Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

#1

Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο IR με f(0) = 1 .Αν η συνάρτηση $g(x) = \frac {f(x)}{x^2+1}$ είναι αρχική της f, τότε

α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη

β) Να βρεθεί ο τύπος της f ( ή να αποδειχθεί ότι $f(x) = (x^2+1) e^{\frac {x^3}{3} + x}$ , εκτός αν από βιασύνη έχω κάνει λάθος).

γ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

δ) Να βρεθεί το ολοκλήρωμα
$I= \int_0^1 {f(x)dx$

Μπάμπης

ZITAVITA · #2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο IR με f(0) = 1 .Αν η συνάρτηση $g(x) = \frac {f(x)}{x^2+1}$ είναι αρχική της f, τότε

α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη

β) Να βρεθεί ο τύπος της f ( ή να αποδειχθεί ότι $f(x) = (x^2+1) e^{\frac {x^3}{3} + x}$ , εκτός αν από βιασύνη έχω κάνει λάθος).

γ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

δ) Να βρεθεί το ολοκλήρωμα
$I= \int_0^1 {f(x)dx$

Μπάμπης

#3

ZITAVITA έγραψε:
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο IR με f(0) = 1 .Αν η συνάρτηση $g(x) = \frac {f(x)}{x^2+1}$ είναι αρχική της f, τότε

α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη

β) Να βρεθεί ο τύπος της f ( ή να αποδειχθεί ότι $f(x) = (x^2+1) e^{\frac {x^3}{3} + x}$ , εκτός αν από βιασύνη έχω κάνει λάθος).

γ) Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.

δ) Να βρεθεί το ολοκλήρωμα
$I= \int_0^1 {f(x)dx$

Μπάμπης

Πολύ ωραία ! Ίσως μόνο να αποδείξουμε πρώτα ότι η f δεν έχει ρίζες , ώστε να είναι θετική στο IR. Διότι διαφορετικά στην αντιπαραγώγιση πρέπει να γράψουμε ln|f(x)|

,
Εξάλλου έχουμε την f στον παρονομαστή , οπότε χρειάζεται λίγο παραπάνω κουβεντούλα.

Μπάμπης

#4

καλησπέρα
δίνω το β) λίγο διαφορετικά

$\displaystyle (\frac{f(x)}{x^2+1})^{\prime}=f(x)$

$(\frac{f(x)}{x^2+1})^{\prime}=(\frac{f(x)}{x^2+1})(x^2+1)$

$h^{\prime}(x)=h(x)(x^2+1)$

$h^{\prime}(x)-h(x)(x^2+1)=0$

$h^{\prime}(x) (e^{-\frac{x^3}{3}-x)}+h(x)[e^{-\frac{x^3}{3}-x}]^{\prime}=0$

$[h(x)e^{-{\frac{x^3}{3}}-x}]^{\prime}=0$ αρα

$h(x)=c e^{\frac{x^3}{3}+x}$

$f(x)=c e^{\frac{x^3}{3}+x}(x^2+1)$ με c=1

$f(x)=(x^2+1)e^{\frac{x^3}{3}+x}$

mathxl · #5

Χαίρετε
Για το ιι δείτε και αυτό
$\displaystyle{\begin{array}{l} g\left( x \right) = \frac{{\frac{{dg\left( x \right)}}{{dx}}}}{{{x^2} + 1}} \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)g\left( x \right) - \frac{{dg\left( x \right)}}{{dx}} = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{{dg\left( x \right)}}{{dx}} - {x^2}g\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow {e^{\frac{{{x^3}}}{3}}}\frac{{dg\left( x \right)}}{{dx}} - \frac{{d\left( {{e^{\frac{{{x^3}}}{3}}}} \right)}}{{dx}} = {e^{\frac{{{x^3}}}{3}}}g\left( x \right) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{{d\left( {\frac{{g\left( x \right)}}{{{e^{\frac{{{x^3}}}{3}}}}}} \right)}}{{dx}} = \frac{{g\left( x \right)}}{{{e^{\frac{{{x^3}}}{3}}}}} \Leftrightarrow \frac{{g\left( x \right)}}{{{e^{\frac{{{x^3}}}{3}}}}} = c{e^x} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = c{e^{\frac{{{x^3}}}{3} + x}} \Rightarrow f\left( x \right) = c\left( {{x^2} + 1} \right){e^{\frac{{{x^3}}}{3} + x}} \\ \end{array}}$
ΥΓ. Βλέπω η Φωτεινή με πρόλαβε

mathxl · #6

Ας δούμε και μία παραλλαγή μχμχμχ ...ας αλλάξει ταίρι ο παρονομαστής..
$\displaystyle{\frac{{g\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}} = f\left( x \right),g\left( 1 \right) = {e^{ - \frac{\pi }{4}}}}$ τι έχουμε να πούμε τότε για τον τύπο της f και το ολοκλήρωμα της;

#7

Βασίλη ,δεν κατάλαβα
τι έχουμε και τι ψάχνουμε;

mathxl · #8

Τα ίδια με του Μπάμπη,ισχύει ότι g αρχική της f αλλά ασ δώσουμε απάντηση στα ερωτήματα ιι και ιιι του Μπάμπη με την σχέση και αρχική συνθήκη που έδωσα (παραλλαγή).

mathxl · #9

Φαίνεται, ότι δεν ήμουν σαφής
Δείτε το παρακάτω για να καταλάβετε τι εννοώ
το δ) έπρεπε να λέει γ)...

#10

mathxl έγραψε:Φαίνεται, ότι δεν ήμουν σαφής

Βασίλη , είσαι σαφέστατος
εμείς δεν προλάβαμε...

mathxl · #11

Δίνω την λύση στο συνημμένο (για να μην χαλάσω την προσπάθεια όσων την προσπαθούν ακόμη)

#12

Βασίλη, την έχεις την συνάρτηση;
βρήκα μία περίεργη
$g(x)=e^{arctgx-\frac{\pi}{2}}$
την έχω συμβολίσει άραγε σωστά;

δεν σε πρόλαβα,έστειλες απάντηση

mathxl · #13

Φωτεινή αυτή είναι με την διαφορά να παίζει σε ένα πρόσημο, κάποιος από τους δυα μας το έχασε

εκτός εάν εννοείς τοξεφχ αντί για τοξσφ που έχεις . Το τόξο εφαπτομένης είναι arctan
Πάντως η ιδέα είναι αυτή

#14

mathxl έγραψε: εκτός εάν εννοείς τοξεφχ αντί για τοξσφ που έχεις . Το τόξο εφαπτομένης είναι arctan
Πάντως η ιδέα είναι αυτή

τοξεφχ εννοώ

Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Re: Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Re: Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Re: Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Re: Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Re: Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Re: Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Re: Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Re: Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Re: Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Re: Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Re: Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Re: Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Re: Ολοκλήρωμα - Παράγωγος

Μέλη σε σύνδεση