Αντι-παραγωγική

KARKAR · #1

Αν

δύο θετικοί αριθμοί , βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης :

$f(x)=\dfrac{ax-b}{x^2}$ και την τιμή του

για την οποία επιτυγχάνεται .

Εφαρμογή στη συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{2x-7}{x^2}$ . Παράγωγοι ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 10, 2017 8:04 pm
Αν δύο θετικοί αριθμοί , βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης :

$f(x)=\dfrac{ax-b}{x^2}$ και την τιμή του για την οποία επιτυγχάνεται .

Εφαρμογή στη συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{2x-7}{x^2}$ . Παράγωγοι ;

$\dfrac{ax-b}{x^2}= \dfrac {a^2}{4b} - b\left ( \dfrac {a}{2b}- \dfrac {1}{x}\right )^2\ge \dfrac {a^2}{4b}$

με ισότητα αν και μόνον αν $x= \dfrac {2b}{a}$ . Στην εφαρμογή, x=7

.

Christos.N · #3

Θα δείξουμε Θανάση ότι ισχύει $\displaystyle f\left( x \right) \le \frac{{{a^2}}}{{4b}}$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle x = \frac{{2b}}{a}$ .

$\displaystyle f\left( x \right) \le \frac{{{a^2}}}{{4b}} \Leftrightarrow \frac{{ax - b}}{{{x^2}}} \le \frac{{{a^2}}}{{4b}} \Leftrightarrow {\left( {ax - 2b} \right)^2} \ge 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} x \ne 0$

παρατηρούμε ότι $\displaystyle f\left( {\frac{{2b}}{a}} \right) = \frac{{a\frac{{2b}}{a} - b}}{{{{\left( {\frac{{2b}}{a}} \right)}^2}}} = \frac{b}{{\frac{{4{b^2}}}{{{a^2}}}}} = \frac{{{a^2}}}{{4b}}$

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Υ.Γ.: Αξία όμως δεν έχει η λύση αλλά ο τρόπος που φτάσαμε σε αυτήν.

Σκεπτικό:

Η συνάρτηση μπορεί να πάρει θετικές τιμές π.χ. όταν $\displaystyle x > \frac{b}{a}$ άρα αν παρουσιάζει μέγιστο τότε αυτό θα είναι υποχρεωτικά θετικός αριθμός.

Έστω $\displaystyle d$ το ολικό της μέγιστο.

δηλαδή: $\displaystyle f\left( x \right) \le d$ επαξεργάζοντας την τελευταία έχουμε: $\displaystyle f\left( x \right) \le d \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow d{x^2} - ax + b \ge 0$

Το τελευταίο τριώνυμο πρέπει να είναι μη αρνητικό για κάθε τιμή του πεδίου ορισμού της , άρα η διακρίνουσα του πρέπει να είναι μη θετική.

$\displaystyle \Delta \le 0 \Leftrightarrow {a^2} - 4bd \le 0 \Leftrightarrow d \ge \frac{{{a^2}}}{{4b}}$

έτσι φανερώθηκε και ο $\displaystyle d$ πρέπει να είναι ο μικρότερος απο όλους που ικανοποιούν την τελευταία ανίσωση, άρα $\displaystyle d = \frac{{{a^2}}}{{4b}}$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 10, 2017 8:04 pm
Αν δύο θετικοί αριθμοί , βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης :

$f(x)=\dfrac{ax-b}{x^2}$ και την τιμή του για την οποία επιτυγχάνεται .

Εφαρμογή στη συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{2x-7}{x^2}$ . Παράγωγοι ;

Έστω $\displaystyle \frac{{ax - b}}{{{x^2}}} = y \Leftrightarrow y{x^2} - ax + b = 0$ και για $y\ne 0,$ παριστάνει τριώνυμο ως προς

$\displaystyle \Delta \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - 4by \ge 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{y \le \frac{{{a^2}}}{{4b}}}$ και η ισότητα ισχύει για $\boxed{x=\frac{2b}{a}}$

Αντι-παραγωγική

Αντι-παραγωγική

Re: Αντι-παραγωγική

Re: Αντι-παραγωγική

Re: Αντι-παραγωγική

Μέλη σε σύνδεση