Ρίζες και εξίσωση(Για Αρχιμήδη !)

#1

Να λυθεί η εξίσωση :

$\frac {3}{2} + \sqrt {1+ \frac {1}{2^2} + \frac {1}{3^2}} + \sqrt {1+ \frac {1}{3^2} + \frac {1}{4^2}} + ... + \sqrt {1+ \frac {1}{2005^2} + \frac {1}{2006^2}} = x + \frac {2005}{2006}$

Ρουμανία 2006 , 1ος γύρος

#2

Παρατηρώ ότι: $\displaystyle{\displaystyle 1 + \frac{1} {{n^2 }} + \frac{1} {{\left( {n + 1} \right)^2 }} = \frac{{n^2 \left( {n + 1} \right)^2 + n^2 + \left( {n + 1} \right)^2 }} {{n^2 \left( {n + 1} \right)^2 }} = \frac{{\left( {n^2 + n} \right) + 2(n^2 + n) + 1}} {{n^2 (n + 1)^2 }} = \frac{{(n^2 + n + 1)^2 }} {{n^2 (n + 1)^2 }} = \frac{{\left[ {n(n + 1) + 1} \right]^2 }} {{\left[ {n(n + 1)} \right]^2 }} = \left[ {\frac{{n(n + 1) + 1}} {{n(n + 1)}}} \right]^2 = \left[ {1 + \frac{1} {{n(n + 1)}}} \right]^2 }$ . Αρα εύκολα παίρνουμε : $\displaystyle{\displaystyle \sqrt {\left[ {1 + \frac{1} {{n(n + 1)}}} \right]^2 } = 1 + \frac{1} {{n(n + 1)}} = 1 + \frac{1} {n} - \frac{1} {{n + 1}} }$ (Το μετατρέπω σε τηλεσκοπικό.)
Αρα έχουμε : $\displaystyle{\displaystyle \frac{3} {2} + 1 + \frac{1} {2} - \frac{1} {3} + 1 + \frac{1} {3} - \frac{1} {4} + .... + 1 + \frac{1} {{2005}} - \frac{1} {{2006}} = x + \frac{{2005}} {{2006}} \Rightarrow \frac{3} {2} + 1 + 1... + 1 + \frac{1} {2} - \frac{1} {{2006}} - \frac{{2005}} {{2006}} = x \Rightarrow x = ....2005 }$
Τα κατάφερα!

#3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση :

$\frac {3}{2} + \sqrt {1+ \frac {1}{2^2} + \frac {1}{3^2}} + \sqrt {1+ \frac {1}{3^2} + \frac {1}{4^2}} + ... + \sqrt {1+ \frac {1}{2005^2} + \frac {1}{2006^2}} = x + \frac {2005}{2006}$

Ρουμανία 2006 , 1ος γύρος

Άλλη μία λύση λίγο πιο tricky:

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle 1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2} = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left[-(n+1)\right]^2}$

οπότε στον παρονομαστή των τριών κλασμάτων έχουμε τα τετράγωνα τριών αριθμών που έχουν άθροισμα

.

Είναι εύκολο τώρα να δούμε ότι για

αριθμούς

με άθροισμα

, ισχύει $\displaystyle\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2$ .

Συνεπώς η παραπάνω παράσταση γίνεται

$\displaystyle\frac {3}{2} + 1+ \frac {1}{2} - \frac {1}{3} +1+ \frac {1}{3} - \frac {1}{4} + \cdots +1+ \frac {1}{2005} - \frac {1}{2006} = x + \frac {2005}{2006}$

άρα ισοδύναμα

$\displaystyle\frac{3}{2}+2004+\frac{1}{2}-\frac{1}{2006}=x+\frac{2005}{2006}$

άρα $2006=x+\displaystyle\frac{2005}{2006}+\frac{1}{2006}$ άρα x=2005

.

Αλέξανδρος

#4

Είναι: $\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{\left( n+1\right)^{2}}}=\sqrt{\frac{\left(n+1 \right)^2n^2+n^2+\left(n+1 \right)^2}\left( n+1\right)^2n^2}$ = $\frac{n\left(n+1 \right)+1}{n\left(n+1 \right)}$

Οπότε η εξίσωση γράφεται:

$\frac{1.2+1}{1.2}+\frac{2.3+1}{2.3}+\frac{3.4+1}{3.4}+...+\frac{2006.2007+1}{2006.2007}=x+\frac{2005}{2006}$

ή $1+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{6}+1+\frac{1}{12}+...+1+\frac{1}{2006.2007}=x+\frac{2005}{2006}$

Έχουμε άθροισμα ν όρων γεωμ. προόδου με α1 = 1/2, λ = 1/3 και αν = 1/2006.2007
Οπότε ... ν = 671.008

Μόλις βλέπω τις ήδη δημοσιευμένες λύσεις, οπότε καταθέτω και τούτη
στο βωμό του άσπλαχνου latex...

Ρίζος Γιώργος

#5

Aλέξανδρε διαφωνούμε ως πρός το αποτέλεσμα!Αν μπορείς τσέκαρε το και πές μου να το διορθώσω...Νομίζω πως ο άσσος επαναλαμβάνεται 2005 φορές,αλλά μπορεί και να έχω άδικο!

#6

chris_gatos έγραψε:Aλέξανδρε διαφωνούμε ως πρός το αποτέλεσμα!Αν μπορείς τσέκαρε το και πές μου να το διορθώσω...Νομίζω πως ο άσσος επαναλαμβάνεται 2005 φορές,αλλά μπορεί και να έχω άδικο!

Χρήστο νομίζω ότι θα ήταν 2005 άσσοι αν ξεκινούσαμε με την ρίζα $\displaystyle\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}$ που όμως δεν υπάρχει.

Αλέξανδρος

#7

Mea culpa διορθώνω!

Ρίζες και εξίσωση(Για Αρχιμήδη !)

Ρίζες και εξίσωση(Για Αρχιμήδη !)

Re: Ρίζες και εξίσωση

Re: Ρίζες και εξίσωση

Re: Ρίζες και εξίσωση

Re: Ρίζες και εξίσωση

Re: Ρίζες και εξίσωση

Re: Ρίζες και εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση