Δύο ημικύκλια 1.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 99.png (5.43 KiB) Προβλήθηκε 644 φορές

Δίνονται δύο ημικύκλια με διαμέτρους

και $A\Gamma$ . Σε σημείο

της

φέρνω κάθετη η οποία τέμνει το πρώτο ημικύκλιο στο $\Delta$ και το δεύτερο
στο

, ώστε $P\Delta =2\Delta E$ . Αν PB=8

να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος $B\Gamma$ .

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έστω πως

. Έχουμε τότε πως PD=2x

.

Ακόμη αφού το τρίγωνο ADB

είναι ορθογώνιο (λόγω του ημικυκλίου με διάμετρο

) και το

είναι ύψος του, έχουμε πως $DP^2=AP\cdot PB$ .

Αντικαθιστώντας παίρνουμε λοιπόν πως $4x^2=AP\cdot 8\Leftrightarrow AP=\dfrac{x^2}{2}$ .

Όμοια όμως έχουμε και για το ορθογώνιο τρίγωνο AEC

, όπου $EP^2=AP\cdot PC\Leftrightarrow 9x^2=\dfrac{x^2}{2}\cdot (8+BC)\Leftrightarrow BC=10$ .

#3

: Δύο ημικύκλια 1 Φάνης.png (23.58 KiB) Προβλήθηκε 623 φορές

Ας είναι

η τομή της

με το υπόλοιπο μισό του μικρού ημικυκλίου .

Θέτω : $BC = 2x\,\,,DP = 2y\,\,,ED = y\,\,,\,\,AB = 2r\,\,,KP = d = r - 8$

Επειδή

$\left\{ \begin{gathered} D{P^2} = PA \cdot PB \hfill \\ E{P^2} = PC \cdot PB \hfill \\ ED \cdot ET = K{E^2} - {r^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 4{y^2} = (2r - 8) \cdot 8 \hfill \\ 9{y^2} = (8 + 2x) \cdot (2r - 8) \hfill \\ y \cdot 5y = E{P^2} + K{P^2} - {r^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 5{y^2} = 4x(r - 4) \hfill \\ 5{y^2} = 9{y^2} + {(r - 8)^2} - {r^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ , άρα

$\left\{ \begin{gathered} 5{y^2} = 4x(r - 4) \hfill \\ {y^2} = 4(r - 4) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x = 5 \Rightarrow BC = 10$ .

Μπορούμε μετά να βρούμε:

$AB = 35\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = 45$

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:99.png

Δίνονται δύο ημικύκλια με διαμέτρους και $A\Gamma$ . Σε σημείο της
φέρνω κάθετη η οποία τέμνει το πρώτο ημικύκλιο στο $\Delta$ και το δεύτερο
στο , ώστε $P\Delta =2\Delta E$ . Αν να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος $B\Gamma$ .

: Δύο ημικύκλια 1 Φάνης_new.png (38.15 KiB) Προβλήθηκε 592 φορές

Φέρνω την ευθεία

που τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο στο

, ενώ οι ευθείες

$CL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PE$ έστω ότι τέμνονται στο

. Θέτω : $\boxed{BC = x\,\,,\,\,DE = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ES = u}$ .

Έστω ακόμα $T\,\,,K$ τα συμμετρικά των $D\,\,,E$ ως προς τη διάμετρο

.

Προφανές ότι το τετράπλευρο DPCL

είναι εγγράψιμο και άρα : $SD \cdot SP = SL \cdot SC\,\,(1)$

Αλλά από τη δύναμη του

ως προς το μεγάλο κύκλο έχω : $SE \cdot SK = SL \cdot SC\,\,(2)$

Από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ έχω : $SD \cdot SP = SE \cdot SK \Rightarrow (u + y)(u + 3y) = u(u + 6y) \Rightarrow 3{y^2} = 2uy$ και άρα $\boxed{u = \dfrac{{3y}}{2}}$ .

Τώρα επειδή $DB//SC \Rightarrow \dfrac{{PB}}{{BC}} = \dfrac{{PD}}{{DS}} \Rightarrow \dfrac{8}{x} = \dfrac{{4y}}{{5y}} \Rightarrow \boxed{x = 10}$

Δύο ημικύκλια 1.

Δύο ημικύκλια 1.

Re: Δύο ημικύκλια 1.

Re: Δύο ημικύκλια 1.

Re: Δύο ημικύκλια 1.

Μέλη σε σύνδεση