Συνευθειακά από επαφή και τομές

#1

: Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png (13.88 KiB) Προβλήθηκε 2119 φορές

Δύο ίσοι κύκλου $({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2})$ τέμνονται στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ .

1. Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο (K)

που να εφάπτεται

εξωτερικά σε σημείο

του $({C_1})$ και εσωτερικά σε σημείο

του $({C_2})$ .

2. Αν η

τέμνει τον κύκλο (K)

στο

, δείξετε ότι τα σημεία

$A\,,\,\,T\,,\,\,P$ ανήκουν στην ίδια ευθεία.

#2

Doloros έγραψε:Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png

Δύο ίσοι κύκλου $({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2})$ τέμνονται στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ .

1. Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο που να εφάπτεται

εξωτερικά σε σημείο του $({C_1})$ και εσωτερικά σε σημείο του $({C_2})$ .

2. Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξετε ότι τα σημεία

$A\,,\,\,T\,,\,\,P$ ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Ενδιαφέρον Θέμα Νίκο , αλλά νομίζω ότι είναι πολυ βαρύς ο φάκελος για το θέμα αυτό. Θα μπορούσε να βρίσκεται άνετα στην Β Λυκείου, η κατασκευή μάλιστα (του 1ου ερωτήματος) είναι ίδια και στην περίπτωση που οι αρχικοί κύκλοι δεν είναι ίσοι

Στάθης

#3

Όντως, ωραίο πρόβλημα, αλλά για την κατασκευή του κύκλου (K)

( με ίσους τους δοσμένους κύκλους ) και την απόδειξη της συνευθειακότητας των $B,\ P,\ S$ , σχεδόν μονόδρομος.

Θα στοιχημάτιζα ότι αν πέντε λύτες, ανεξάρτητα ο καθένας, στείλουν τις λύσεις τους με προσωπικό μήνυμα στον θεματοδότη, αυτές θα είναι ίδιες.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Ίσως μία ιδέα θα ήταν να υπάρχει μία χρονική καθυστέρηση ( κατά το "ανθρωπίνως" δυνατόν ) στην ανάρτηση της πρώτης λύσης από τους "συνήθεις υπόπτους", ώστε να δίνεται η ευκαιρία να προηγηθούν, τα νεότερα και ιδιαίτερα τα νεαρής ηλικίας μέλη.

#4

Doloros έγραψε:Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png

Δύο ίσοι κύκλου $({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2})$ τέμνονται στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ .

1. Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο που να εφάπτεται

εξωτερικά σε σημείο του $({C_1})$ και εσωτερικά σε σημείο του $({C_2})$ .

Καλημέρα σε όλους!

Για την κατασκευή.

: Συνευθειακά από επαφή και τομές.png (24.77 KiB) Προβλήθηκε 1972 φορές

Κατασκευή: Έστω O, K

τα κέντρα των (C_1), (C_2)

αντίστοιχα,

ένα σημείο του κύκλου (C_2)

και

το συμμετρικό του

ως προς

Η μεσοκάθετη του OK'

τέμνει την KK'

στο

Ο κύκλος

είναι ο ζητούμενος.

Απόδειξη: Έστω

το σημείο τομής της

με τον κύκλο (C_1).

Από κατασκευής ο κύκλος (L, LS)

εφάπτεται εσωτερικά στον

(C_2)

στο

Αρκεί να δείξω ότι εφάπτεται εξωτερικά στον (C_1)

στο

Λόγω της μεσοκαθέτου είναι LO=LK'

κι επειδή είναι

OT=SK'=R,

θα είναι και $\boxed{LS=LT}$

#5

Άλλη μία κατασκευή.

: Συνευθειακά από επαφή και τομές.II.png (63.84 KiB) Προβλήθηκε 1927 φορές

Έστω

σημείο του (C_2)

και

το μέσο του AB.

Η

τέμνει τον (C_1)

στο

και η

την

στο

Ο κύκλος

είναι ο ζητούμενος.

#6

Doloros έγραψε:Δύο ίσοι κύκλου $({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2})$ τέμνονται στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ .
1. Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο που να εφάπτεται εξωτερικά σε σημείο του $({C_1})$ και εσωτερικά σε σημείο του $({C_2})$ .
2. Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξετε ότι τα σημεία $A\,,\,\,T\,,\,\,P$ ανήκουν στην ίδια ευθεία.

1) Από τυχόν σημείο της ευθείας (ριζικός άξονας των $\left( {{K}_{1}} \right),\left( {{K}_{2}} \right)$ ) , με εξωτερικό του τμήματος φέρνουμε τις εφαπτόμενες των $\left( {{K}_{1}} \right),\left( {{K}_{2}} \right)$ προς το ίδιο μέρος της και ας είναι τα σημεία επαφής αντίστοιχα. Τότε το $K\equiv {{K}_{1}}T\cap {{K}_{2}}S$ είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου , αφού με $QT = QS = \sqrt {QB \cdot QA}$ και $KT \bot QT,KS \bot QS \Rightarrow KT = KS$ (τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle QKT,\vartriangle QKS$ είναι προφανώς ίσα) και ο $\left( K,KT=KS \right)$ εφάπτεται στους κύκλους $\left( {{K}_{1}} \right),\left( {{K}_{2}} \right)$ (εξωτερικά και εσωτερικά αντίστοιχα) αφού τα σημεία «επαφής» βρίσκονται επί της διακέντρου τους.
[attachment=0]Συνευθειακά από επαφή και τομές.png[/attachment]
2) Τα ισοσκελή τρίγωνα $\vartriangle KPS,\vartriangle {{K}_{2}}BS$ «μοιράζονται» τη γωνία $\angle S$ και συνεπώς είναι όμοια, άρα $\angle SPK = \angle SB{K_2} \Rightarrow \boxed{PK\parallel B{K_2}}:\left( 1 \right)$ . Αλλά $\boxed{A{K_1}\parallel B{K_2}}:\left( 2 \right)$ (αφού $A{{K}_{1}}B{{K}_{2}}$ ρόμβος (γνωστή πρόταση σχολικού σε ίσους τεμνόμενους κύκλους)).

Από $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \boxed{A{K_1}\parallel PK}:\left( 3 \right)$ $\Rightarrow \dfrac{{KP}}{{{K_1}A}} = \dfrac{{{R_K}}}{{{R_{{K_1}}}}} = \dfrac{{KT}}{{{K_1}T}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)\,\,\& \,\,K,T,{K_1}\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha } A,T,P$ συνευθειακά και όλα τα ζητούμενα έχουν κατασκευαστεί και αποδειχθεί.

Στάθης

#7

Doloros έγραψε:Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png

Δύο ίσοι κύκλου $({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2})$ τέμνονται στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ .

2. Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξετε ότι τα σημεία

$A\,,\,\,T\,,\,\,P$ ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Για το 2) ερώτημα, παρόμοια με του Στάθη.

: Συνευθειακά από επαφή και τομές.III.png (26.64 KiB) Προβλήθηκε 1882 φορές

$\displaystyle{OA||LP \Leftrightarrow \omega = \varphi }.$ Αλλά τα τρίγωνα OAT, LPT

είναι ισοσκελή, οπότε $A\widehat TO=P\widehat TL$ κι επειδή τα O, T, L

είναι

συνευθειακά και τα A, T, P

θα είναι συνευθειακά.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

Doloros έγραψε:Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png

Δύο ίσοι κύκλου $({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2})$ τέμνονται στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ .

1.Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο που να εφάπτεται

εξωτερικά σε σημείο του $({C_1})$ και εσωτερικά σε σημείο του $({C_2})$ .

2. Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξετε ότι τα σημεία

$A\,,\,\,T\,,\,\,P$ ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Ας είναι $\displaystyle{\left( c \right),\left( d \right)}$ δυο κύκλοι τεμνόμενοι στα $\displaystyle{A,B}$ ,όχι υποχρεωτικά ίσοι

1.Κατασκευή

Έστω $\displaystyle{Z}$ η τομή της εφαπτόμενης του $\displaystyle{\left( c \right)}$ στο $\displaystyle{S}$ και της $\displaystyle{AB}$

Θεωρούμε τον περίκυκλο του $\displaystyle{\vartriangle KIZ}$ και $\displaystyle{T}$ ένα εκ των δύο σημείων τομής του με τον $\displaystyle{\left( d \right)}$ .

Το $\displaystyle{O = KT \cap LS}$ είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου

Απόδειξη

Από το εγγράψιμο $\displaystyle{KITZ \Rightarrow ZT \bot KT \Rightarrow ZT}$ εφαπτόμενη του $\displaystyle{\left( d \right)}$ $\displaystyle{ \Rightarrow T{Z^2} = ZB \cdot ZA = S{Z^2} \Rightarrow \boxed{TZ = SZ}}$

κι επειδή $\displaystyle{SZ}$ εφαπτόμενη του $\displaystyle{\left( k \right)}$ θα είναι και $\displaystyle{ZT}$ εφαπτόμενη του

2. Έστω $\displaystyle{ST \cap \left( d \right) = E}$

Είναι $\displaystyle{\angle E = \angle PTS = \omega }$ (υπό χορδής-εφαπτόμενης),άρα $\displaystyle{\boxed{EB//TP}(1)}$

Λόγω του εγγράψιμου $\displaystyle{AEBS}$ κι επειδή $\displaystyle{TZ}$ εφαπτόμενη του $\displaystyle{\left( k \right)}$ οι κόκκινες γωνίες $\displaystyle{AEB,ESB,PTZ}$ είναι ίσες

Επίσης $\displaystyle{TZ}$ εφαπτόμενη του $\displaystyle{\left( d\right)}$ άρα και οι πράσινες γωνίες $\displaystyle{ZAT,BTZ}$ είναι ίσες

Έτσι ( $\displaystyle{EB//TP}$ ), $\displaystyle{\angle EAT = \angle TBE}$ και λόγω ισότητας των $\displaystyle{\left( d \right),\left( c \right)}$ τα τόξα τους $\displaystyle{AEB,ATB}$ είναι ίσα

οπότε $\displaystyle{\angle AEB = \angle ATB \Rightarrow ATBE}$ παραλ/μμο $\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{EB//AT}(2)}$

Από $\displaystyle{\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow A,T,P}$ συνευθειακά

: σ.α.τ.κ.ε.png (32.13 KiB) Προβλήθηκε 1827 φορές

Συνευθειακά από επαφή και τομές

Συνευθειακά από επαφή και τομές

Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές

Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές

Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές

Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές

Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές

Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές

Re: Συνευθειακά από επαφή και τομές

Μέλη σε σύνδεση