Προβλήματα θερινής νυκτός

[Al.Koutsouridis]

Δυο ενδιαφέροντα προβλήματα από την ολυμπιάδα της Μόσχας του 1993. Τα προβλήματα είναι δύσκολα (από το πρόβλημα 3 το β ερώτημα), για όσους ρομαντικούς θέλουν να «καταστρέψουν» τις διακοπές τους.


Πρόβλημα 3,10η τάξη (Κοντάκοβ)
Από οποιοδήποτε σημείο εκ των δυο όχθεων ενός ποταμού μπορούμε να πλεύσουμε στην απέναντι όχθη, διανύοντας απόσταση το πολύ ενός χιλιομέτρου. Άραγε πάντα ένας βαρκάρης θα μπορέσει να μεταφέρει την βάρκα του κατά μήκος του ποταμού έτσι, ώστε κάθε χρονική στιγμή να βρίσκεται σε απόσταση το πολύ α) 700 μέτρων, β) 800 μέτρων από την κάθε όχθη;

Σημείωση. Είναι γνωστό, ότι το ποτάμι συνδέει δυο κυκλικές λίμνες ακτίνας 10 χιλιομέτρων εκάστη και οι όχθες αποτελούνται από ευθύγραμμα τμήματα και κυκλικά τόξα. Η βάρκα θεωρείται σημείο.

Σχόλιο 1. Θεωρούμε ότι το ποτάμι δεν έχει νησιά. 2. Η απόσταση μεταξύ ενός σημείου του ποταμού και της όχθης μπορεί να εκληφθεί με δυο τρόπους: ως η ελάχιστη απόσταση από την όχθη κατά μήκος μια ευθείας (δηλαδή η ευθεία μπορεί και να τέμνει την άλλη όχθη) ή ως το μήκος της ελάχιστης διαδρομής στο νερό. Αυτές οι δυο αποστάσεις μπορεί να είναι διαφορετικές, αν μια χερσόνησος της μιας όχθης παρεμβάλλεται μεταξύ της άλλης. Στο πρόβλημα εκλαμβάνεται η απόσταση με την δεύτερη σημασία της.


Πρόβλημα 6, 11η τάξη (Σαρούγκιν)
Μια μύγα πετάει στο εσωτερικό ενός κανονικού τετράεδρου με μήκος ακμής . Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση που πρέπει να πετάξει, ώστε να βρεθεί σε κάθε έδρα και να επιστρέψει στο αρχικό σημείο;

[mikemoke]

Δυο ενδιαφέροντα προβλήματα από την ολυμπιάδα της Μόσχας του 1993. Τα προβλήματα είναι δύσκολα (από το πρόβλημα 3 το β ερώτημα), για όσους ρομαντικούς θέλουν να «καταστρέψουν» τις διακοπές τους.


Πρόβλημα 3,10η τάξη (Κοντάκοβ)
Από οποιοδήποτε σημείο εκ των δυο όχθεων ενός ποταμού μπορούμε να πλεύσουμε στην απέναντι όχθη, διανύοντας απόσταση το πολύ ενός χιλιομέτρου. Άραγε πάντα ένας βαρκάρης θα μπορέσει να μεταφέρει την βάρκα του κατά μήκος του ποταμού έτσι, ώστε κάθε χρονική στιγμή να βρίσκεται σε απόσταση το πολύ α) 700 μέτρων, β) 800 μέτρων από την κάθε όχθη;

Σημείωση. Είναι γνωστό, ότι το ποτάμι συνδέει δυο κυκλικές λίμνες ακτίνας 10 χιλιομέτρων εκάστη και οι όχθες αποτελούνται από ευθύγραμμα τμήματα και κυκλικά τόξα. Η βάρκα θεωρείται σημείο.

Σχόλιο 1. Θεωρούμε ότι το ποτάμι δεν έχει νησιά. 2. Η απόσταση μεταξύ ενός σημείου του ποταμού και της όχθης μπορεί να εκληφθεί με δυο τρόπους: ως η ελάχιστη απόσταση από την όχθη κατά μήκος μια ευθείας (δηλαδή η ευθεία μπορεί και να τέμνει την άλλη όχθη) ή ως το μήκος της ελάχιστης διαδρομής στο νερό. Αυτές οι δυο αποστάσεις μπορεί να είναι διαφορετικές, αν μια χερσόνησος της μιας όχθης παρεμβάλλεται μεταξύ της άλλης. Στο πρόβλημα εκλαμβάνεται η απόσταση με την δεύτερη σημασία της.


Πρόβλημα 6, 11η τάξη (Σαρούγκιν)
Μια μύγα πετάει στο εσωτερικό ενός κανονικού τετράεδρου με μήκος ακμής . Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση που πρέπει να πετάξει, ώστε να βρεθεί σε κάθε έδρα και να επιστρέψει στο αρχικό σημείο;

Οι κορυφές και οι ακμές ανήκουν στις έδρες; (για το Πρόβλημα 6)

[Al.Koutsouridis]

Οι κορυφές και οι ακμές ανήκουν στις έδρες; (για το Πρόβλημα 6)

Στο πρόβλημα δεν αναφέρεται ρητά. Γενικά ναι είναι σημεία των εδρών αλλά στο συγκεκριμένο πρόβλημα το ενδιαφέρον είναι για τα εσωτερικά σημεία των εδρών. Κατά μια έννοια εκφυλίζεται το πρόβλημα και χάνει το νόημα του αν θεωρήσουμε και τις ακμές. Σε ποια έδρα ανήκει η ακμή ή κορυφή; Από μια κορυφή στην άλλη η μύγα δε χρειάζεται να πετάξει αλλά να περπατήσει κτλ...

[Al.Koutsouridis]

Τα παραπάνω προβλήματα τα πήρα από το βιβλίο "Μαθηματικές Ολυμπιάδες της Μόσχας 1993-2005" το οποίο μπορεί να βρεθεί εδώ.

Μου είχε κεντρίσει το ενδιαφέρον η αναφορά που γινόταν σε αυτά στην εισαγωγή. Για το πρόβλημα 3.β αναφέρεται ότι αρχικά οι συγγραφείς δεν κατάφεραν να το λύσουν και αναγκάστηκαν να οργανώσουν ένα μίνι διαγωνισμό όπου λύση βρέθηκε συλλογικά μαζί με κάποιους άλλους. Επειδή θεωρώ ότι η λύση είναι ένα ευχάριστο, χειμερινό πλέον, ανάγνωσμα, θα ήθελα να το μοιραστώ.

Το παραπάνω βιβλίο έχει μεταφραστεί σε δυο βιβλία στα αγγλικά. Για καλή μας τύχη το preview του πρώτου βιβλίου,που μπορεί να βρεθεί εδώ, στις σελίδες 64-71 περιέχει την λύση.

Σημείωση: Το πρόβλημα προέκυψε στην προσπάθεια να οριστούν τα κρίσιμα σημεία μη λείας συνάρτησης. Οι όχθες του ποταμού είναι οι ισουψείς καμπύλες (level sets) συνεχούς συνάρτησης και η ύπαρξη διαδρομής, ύπαρξη λείας συνάρτησης με τις ίδιες ισουψείς καμπύλες. (Ελπίζω να το μετέφρασα σωστά, γιατί δεν το έχω κατανοήσει αυτό το κομμάτι)

Edit: 1/2/2018 Η παραπάνω σημείωση.

[KARKAR]

Πιθανότατα έχουν δοθεί στο παρελθόν και οι παρακάτω παραπομπές ,

με προβλήματα από Σοβιετικές Ολυμπιάδες : αυτή και αυτή .