Ακριβώς 7 διαφορετικά αθροίσματα

[Demetres]

Για 4ο θέμα Θαλή Β' Λυκείου.

Μπορεί άραγε ο αριθμός να αναπαρασταθεί ως άθροισμα μερικών ανα δύο διαφορετικών θετικών ακεραίων τέτοιων, ώστε από όλα τα δυνατά ανά δυο αθροίσματα αυτών ακριβώς να είναι διαφορετικά;

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Όλα τα αθροίσματα ανά δύο από n αριθμούς είναι . Θέλουμε να ισχύει πως , άρα .

Έστω λοιπόν . Έστω το πλήθος των περιττών . Προφανώς περιττός αριθμός, καθώς εναλλακτικά , άτοπο.

Επιλέγουμε από τους αριθμούς αριθμούς, με τέτοιο τρόπο ώστε σε αυτούς τους αριθμούς να βρίσκονται όσο το δυνατόν περισσότεροι περιττοί αριθμοί.

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις μετά από αυτή την επιλογή:

a) περιττός και άρτιοι: Έστω ο περιττός και έστω οι άρτιοι, έτσι ώστε .

Πρέπει το πλήθος των διαφορετικών αθροισμάτων από αυτούς τους αριθμούς να είναι το πολύ , καθώς διαφορετικά το πλήθος των διαφορετικών αθροισμάτων από τους αρχικούς αριθμούς θα ήταν μεγαλύτερο του , άτοπο.

Όμως έχουμε πως τα αθροίσματα: είναι περιττά και όλα διαφορετικά.

Ταυτόχρονα έχουμε πως τα αθροίσματα: είναι άρτια και όλα διαφορετικά.

Επομένως έχουμε τουλάχιστον διαφορετικά αθροίσματα, άτοπο.

b) περιττοί και άρτιοι: Έστω οι περιττοί και έστω οι άρτιοι, έτσι ώστε και .

Έχουμε τα αθροίσματα: που είναι περιττά και όλα διαφορετικά.

Ταυτόχρονα όμως έχουμε τα αθροίσματα: , που είναι άρτια και όλα διαφορετικά.

Επομένως έχουμε τουλάχιστον διαφορετικά αθροίσματα και όπως αναφέραμε παραπάνω, έχουμε άτοπο.

c) περιττοί. Έστω οι περιττοί, έτσι ώστε .

Έχουμε τα 7 αθροίσματα: , τα οποία είναι σίγουρα διαφορετικά και είναι (1).

Για να μην υπάρχει κάποιο άτοπο πρέπει τα υπόλοιπα αθροίσματα, δηλαδή το , το και το να ισούται με κάποιο από τα παραπάνω.

Εύκολα προκύπτει πως αναγκαστικά (2) και πως αναγκαστικά (3). Αφαιρώντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει πως (4). Άρα , άρα αφού το είναι ίσο με ένα από τα αθροίσματα της (1), προκύπτει πως (5). Άρα (6).

Ακόμα κάνοντας πρόσθεση των σχέσεων (2), (3), (5), προκύπτει πως (7).

Επομένως έχουμε από τις (4), (6) και (7) πως οι αριθμοί σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο. Όμως σε αυτή την περίπτωση έχουμε πως , άρα , καθώς το δεν διαιρεί το .

Άρα υπάρχει οπωσδήποτε κάποιος αριθμός από τους αρχικούς αριθμούς, με να μην είναι κανένας από τους . Αν αυτός είναι άρτιος, τότε θα είχαμε για παράδειγμα το άθροισμα , που είναι περιττό και επομένως δεν το έχουμε συμπεριλάβει παραπάνω. Άρα τα αθροίσματα θα ήταν τουλάχιστον , άτοπο. Άρα λοιπόν ο είναι περιττός. Έστω τώρα οι περιττοί μας είναι οι , με (δεν είναι αναγκαστικό ο να είναι ο ).

Έχουμε τα αθροίσματα: τα οποία είναι διαφορετικά, άρα πάλι άτοπο.

Συνεπώς δεν υπάρχουν που να λύνουν το πρόβλημα.

[Al.Koutsouridis]

[Demetres]

Διαφορετικά:

Πρέπει όπως έδειξε ο Διονύσης. (Στην αρχή και στο τέλος της ανάρτησής του.) Έστω ότι οι αριθμοί είναι οι .

Έχουμε σίγουρα τα ακόλουθα διαφορετικά αθροίσματα:



Άρα κάθε ένα εκ των πρέπει να ισούται με ένα από τα πιο πάνω.

Επειδή , πρέπει . (1)
Επειδή , πρέπει . (2)
Επειδή , πρέπει . (3)

Οι (2) και (3) δίνουν . Άρα από την (1) έχουμε . Αντικαθιστώντας στην (2) παίρνουμε και άρα . Είναι εύκολο τώρα να δούμε ότι και . Άρα



Το άθροισμα λοιπόν των αριθμών είναι πολλαπλάσιο του και άρα δεν μπορεί να είναι ίσο με .