ${\rm div} \left( {\rm grad} f \right)=0$ και $\mathbb{D} \subseteq \mathbb{R}^2$ ένα $\mathcal{C}^1$ κανονικό χωρίο. Δείξατε ότι:

$\displaystyle{\int \limits_{\partial \mathbb{D}} \left ( \frac{\partial f}{\partial y} , -\frac{\partial f}{\partial x} \right ) \cdot {\rm d}(x, y) =0}$

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 17, 2018 12:01 pm
Ουπς... από τη βιασύνη μου να το γράψω το θέμα έκανα τυπογραφικό. Είναι:

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 17, 2018 10:54 am

Έστω $f\in \mathcal{C}^2 \left(\mathbb{R} \right)$ με ${\rm div} \left( {\rm grad} f \right)=0$ και $\mathbb{D} \subseteq \mathbb{R}^2$ ένα $\mathcal{C}^1$ κανονικό χωρίο. Δείξατε ότι:

$\displaystyle{\int \limits_{\partial \mathbb{D}} \left ( \frac{\partial f}{\partial y} , -\frac{\partial f}{\partial x} \right ) \cdot {\rm d}(x, y) =0}$

Μετά από την διόρθωση:

Για την συνάρτηση $f\in{\cal{C}}^2({\mathbb{R}}^2)$ ισχύει
$\begin{aligned} {\rm{div}}\,(\grad{f})=0&\quad\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \Big(\frac{\partial}{\partial{x}},\frac{\partial}{\partial{y}}\Big)\cdot\Big(\frac{\partial{f}}{\partial{x}},\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\Big)=0&\quad\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}}=0&\quad(1) \end{aligned}$
Η συνάρτηση $\overline{g}(x,y):=\big(\frac{\partial}{\partial{y}}f(x,y),-\frac{\partial}{\partial{x}}f(x,y)\big)\,, \; (x,y)\in{\mathbb{R}}^2$ και το $D\subset{\mathbb{R}}^2$ πληρούν τις συνθήκες του θεωρήματος του Green. Επομένως ισχύει
$\begin{aligned} \mathop{\oint}\limits_{\partial D}{\Big(\frac{\partial}{\partial{y}}f(x,y),-\frac{\partial}{\partial{x}}f(x,y)\Big)\cdot d(x,y)}&=\mathop{\iint}\limits_{D}{\Big(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\Big(-\frac{\partial}{\partial{x}}f(x,y)\Big)-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\Big(\frac{\partial}{\partial{y}}f(x,y)\Big)\Big)\, d(x,y)}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\iint}\limits_{D}{\Big(-\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}f(x,y)-\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}f(x,y)\Big)\, d(x,y)}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=-\mathop{\iint}\limits_{D}{\Big(\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}f(x,y)+\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}f(x,y)\Big)\, d(x,y)}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{(1)}{=}-\mathop{\iint}\limits_{D}0\, d(x,y)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=0\,. \end{aligned}$

Υ.Γ. Ουσιαστικά είναι η ίδια λύση που έδωσε ο Δημήτρης παραπάνω, ο οποίος ακολουθώντας το μαθηματικό του ένστικτο "παρέκαμψε" το τυπογραφικό λάθος.

Πεδίο κλίσεων

Πεδίο κλίσεων

Re: Πεδίο κλίσεων

Re: Πεδίο κλίσεων

Re: Πεδίο κλίσεων

Μέλη σε σύνδεση