Εύρεση τιμής

nikos_el · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει: $\displaystyle f^2 \left (x \right) - 2f \left( x \right)+2=f\left(2x \right)$ , $\displaystyle \ \forall x \in \mathbb{R}$ . Επιπλέον, ισχύει $\displaystyle f \left( 1 \right)=3$ .
Να βρεθεί η τιμή $\displaystyle f \left( 6 \right)$ .

KARKAR · #2

Η συνάρτηση είναι προφανώς η : f(x)=1+2^x

, συνεπώς : f(6)=65

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 09, 2017 3:12 pm
Η συνάρτηση είναι προφανώς η : , συνεπώς :

Γιατί είναι αυτή η μοναδική συνάρτηση;
Εγώ τουλάχιστον δεν το βλέπω.

KARKAR · #4

Σταύρο το γέλιο δηλώνει ανολοκλήρωτη - στην καλύτερη περίπτωση - λύση !

Ας γράψω όμως κάποιες σκέψεις : Η δοθείσα γράφεται : (f(x)-1)^2+1=f(2x)

ή $(f(\dfrac{x}{2})-1)^2+1=f(x) , \forall x\in \mathbb{R}$ , συνεπώς $f(x)\geq 1 , \forall x\in \mathbb{R}$

Για x=0

, εύκολα βρίσκουμε ότι : f(0)=1

ή

Για

, βρίσκουμε ότι : $\displaystyle f(\dfrac{1}{2})=1+\sqrt{2}=1+2^{\dfrac{1}{2}}$ .

Επίσης είναι : f(1)=3=(1+2^1)

. Τώρα απορρίπτοντας την περίπτωση : f(0)=1

,

και αξιοποιώντας το θεώρημα : "τι κάνει νιάου-νιάου στα κεραμίδια" , δίνουμε τη λύση ...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 09, 2017 8:47 pm
Σταύρο το γέλιο δηλώνει ανολοκλήρωτη - στην καλύτερη περίπτωση - λύση !

Θανάση συγνώμη.Αυτά τα διάφορα κερατάκια κλπ δεν ξέρω να τα εξηγώ.
Τα αγνοώ.Για μένα είναι σαν να μην υπάρχουν.
Πρέπει να προσαρμοστώ.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 09, 2017 3:12 pm
Η συνάρτηση είναι προφανώς η : , συνεπώς :

Χμμμμ.

Η f(x) = 1+2^x

αν

ρητός, και f(x)=1

αν

άρρητος ικανοποιεί τις υποθέσεις αλλά είναι διαφορετική.

Υπάρχουν και άλλες διαφορετικές πλην της παραπάνω.

Λάμπρος Κατσάπας · #7

Υποπτεύομαι ότι η δοσμένη σχέση έχει προκύψει από επίλυση της συναρτησιακής f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2.

Με αυτή σαν αρχική είναι εύκολο να προκύψει το f(6)=65

καθώς επίσης και ότι $f(x)=2^{x}+1$ αν υποθέσουμε ότι

συνεχής. Έτσι όπως έχει δοθεί τώρα δεν βλέπω πως μπορεί να προκύψει το ζητούμενο.

KARKAR · #8

Η άσκηση είναι αναρτημένη από χθες και δεν υπήρξε απάντηση . Λοιπόν αποφάσισα

να γράψω κάποιες σκέψεις που ασφαλώς δεν αποτελούν λύση , έχουν όμως πιθανόν

κάποια προωθητική αξία προς τη λύση . Σταύρο ίσως στο γραπτό λόγο να μην φαίνεται

το χιούμορ , όμως "στην αναβροχιά καλό είναι και το χαλάζι " .

Ρισκάρω πάντως την "μαντεψιά" , ότι αυτή τη συνάρτηση είχε στο μυαλό του ο θεματοδότης .

Επίτιμος Κ · #9

Οι συναρτήσεις της μορφής $f(x)=\left\{\begin{matrix} 1+2^{x}, x=2^{n}\\ 1+a^{x}, x\neq 2^{n} \end{matrix}\right. a\neq 2$ ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του θέματος αλλά για κάθε τιμή του

παίρνουμε διαφορετική τιμή για το f(6)

.
Άρα το θέμα δε στέκει αν δε δοθούν επιπλέον προϋποθέσεις.

Εύρεση τιμής

Εύρεση τιμής

Re: Εύρεση τιμής

Re: Εύρεση τιμής

Re: Εύρεση τιμής

Re: Εύρεση τιμής

Re: Εύρεση τιμής

Re: Εύρεση τιμής

Re: Εύρεση τιμής

Re: Εύρεση τιμής

Μέλη σε σύνδεση