Δύο ασκήσεις από ένα διαγώνισμα

Ιστοσελίδα · #1

Δύο θέματα από ένα διαγώνισμα...

Θέμα Α.
Δίνεται η συνάρτηση

με $f(x) = \frac{\sin{x-1}}{x^2 + x -2}.$ Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια :
i) $\lim_{x \to + \infty} f(x)$ .
ii) $\lim_{x \to 2} f(x)$ .
iii) $\lim_{x \to x_0} f(x) , x_0 \in \mathbb{R}-\{2\}$ .

Θέμα Β.

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrrow \mathbb{R}$ με $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ , η οποία είναι και 1-1

, ώστε:

$\displaystyle{\displaystyle f(x) - x \leq 0 , \forall x \in \mathbb{R}}$
i. Να υπολογιστούν τα όρια: $\lim_{x \to - \infty} f(x)$ και $\lim_{x \to + \infty} f^{-1}(x)$ .
ii. Αν επιπλέον ισχύει ότι: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin{x}} = l \in \mathbb{R}$ , να βρεθεί το

.

Friedoon · #2

polysot έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 03, 2018 11:35 pm
Θέμα Β.

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrrow \mathbb{R}$ με $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ , η οποία είναι και , ώστε:

$\displaystyle{\displaystyle f(x) - x \leq 0 , \forall x \in \mathbb{R}}$
i. Να υπολογιστούν τα όρια: $\lim_{x \to - \infty} f(x)$ και $\lim_{x \to + \infty} f^{-1}(x)$ .
ii. Αν επιπλέον ισχύει ότι: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin{x}} = l \in \mathbb{R}$ , να βρεθεί το .

i)Επειδή $f(x)\leq x$ κοντά στο $-\infty$ και $\lim_{x \to -\infty}x=-\infty$ έχουμε $\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$

Θέτουμε όπου

το $f^{-1}(x)$ στη δοθείσα ανισότητα και παίρνουμε $x \leq f^{-1}(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}}$

και ακόμα ισχύει $\lim_{x \to +\infty}x=+\infty$ και άρα $\lim_{x \to +\infty}f^{-1}(x)=+\infty$

ii) Για κάθε $x\in (-\dfrac{\pi}{2},0)$ ισχύει $f(x)\leq x \Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{\sin{x}} \ge \dfrac{x}{\sin{x}}$

άρα $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{f(x)}{\sin{x}} =l \ge \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{\sin{x}}=1$

Για κάθε $x\in (0,\dfrac{\pi}{2})$ ισχύει $f(x)\leq x \Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{\sin{x}} \leq \dfrac{x}{\sin{x}}$

άρα $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x)}{\sin{x}} =l \leq \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\sin{x}}=1$

άρα $1\leq l \leq 1 \Leftrightarrow l=1$

Σταμ. Γλάρος · #3

polysot έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 03, 2018 11:35 pm
Δύο θέματα από ένα διαγώνισμα...

Θέμα Α.
Δίνεται η συνάρτηση με $f(x) = \frac{\sin{x-1}}{x^2 + x -2}.$ Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια :
i) $\lim_{x \to + \infty} f(x)$ .
ii) $\lim_{x \to 2} f(x)$ .
iii) $\lim_{x \to x_0} f(x) , x_0 \in \mathbb{R}-\{2\}$ .

Θέμα Β.

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrrow \mathbb{R}$ με $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ , η οποία είναι και , ώστε:

$\displaystyle{\displaystyle f(x) - x \leq 0 , \forall x \in \mathbb{R}}$
i. Να υπολογιστούν τα όρια: $\lim_{x \to - \infty} f(x)$ και $\lim_{x \to + \infty} f^{-1}(x)$ .
ii. Αν επιπλέον ισχύει ότι: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin{x}} = l \in \mathbb{R}$ , να βρεθεί το .

Καλησπέρα

και Καλή Χρονιά!
Χρόνια πολλά, καλά και δημιουργικά σε όλους!
Μια προσπάθεια στο θέμα Α ...
i) Είναι $f(x)=\dfrac{sinx -1}{x^2}\cdot \dfrac{1}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}= g(x)\cdot \dfrac{1}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}$ , με $g(x) = \dfrac{sinx-1}{x^2}$

Στη συνέχεια έχουμε : $\left | g(x) \right |= \left | \dfrac{sinx-1}{x^2} \right | \leqslant \dfrac{|sinx|+|-1|}{x^2}\leq \dfrac{2}{x^2}$ $\Leftrightarrow$ $-\dfrac{2}{x^2}\leq g(x)\leq \dfrac{2}{x^2}$ .
Άρα από Κ.Π. συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }g(x)=0$ .
Επίσης $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{1}{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}} = 1$ .

Συνεπώς και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0$ .

ii) Η συνάρτηση

είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ως πηλίκον συνεχών συναρτήσεων.
Το πεδίο ορισμού της είναι το $D_{f}=(-\infty ,-2)\cup (-2,1)\cup (1,+\infty )$ .
Συνεπώς $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 2 }f(x)=f(2)$ .

iii) Για $x_{o}\neq -2 , x_{o}\neq 1$ όπως και παραπάνω έχουμε $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_o }f(x)=f(x_o)$ .

Τώρα για x_o = -2

είναι $-\pi <-2<\pi \Rightarrow sin(-2)<0.$
Άρα $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -2 }(sin(-2)-1) <0$ .
Για x<-2

έχουμε

και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -2 }(x+2)(x-1)= 0$ ,
οπότε : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -2^{-} }\dfrac{1}{(x+2)(x-1)}}=+\infty$ .
Άρα $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -2^{-} } f(x) = - \infty$ .
Ομοίως για x>-2

προκύπτει $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -2^{+} } f(x) = + \infty$ .
Επομένως δεν υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -2 } f(x)$ .

Ομοίως προκύπτει ότι δεν υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1 } f(x)$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Δύο ασκήσεις από ένα διαγώνισμα

Δύο ασκήσεις από ένα διαγώνισμα

Re: Δύο ασκήσεις από ένα διαγώνισμα

Re: Δύο ασκήσεις από ένα διαγώνισμα

Μέλη σε σύνδεση