IMC 2007/1/6

#1

Πόσους μη μηδενικούς συντελεστές μπορεί να έχει ένα πολυώνυμο P(z)

με ακέραιους συντελεστές, αν $|P(z)| \leqslant 2$ για κάθε μιγαδικό αριθμό

με

;

dement · #2

Μπορούμε να έχουμε

μη μηδενικούς συντελεστές (παράδειγμα P(z) = z + 1

). Θα αποδείξουμε ότι δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερους. Θέτουμε $M(\theta) \equiv |P(e^{\mathrm{i} \theta})|^2$ .

Έστω $a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{Z}$ οι μη μηδενικοί συντελεστές. Τότε, ισχύει

$\displaystyle M(\theta) = \sum_{k=1}^n a_k^2 + 2 \sum_{p < q = 1}^n a_p a_q \cos \left( (d_p - d_q) \theta \right)$ όπου d_p

ο βαθμός του όρου που αντιστοιχεί στον συντελεστή a_p

.

Άρα η μέση τιμή του $M(\theta)$ είναι $\displaystyle \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} M(\theta) \mathrm{d} \theta = \sum_{k=1}^n a_k^2 \geqslant n$ . Αφού $\displaystyle M(\theta) \leqslant 4$ , η περίπτωση $n \geqslant 5$ απορρίπτεται.

Απορρίπτεται και η περίπτωση n = 4

γιατί τότε το $M(\theta)$ θα έπρεπε να είναι σταθερό (που δεν ισχύει, αφού απομένει τουλάχιστον ένας όρος συνημιτόνου, αυτός με την ελάχιστη περίοδο).

Απομένει να εξετάσουμε την περίπτωση n=3

. Πρέπει να ισχύει |a_1|=|a_2|=|a_3|=1

(αλλιώς η μέση τιμή υπερβαίνει πάλι το

), ενώ οι συντελεστές δεν μπορούν να είναι ομόσημοι (αλλιώς |P(1)|=3

). Έστω

χωρίς βλάβη της γενικότητας. Έτσι

$\displaystyle M(\theta) = 3 + 2 \cos \left( (d_1-d_2) \theta \right) - 2 \cos \left( (d_2-d_3) \theta \right) - 2 \cos \left( (d_1-d_3) \theta \right)$

Από τα v_2(d_1-d_2), v_2( d_2-d_3), v_2(d_1-d_3)

δύο είναι ίσα και το τρίτο είναι μεγαλύτερο.

Αν v_2 (d_1 - d_2) = v_2 (d_2 - d_3) = m, v_2(d_1-d_3) = l > m

τότε $\displaystyle \frac{1}{2} \left( M \left( \frac{\pi}{2^l} \right) + M \left( \frac{\pi}{2^l} + \frac{\pi}{2^m} \right) \right) = 5$ και ένα από τα δύο μέτρα υπερβαίνει το

. Ομοίως αν v_2(d_1-d_2) = v_2 (d_1-d_3) = m, v_2 (d_2-d_3) = l > m

.

Αν

, τότε $\displaystyle \frac{1}{2} \left( M \left( \frac{2 \pi}{2^l} \right) + M \left( \frac{2 \pi}{2^l} + \frac{\pi}{2^m} \right) \right) = 5$ .

Αυτό ολοκληρώνει την περίπτωση n=3

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Να δώσω κάποια στοιχεία που έχουν σχέση με το πρόβλημα.

Στο https://en.wikipedia.org/wiki/Littlewood_polynomial
μπορείτε να δείτε μια εικασία του Littlewood σχετικά με πολυώνυμα που

οι συντελεστές τους είναι 1,-1

και η $\left \| \right \|_{2}$ έχει

την ίδια τάξη μεγέθους με την $\left \| \right \|_{\infty }$ στην μοναδιαία περιφέρεια.

Ο JEAN-PIERRE-KAHANE ο οποίος απεβίωσε πρόσφατα το
1980 στο BLMS v12 p5 Sept 1980 No38 είχε δημοσιεύσει το εξής

Υπάρχουν $P_{n}(z)=\sum_{m=1}^{n}a_{m,n}z^{m}$ όπου $a_{m,n}\in \mathbb{C},\left | a_{m,n} \right |=1$

και $\varepsilon _{n}\rightarrow 0$

ωστε για $\left | z \right |=1,n\in \mathbb{N}$ να ισχύει

$(1-\varepsilon _{n})\sqrt{n}\leq \left | P_{n}(z) \right |\leq (1+\varepsilon _{n})\sqrt{n}$

IMC 2007/1/6

IMC 2007/1/6

Re: IMC 2007/1/6

Re: IMC 2007/1/6

Μέλη σε σύνδεση