Σύνολο τιμών

#1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ τέτοια ώστε τα $\displaystyle{-1,1\in f(R)}$ .
Να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{1+{{f}^{2}}(x)}}$ έχει μέγιστο και ελάχιστο .

Edit (14:25 ) Διορθώθηκε .

#2

exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ τέτοια ώστε τα $\displaystyle{-1,1\in f(R)}$ .
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της $\displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{1+{{f}^{2}}(x)}}$

Καλημέρα Γιώργη!

edit: Διέγραψα τη λύση γιατί είχε λάθη.

Christos.N · #3

Παρακάτω απαντώ σε μια άλλη εκφώνηση

exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ τέτοια ώστε τα $\displaystyle{-1,1\in f(R)}$ .
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της $\displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{1+{{f}^{2}}(x)}}$

Για το πεδίο ορισμού της σύνθεσης:

$\displaystyle{\left. \begin{array}{l} h\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 1}},x \in R\\ f\left( x \right),x \in R \end{array} \right\} \Rightarrow g\left( x \right) = h\left( {f\left( x \right)} \right),{D_g} = \{ x \in {D_f} \wedge f\left( x \right) \in {D_h}\} = \{ x \in R \wedge f\left( x \right) \in R\} = \{ x \in R/f\left( x \right) \in R\} }$

Παρατηρούμε ότι:

$\displaystyle{{\left( {1 - \left| {f\left( x \right)} \right|} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 1 + {f^2}\left( x \right) \ge 2\left| {f\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left| {\frac{{f\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right) + 1}}} \right| \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le g\left( x \right) \le \frac{1}{2}}$

Άρα για το σύνολο τιμών:

$\displaystyle{g\left( R \right) = \left\{ {x \in R/f{{\left( x \right)}_{ \in R}} \Rightarrow - \frac{1}{2} \le g\left( x \right) \le \frac{1}{2}} \right\} \subseteq \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right]}$

Για την πολυφωνία, Γιώργο καταλαβαίνω έτσι όπως το διατυπώνεις ότι εξασφαλίζονται τα άκρα του ευρύτερου συνόλου που είναι το κλειστό, σε καμιά περίπτωση όμως δεν μπορώ να βγάλω συμπέρασμα ακριβώς για το σύνολο τιμών.

π.χ.

$\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{c} 0,|x| \ne 1\\ - 1,x = - 1\\ 1,x = 1 \end{array} \right.}$

#4

Γιώργο και Χρήστο ευχαριστώ για την ενασχόληση
Πήγα να συντομεύσω την εκφώνηση και προέκυψε το λάθος !
Η άσκηση απλά ζητούσε να αποδειχθεί ότι έχει μέγιστο και ελάχιστο
Διορθώνω ...
Γιώργο , η λύση σου τώρα είναι εντάξει .

Christos.N · #5

Ναι επειδή όμως μένω έωλος στις διατυπώσεις μου και έκανα τον κόπο αν έχεις την καλοσύνη να βάλεις την αρχική σου διατύπωση παράλληλα ώστε να την μεταχειριστώ ως παράθεση, ή όποιον άλλο τρόπο βρεις.

#6

εδώ είναι η αρχική διατύπωση:

exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ τέτοια ώστε τα $\displaystyle{-1,1\in f(R)}$ .
Να βρεθεί το σύνολο τιμών της $\displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{1+{{f}^{2}}(x)}}$

#7

exdx έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:R\to R}$ τέτοια ώστε τα $\displaystyle{-1,1\in f(R)}$ .
Να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{1+{{f}^{2}}(x)}}$ έχει μέγιστο και ελάχιστο .

Edit (14:25 ) Διορθώθηκε .

Με τη νέα εκφώνηση.

Έστω $\displaystyle{y = g(x) \Leftrightarrow y = \frac{{f(x)}}{{1 + {f^2}(x)}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{y{f^2}(x) - f(x) + y = 0}$ (1)

Αν $y\ne 0,$ η (1)

παριστάνει δευτεροβάθμια εξίσωση και για να έχει πραγματικές λύσεις, θα πρέπει

$\displaystyle{\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 1 - 4{y^2} \ge 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}}$

Αλλά, υπάρχουν $\displaystyle{{x_1},{x_2} \in R}$ ώστε f(x_1)=-1, f(x_2)=1,

απ' όπου $g(x_1)=-\dfrac{1}{2}, g(x_2)=\dfrac{1}{2}.$

Άρα $-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}$ είναι αντίστοιχα το ελάχιστο και το μέγιστο της

Σύνολο τιμών

Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Μέλη σε σύνδεση